高等数学高数ppt课件-8.3数量积、向量积、混合积

一、向量的数量积（内积）二、向量的向量积（外积）三、向量的混合积第三节数量积向量积混合积一、向量的数量积（内积）二、向量的向量积（外积）三、向量的混一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为(scalarproduct)功的数量由F与s所唯一确定.数学上把这种运算抽象为数量积运算.一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其数量积的性质：证证数量积的性质：证证数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：问题：设若则是否必有成立，注意：数与向量之间只有数乘运算,没有点积运算数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若设数量积的坐标表达式设数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为例1解已知求(1)(2)与的夹角;(1)(2)(3)(3)在上的投影.例1解已知求(1)(2)与的夹角;(1)(2)(3)(3)在例2证证明向量与向量垂直.例2证证明向量与向量垂直.例3证用向量方法证明三角形三条高相交于一点.先作三角形两条高,得到交点P,再证明第三条设AD,BE为三角形的边BC,AC上的高,若CP垂直于AB,则AB上的高也则高也经过点P即可.(如图所示）并相交于P,ABCDEP过P点。故只需证例3证用向量方法证明三角形三条高相交于一点.先作三角形两条高例4证试用向量方法证明三角形的余弦定理.如图所示,设在中,现要证则有从而记由即得ABCθabc例4证试用向量方法证明三角形的余弦定理.如图所示,设在中,现例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.所以即(1)又所以即(2)例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.所以即(1)又所以即例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.(1)(2)例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.(1)(2)例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.(1)(2)联立方程(1),(2)得所以例5解设与垂直,与垂直,与求之间的夹角.(1)(2)联立方程二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与二、向量积的定义定义2若由向量与所确定的一个向量满足下列条件:(1)的指向按右手规则从转向来确定,如图;(2)(其中为与的夹角),则称向量为向量与的向量积记为由向量积的定义,(1)的方向既垂直于又垂直于的模(或称外积、叉积),即可推得:二、向量积的定义定义2若由向量与所确定的一向量积的定义(1)注意到:即可得证.注:等于以为邻边的平行四边形的面积,向量积符合下列运算规律:(2)则(1)(2)(3)分配律:若为数:

设由向量积的定义可知,即的模在数值上向量积的定义(1)注意到:即可得证.注:等于以问题思考：若则是否必有看一个反例:但

如若

成立，此时是否必有

这两个条件都问题思考：若则是否必有看一个反例:但如若成立，此时是否向量积的运算设向量积的坐标表达式利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:向量积的运算设向量积的坐标表达式利用三阶行列式表示成方便记忆向量积的运算利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:因此,不能同时为零,例如,但允许两个为零.向量积的运算利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:因此,不能同例6解求与都垂直的单位向量.例6解求与都垂直的单位向量.例7解在顶点为和的三角形中,求边上的高三角形的面积为又所以从而例7解在顶点为和的三角形中,求边上的高三角形的面积为又所以从例8解设向量两两垂直,符合右手规则,且计算依题意知同向,与例8解设向量两两垂直,符合右手规则,且计算依题意知同向,与例9解已知单位向量与三个坐标轴的夹角相等B是点M(1,-3,2)关于点N(-1,2,1)的对称点,求依题意知且由此得故再令B的坐标为(x,y,z),则由得B的坐标(-3,7,0),所以从而例9解已知单位向量与三个坐标轴的夹角相等B是点M(1,-3,例10证利用向量积证明三角形正弦定理.设的三个内角为三边长为(如图).即因为所以故例10证利用向量积证明三角形正弦定理.设的三个内角为三边长为例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即因为所以故例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即因为所以故例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即因为所以故故即两边取模例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即因为所以故故即两边取例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即故即两边取模例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即故即两边取模例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即故即两边取模同理可证因此三角形正弦定理得证.例10证利用向量积证明三角形正弦定理.即故即两边取模同理可证三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积

.记作为棱作的为平行四边形的底面积,为底面上的高,故如图其中平行六面体的体积为三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作为混合积的几何意义向量的混合积有下述几何以向量为棱作六面体的高为底面积为再记向量意义:一个平行六面体,并记此的夹角为与当与指向底面的同一侧时，当与指向底面的相异一侧时，混合积的几何意义向量的混合积有下述几何以向量混合积的几何意义当与指向底面的相异一侧时，综合以上两种情况，得到而底面积即向量的混合积是这样的一个数，的绝对值表示体积.平行六面体的体积它以向量为棱的平行六面体的这样，混合积的几何意义当与指向底面的相异一侧2.混合积的坐标表示设2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可由三阶行列式的性质推出)3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对混合积的几何意义根据向量混合积的几何意义,可以推出以下结论:(1)(2)三向量共面的充分必要条件空间四点共面的充分必要条件是混合积的几何意义根据向量混合积的几何意义,可以推出以下结论:例11解已知计算例11解已知计算例12.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:

已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例12.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.例13.

证明四点共面.解:因故A,B,C,D

四点共面.例13.证明四点共面.解:因故A,B,C例14解已知求一单位向量使且与共面.设所求向量依题意与共面,可得(1)即(2)即(3)例14解已知求一单位向量使且与共面.设所求向量依题意与共面,例14解(1)(2)(3)例14解(1)(2)(3)例14解(1)(2)(3)将式(1)式(2)与式(3)联立解得或或或所以例14解(1)(2)(3)将式(1)式(2)与式(3)联立解例15.

若三维向量共面,而解:因则如下的线性方程组有非零解.不共线,证明

存在惟一实数使得,并求出

共面,故混合积为0,即其中x,y,z不全为零因不共线,故

所以例15.若三维向量共面,而解:因则如下的线性方程组有非两边分别点积上由,得到

记解此二元一次方程,可得方程简记为且此解是惟一的。两边分别点积上由,得到记解此二元一次方程,可得方程简记1.已知向量证明3