重要几何模型12-1倍长中线模型【原卷版+解析】

第十二章重要几何模型1倍长中线模型1定义即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．2示例剖析其中，延长使得，则．其模型也属于“8字型或成X字型”.【题型1】基本型【典题1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，求证：AB＝CD．(1)延长DE到F，使得EF＝DE；(2)作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；(3)过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F．【典题2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．【巩固练习】1如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜92.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为．3.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME．4.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．5.如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AB＝2AE．6.如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG＝BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF＝CD，连接AF，AG．（1）补全图形；（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论；（3）F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论．【题型2】模型变式【典题1】已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，连接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度数；（2）求证：△DEF为等腰直角三角形．【巩固练习】1.如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP＝DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长．2.如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH上的中点，求证：MA⊥BC．3.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．(1)小明的想法是，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；(2)请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF＝AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG＝CG．1.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是()A．1 B．2 C．3 D．42.如下右图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD＝DE＝EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确是．3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．4.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，BC平分∠EBD．(1)求证：∠ABE＝∠D；(2)求证：BD＝2BE．6.(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．

第十二章重要几何模型1倍长中线模型1定义即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．2示例剖析其中，延长使得，则．其模型也属于“8字型或成X字型”.【题型1】基本型【典题1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，求证：AB＝CD．(1)延长DE到F，使得EF＝DE；(2)作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；(3)过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F．证明方法一：延长DE至点F，使EF＝DE．∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中&∴△BEF≌△CED(SAS)．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．方法二：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中&∠F∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中&∠F∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠BAE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵&∠AEB=∠FEC&∠F=∴AB＝CF．∴AB＝CD．【典题2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．解析如图，延长AE交DF的延长线于M，∵AB∥CM，∴∠B＝∠ECM，∵BE＝EC，∠BAE＝∠M，∴△BEA≌△CEM（AAS），∴AB＝CM，∵∠BAE＝∠EAF，∴∠FAE＝∠M，∴AF＝FM，∵CM＝CF+FM，∴AB＝CF+AF．【巩固练习】1如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9答案D解析延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜18，∴1＜AD＜9．故选：D．2.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为．答案2.4解析如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中&BD∴△BDG≌△CDA(SAS)，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，∵∠AEF＝∠FAE，∴∠CAD＝∠AEF，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE＝4，∴AC＝BE＝4，∵∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF＝1.6，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4．3.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME．证明如图，过点E作EN∥AB，并交BC的延长线于N．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．又∵∠ACB与∠NCE是对顶角，∴∠ACB＝∠NCE＝60°．∵AB∥NE，∴∠B＝∠N＝60°．∴∠NCE＝∠N＝60°．∴CE＝NE．又∵BD＝CE，∴BD＝NE．在△BDM和△NEM中&∴△BDM≌△NEM(AAS)．∴DM＝EM．4.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．证明过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，∵EG∥AC，∴∠DEG＝∠C，在△DEG和△DCA中，∠ADC=∠GDECD=ED∠DEG=∠DCA，∴△DEG≌△DCA（∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．5.如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AB＝2AE．证明：延长AE到F，使EF＝AE，连结DF，∵E是DC中点，∴DE＝CE，在△DEF和△CEA中&DE∴△DEF≌△CEA(SAS)，∴DF＝AC＝BD，∠FDE＝∠C，∵DC＝AC，∴∠ADC＝∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠ADF＝∠FDE+∠ADC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADB和△ADF中&AD∴△ADB≌△ADF(SAS)∴AB＝AF＝2AE．