2025届新高考数学热点冲刺复习二项分布、超几何分布与正态分布

2025届新高考数学热点冲刺复习

二项分布、超几何分布与正态分布课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.二项分布(1)伯努利试验只包含______可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_____________．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝________________，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．两个n重伯努利试验

X～B（n，p）(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝________．②若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．pp（1－p）np

np（1－p）2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

X～N（μ，σ2）x＝μx＝μ(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．μσ2

×√√√2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(

)A．0.33

B．0.66C．0.5

D．0.45答案：A

3．(教材改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．答案：0.1585

答案：B

5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________．

课堂互动探究案1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其含义．问题思考·夯实技能

【问题1】“二项分布”与“超几何分布”有什么区别？提示：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．【问题2】一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？提示：μ决定了正态曲线的左右位置，σ决定了正态曲线的“高矮胖瘦”．它们反映了正态曲线的集中位置，离散程度．

X0123P

X0123P题型二

超几何分布例2[2024·安徽安庆模拟]乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望．民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912

X0123P题后师说(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．巩固训练2[2024·河北石家庄模拟]北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X的分布列和数学期望．成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数55152510

X1234P题型三

正态分布例3[2024·河南平顶山模拟]2022届高校毕业生规模首次超过千万，是近几年增长人数最多的一年，就业压力暴增，毕业生的就业动向成为各界人士关注的焦点话题．某地从2022年毕业的大学生中随机抽取1500名，对他们的就业去向及就业月薪(单位：千元)进行统计，得到如下表格．1500名毕业生就业去向统计表900名毕业生就业第一个月的月薪统计表就业去向考研深造企业事业单位其他情况人数/百人64.531.5月薪/千元[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8]人数/百人12321

题后师说(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．巩固训练3(1)[2024·重庆沙坪坝模拟]某班学生的一次的数学考试成绩ξ(满分：100分)服从正态分布：ξ～N(85，σ2)，且P(83<ξ<87)＝0.3，P(78<ξ<83)＝0.12，P(ξ<78)＝(

)A．0.14B．0.18C．0.23

D．0.26答案：C

(2)[2024·河南开封模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)(a>0)，若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)＝______．答案：0.2解析：因为f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，即a2＝9，又a>0，所以a＝3，即根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，即P(ξ>3)＝0.5，而P(3<ξ≤4)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.2，故P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝0.2.

答案：C

2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等答案：D解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故错误．故选D.

答案：BCD

4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．答案：0.14解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.状元笔记

二项分布与超几何分布的辨识(1)超几何分布的特点①超几何分布描述的是不放回抽样问题．②特征：考查对象分两类；已知各类对象的个数M，N；已知抽取次数n；随机变量为抽到的某类个体的个数，③实质是古典概型．(2)二项分布的特点①二项分布描述的是有放回抽样问题．②特征：做独立重复试验；每次试验的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次数n；随机变量为试验发生的次数．③实质是n次独立重复试验．例

写出下列离散型随机变量