4.7 余弦函数的图像和性质（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步课堂（高教版2021·基础模块上册）

《4.7余弦函数的图像和性质》教学设计学习目标知识能力与素养了解余弦函数的图像和性质．(1)认识周期现象，以余弦函数为载体，理解周期函数；(2)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．学习重难点重点难点余弦函数的图像及性质余弦函数的性质．教材分析学生上节课学习了正弦函数的图像性质，本节课是在此基础上来学习余弦函数的图象和性质.学情分析学生在学习本节内容之前已学习了正弦函数的图像和性质，具有一定的数学思想方法，但中职学生分析问题的能力不够深刻、严谨，所以本节内容的推导对学生有一定的难度.教学工具教学课件课时安排2课时教学过程（一）创设情境，生成问题情境与问题我们用描点法作出了正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像,通过不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sinx,x∈R的图像,并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cosx,x∈R,可否用同样的方法来研究？【设计意图】通过类比强调知识间的联系.（二）调动思维，探究新知用描点法作出余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图像.(1)列表.把区间[0,2π]分成12等份,分别求出函数y=cosx在各分点及区间端点的正弦函数值.x┅0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2πcosx┅10--1--01(2)描点作图.根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图像.不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx(k∈Z)可知,将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π,4π,…,就得到了余弦函y＝cosx,x∈R的图像.余弦函数的图像也称为余弦曲线,它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sinx,x∈R的图像向左平移eq\f(π,2)个单位长度，就得到余弦函数y＝cosx,x∈R的图像．若将正弦函数y＝sinx,x∈R的图像向右平移,是否也可以得到余弦函数y＝cosx,x∈R的图像,如果是,需平移多少？探究与发现若将正弦函数y＝sinx,x∈R的图像向右平移,是否也可以得到余弦函数y＝cosx,x∈R的图像,如果是,需平移多少？观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集R.(2)值域.余弦函数的值域是[-1,1].当x=2kπ(k∈Z)时,y取最大值,ymax=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时,y取最小值,ymin=1.(3)周期性.余弦函数是周期为2π的周期函数．(4)奇偶性.由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cosx可知,余弦函数是偶函数．(5)单调性.余弦函数y＝cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,函数值从-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是减函数,函数值从1减小到-1．【设计意图】学生通过观察思考参与知识形成过程，感受探索与发现的乐趣，强调函数周期性在函数作图中的作用.（三）巩固知识，典例练习【典例1】利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像．解(1)列表.x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10-101-cosx-1010-1(2)根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cosx在[0,2π]上的图像.【典例2】求函数y＝3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．解由余弦函数的性质知,-1≤cosx≤1,所以-3≤3cosx≤3,从而-2≤3cosx+1≤4,即-2≤y≤4.故函数的最大值为4，最小值为-2.函数y＝3cosx＋1取最大值时的x的集合,就是函数y=cosx取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z};函数y＝3cosx＋1取最小值时的x的集合,就是函数y=cosx取得最小值时的x的集合{x|x=2kπ+π,k∈Z}．【典例3】不求值比较下列各组数值的大小：；解根据余弦函数的图像和性质可知：(1)因为,余弦函数y=cosx在区间[0,π,]上是减函数,所以(2)因为,余弦函数y=cosx在区间[-π,0]上是增函数,所以【设计意图】强调“五点法作图”在余弦函数作图中的作用，初步利用余弦函数图象解决问题.（四）巩固练习，提升素养【巩固1】求使函数y=sin2x取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．解设，则使函数取得最大值1的集合是，由,得．故所求集合为，函数的最大值是．（五）巩固练习，提升素养1.用五点法作出函数y=cosx-1在[0,2π]上的图像．2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．3.不求值，比较下列各组数的大小.【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.自我反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？【设计意图】培养学生反思学习过程的能力（七）作业布置，继续探究(1)读书部分：教材章节4.7；(2)书面作业：P178习题4.7的2，3,4.（八）教学反思