6.如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG＝BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF＝CD，连接AF，AG．（1）补全图形；（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论；（3）F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论．答案（1）略（2）AF＝AG（3）F，A，G三点共线解析（1）补全图形，如图所示；（2）AF＝AG，理由为：在△AFD和△BCD中AD=BD∠ADF=∠BDC∴△AFD≌△BCD（SAS），∴AF＝BC，在△AGE和△CBE中AE=CE∠AEG=∠CEB∴△AGE≌△CBE（SAS），∴AG＝BC，则AF＝AG；（3）F，A，G三点共线，理由为：∵△AFD≌△BCD，△AGE≌△CBE，∴∠FAB＝∠ABC，∠GAC＝∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠FAB+∠BAC+∠GAC＝180°，则F，A，G三点共线．【题型2】变式模型【典题1】已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，连接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度数；（2）求证：△DEF为等腰直角三角形．解析（1）∵△ACE和△CBF均为等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°，∠FCB＝45°．∵∠ECA+∠ECF+∠FCB＝180°，∴∠ECF＝90°．（2）证明：延长ED到点G，使得DG＝DE，连接BG，FG．∵D为线段AB的中点，∴AD＝BD．∵在△EDA和△GDB中ED=GD∠EDA=∠GDBDA=DB，∴△EDA≌△GDB（∴EA＝GB，∠A＝∠GBD＝45°．∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴CF＝FB，AE＝EC，∠A＝∠ECA＝∠FCB＝∠FBC＝45°．∴CF＝FB，EC＝BG，∠ECF＝90°．∵在△ECF和△GBF中EC=BG∠ECF=∠GBFCF=BF，∴△ECF≌△GBF（∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFB．∵∠CFB＝∠CFG+∠GFB＝90°，∴∠EFG＝∠EFC+∠CFG＝90°．∵在△EFD和△GFD中EF=GFFD=FDED=GD，∴△EFD≌△∴∠EDF＝∠GDF＝90°，∠EFD＝∠GFD＝45°．∴ED＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形．【巩固练习】1.如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP＝DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长．答案（1）略（2）2解析(1)证明：如图，过点P作PM∥BC，则∠DPM＝∠Q，∵△ABC为等边三角形，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM，又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，在△DPM和△DQC中&∠DPM∴△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQ；(2)∵△DPM≌△DQC，∴DM＝DC，∵PE⊥AC，△APM是等边三角形，∴AE＝EM，∴DE＝DM+EM＝12AC∵等边三角形ABC的边BC＝4，∴AC＝4，∴DE＝122.如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH上的中点，求证：MA⊥BC．证明延长AM到N使MN＝AM，如图，∵M为FH上的中点，∴FM＝HM，在△AMF和△NMB中，AM=NM∠AMF=∠NMHFM=HM，∴△AMF≌△∴∠MAF＝∠N，AF＝NH，∵四边形ABEF和四边形ACGH为正方形，∴AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，∴∠FAH+∠BAC＝180°，HN＝AB，∴∠N+∠NAH+∠BAC＝180°，∵∠N+∠NAH+∠AHN＝180°，∴∠BAC＝∠AHN，在△ABC和△HNA中，AB=HN∠BAC=∠AHNAC=HA，∴△ABC≌△HNA（∴∠ACB＝∠HAN，∵∠HAN+∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．3.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．(1)小明的想法是，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；(2)请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF＝AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG＝CG．答案（1）1＜AD＜4（2）略解析(1)∵BE∥AC，∴∠C＝∠EBD，∵D是△ABC边BC的中点，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中&∠C∴△ACD≌△EBD(ASA)，∴AC＝BE＝3，AD＝ED，∴AE＝2AD，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；(2)过C作CM∥BD交EF于M，如图：∵AF⊥AE，且AF＝AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，∴∠BAE＝90°﹣∠EAC＝∠CAF，在△BAE和△CAF中&AB∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠AEB＝∠AFC，BE＝CF，∴∠BEF＝∠AEB+∠AEF＝135°，∵CM∥BD，∴∠CMG＝∠BEF＝135°，∴∠FMC＝45°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠CFM＝∠AFC﹣∠AFE＝45°，∴∠FMC＝∠CFM，∴CF＝CM，∴BE＝CM，在△BEG和△CMG中&∠BGE∴△BEG≌△CMG(AAS)，∴BG＝CG．1.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中&AD∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC＝2，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．2.如下右图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD＝DE＝EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确是．答案①②③④解析∵点D、E为边BC的三等分点，∴BD＝DE＝EC，①正确；延长AD至F，使DF＝AD，连接EF，在△ADB和△FDE中AD=FD∠ADB=∠FDE∴△ADB≌△FDE（SAS）∴AB＝EF，在△AEF中，AE+EF＞AF，即AB+AE＞2AD，②正确；同理可证，AD+AC＞2AE，③正确；由②③得到，AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，整理得，AB+AC＞AD+AE，④正确；故答案为：①②③④．3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．证明延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∵BD=CD∠BDG=∠CDADG=DA∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．4.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．证明延长FE至Q，使EQ＝EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CEQ中BE=CE∠BEF=∠CEQEF=EQ，∴△BEF≌△∴BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，∴∠G＝∠GFA，∴∠GFA＝∠BFE，∵∠BFE＝∠Q（已证），∴∠G＝∠Q，∴CQ＝CG，∵CQ＝BF，∴BF＝CG．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，BC平分∠EBD．(1)求证：∠ABE＝∠D