人教版高中数学精讲精练必修二10.2 事件的相互独立性（精练）（解析版）

10.2事件的相互独立性（精练）1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，小王最终通过面试的概率为.故选：C.2（2022秋·湖南郴州）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：第一次摸到红球的概率为，第二次摸到红球的概率也是，根据独立事件概率乘法公式可知：两次都摸到红色小球的概率.故选：D3．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）2022年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3:2逆转击败韩国女足，成功夺冠.之前半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足.假设罚点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且即使方向判断正确也有的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门就扑出点球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为，故选：B4．（2023安徽合肥）甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是（

）A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为【答案】B【解析】从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为，从乙袋中取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为．对于A选项，2个球颜色相同的概率为，A对；对于B选项，2个球不都是红球的概率为，B错；对于C选项，至少有1个红球的概率为，C对；对干D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，D对．故选：B5（2023·吉林）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（

）A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立【答案】C【解析】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，，正确；对于B，根据独立事件的性质知，正确；对于C，由，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则，事件B表示选中b，c两球，则，，但A，B不是对立事件，错误；、对于D，由独立事件的性质知：正确；故选：C.6．（2022·高一课时练习）投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：，，．试判断：(1)、是否相互独立？(2)、是否相互独立？【答案】(1)，不相互独立；(2)，相互独立．【解析】（1）由题意，，而，则，所以，故、不相互独立；（2）由题意，，而，则，所以，故，相互独立；7．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，则，，.∴.（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，∴.8．（2023北京西城·高一统考期末）某射手打靶命中9环、10环的概率分别为0.25，0.2．如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响．(1)求该射手两次共命中20环的概率；(2)求该射手两次共命中不少于19环的概率．【答案】(1)0.04(2)0.14【解析】（1）两次共命中20环,意味着两次都是命中10环，根据相互独立事件的概率公式可得概率为：（2）第一次9环第二次10环的概率为,第一次10环第二次9环的概率为,两次都是10环的概率为，所以两次共命中不少于19环的概率为9．（2022·全国·高一专题练习）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红的概率；(2)求一辆车从甲地到乙地遇到一个红灯的概率；(3)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，.（2）.（3）设表示第一辆车遇到红灯个数，表示第二辆车遇到红灯个数，则所求事件的概率等于=.10．（2023北京）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；(1)乙中靶；(2)恰有一人中靶；(3)至少有一人中靶.【答案】(1)0.9(2)0.26(3)0.98【解析】（1）设甲中靶为事件，乙中靶为事件，则事件与事件相互独立，且，则，即乙中靶的概率为0.9.（2）设恰有一人中靶为事件，则.即恰有一人中靶的概率为0.26.（3）设至少有一人中靶为事件，则，即至少有一人中靶得概率为0.98.11．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率；(2)该小组能进入第三轮的概率；(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A，则，故该小组未能进入第二轮的概率为．（2）解：设该小组能进入第三轮为事件B，则，故该小组能进入第三轮的概率为．（3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C，．故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为．12．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．(1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；(2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；(3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．【答案】(1)；(2)；(3)．【解析】（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则；（2）设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则，则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：；（3）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：．13．（2022春·安徽宣城·高一统考期末）2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出，进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.(1)求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率；(2)求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率.【答案】(1)，，；(2).【解析】(1)设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，则由题意得，解得.即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.(2)设事件：这一小时内恰有一位小孩需要照顾，则，即这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率为是.14．（2022春·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题分别加分、分、分、分，答错任一题减分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲考生本轮答题结束时恰答了道题的概率；(2)求甲考生能进入下一轮的概率.【答案】(1)(2)【解析】(1)设分别为第一、二、三、四个问题，用分别表示甲考生在第k个问题回答正确的概率，则，记“本轮答题结束时甲恰答了道题”为事件.则.(2)记“甲考生能进入下一轮”为事件，则15．（2023·山东威海·高一统考期末）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，所以，，设参加活动的选手没有获得奖金为事件，所以.（2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，所以，，，设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，所以1．（2023·全国·高一专题练习）（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（

）A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；【答案】ABD【解析】由题可得，，，，，所以，，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故AD正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误.故选：ABD.2（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）（多选）随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（

）A． B．A与互斥 C．A与相互独立 D．【答案】ACD【解析】解：由题意可得，所以，故A正确；因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误；因为事件互不影响，所以为相互独立事件，则，因为事件表示第一次为奇数且第二次为奇数，所以，又，所以A与相互独立，故C正确；事件表示第一次或第二次为奇数，它的对立事件为第一次和第二次都是偶数，所以，故D正确.故选：ACD.3（2022春·湖南永州·高一统考期末）（多选）在下列关于概率的命题中，正确的有（

）A．若事件A，B满足，则A，B为对立事件B．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件C．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件D．若事件A，B满足，，，则A，B相互独立【答案】CD【解析】对于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，满足，但是A，B不是对立事件.故A错误；对于B：由互斥事件的定义可知，事件A、B互斥，但是A与也是互斥事件不成立.故B错误；对于C：由相互独立事件的性质可知：若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件.故C正确；对于D：因为事件A，B满足，，，所以，所以A，B相互独立.故选：CD4．（2023·广东珠海）（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（

）A．A与相互独立 B．A与互为对立C．与互斥 D．与相互独立【答案】ABD【解析】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件A，共4个基本事件.事件B，共6个基本事件.事件C，共6个基本事件.事件D，共8个基本事件.对于A选项，因，则，故A与相互独立.故A正确；对于B选项，注意到，得A与互为对立.故B正确；对于C选项，注意到，则与不互斥.故C错误.对于D选项，因，则，故D与相互独立.故D正确.故选：ABD5．（2023云南）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【答案】(1),；(2)【解析】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，根据题意，则有，则，又，所以，即，又，所以.所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，则有所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.6．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加．(1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率；(2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为．现有两种方案方案一：依次做一道选择题两道填空题；方案二：做三道填空题．请你推荐一种合理的方式给小红．【答案】(1)(2)推荐方案二给小红【解析】（1）记“他得分不低于10分”为事件，则；（2）记“方案一通过决赛”为事件，则，记“方案二通过决赛”为事件，则，因为，所以推荐方案二给小红．7．（2022春·福建厦门·高一统考期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？【答案】(1)；(2)小明更容易晋级复赛.【解析】(1)对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有共种，设小明只能答对4个问题的编号为：，则小明在第一轮得40分，有共种，则小明在第一轮得40分的概率为：；(2)由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为：，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳晋级复赛的概率分别为：；小芳晋级复赛的概率为：；小明晋级复赛的概率为：；，小明更容易晋级复赛.8．（2023江西景德镇）第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练.甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球乙赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.(1)求该局打4个球乙赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）设乙发球乙赢为事件A，甲发球乙赢为事件，该局打4个球乙赢为事件，由题知，，，该局打4个球乙赢的概率为.（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件，乙赢为事件，打5个球结束为事件，易知为互斥事件，D＝，E＝，F＝，=，=，，该局打5个球结束的概率为.9．（2023福建）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为