人教版高中数学精讲精练必修二8.6.1 空间直线、平面的垂直（精讲）（解析版）

8.6.1空间直线、平面的垂直（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一线面垂直【例1-1】（2022·高一课时练习）如图，正方体，求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：∵平面，平面∴∵四边形是正方形∴又平面，平面，∴平面．∵平面∴．同理可证：．又平面，平面，，∴平面．【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，平面，平面，，则，，，，在四棱柱中，，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，，、平面，因此，平面.【例1-3】（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【答案】证明见解析【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面，平面，∴．∵点是上异于、的点，是的直径，所以．又，平面∴平面．2．（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．【答案】证明见解析.【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．3．（2022春·全国·高一期末）如图，四边形是矩形，平面，平面，，．(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】(1)证明：平面，平面，，又平面，平面，平面，在矩形中，，且平面，平面，平面，又，∴平面平面．(2)平面，∴点到平面的距离为，∵四边形是矩形，，，，．考点二面面垂直【例2】（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）如图，取的中点，连接，.为棱的中点，，且.又为棱的中点，且底面为正方形，，且，，且，四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.（2）为棱的中点，，.底面，平面，，又，，平面，平面，平面，.，平面，平面.平面，平面平面.【一隅三反】1．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：(1)平面PAB；(2)平面平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴.∵底面ABCD，底面ABCD∴.又∵，平面PAB，∴平面PAB.（2）∵平面PAB，平面PAB，∴.∵，E是PB的中点，∴.又∵，平面PBC，∴平面PBC.又∵平面AEC，∴平面平面PBC.2．（2022陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点.求证：(1)平面PCE(2)平面平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，且.又因为是的中点，所以，.所以，，即四边形为平行四边形，即.因为平面，平面，，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为为中点，，所以.因为，，，平面，所以平面.又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.3．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：由题意，，，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：设的中点为，连接，，所以是等腰三角形，，即是梯形底边上的高，，由题意知，，所以，是的中点，到底面的距离为，四棱锥的体积为；综上，四棱锥的体积为．考点三线线垂直【例3-1】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.【答案】证明见解析【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.【例3-2】（2022陕西咸阳）已知四棱锥的底面是菱形，平面.(1)设平面平面，求证：；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）平面平面，平面，又平面，平面平面，.（2）平面平面，四棱锥的底面是菱形，，平面，平面，又平面.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.【答案】证明见解析【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．3．（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．(1)求证：；(2)若，，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）平面，平面，；四边形为矩形，，又，平面，平面，又平面，.（2）平面，平面，，又为中点，，由（1）知：平面，.考点四判断与性质定理的辨析【例4-1】（2022河北唐山）若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】在正方体中，记平面为平面，平面为平面，为，为，为，对于A选项，，，但和相交，所以A错；对于C选项，，，但和相交，所以C错；对于D选项，，，但与相交，所以D错；对于B选项，由线面垂直的性质可知B对；故选：B【例4-2】（2021秋·河南安阳·高一安阳市第三十九中学校考期末）已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题①若，则；

②若，则③若，；

④若，，则；其中，是假命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】对于①②③，在正方体中，平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正确；平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正确；对于③因为，则可能平行，故③不正确；对于④因为，过任作平面与相交，设，由线面平行的性质定理得又因为，所以，又因为，所以，故④错误.综上假命题的有①②③④故选：D【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题①

②③

④其中正确的序号为（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】C【解析】①或，故错误；②由线面垂直的性质定理知，正确；③由线面垂直的性质定理知，正确；④，m，n相交或异面，故错误；故选：C2．（2022辽宁）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，则．其中正确命题个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，对于④，若又，，所以，又，且，所以，故④正确，对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，故，，与相交，则，又，得到，故③正确，综上可知三个命题正确，故选：C．3．（2022春·福建福州