2.5.2 圆与圆的位置关系-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)直线和圆的方程2.5.2圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆，，则两圆的位置关系为（）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切2．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含3．（2021·安徽（理））圆：与圆：（，）的位置关系为（）A．相交 B．相离C．相切 D．无法确定题型二：圆与圆的位置关系求参数范围4．（2021·南京市第十三中学高二开学考试）若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长是（）A． B． C．4 D．5．（2020·黑龙江农垦佳木斯学校高二开学考试）若两圆和有条公切线，则（）A．或 B．或 C．或 D．或6．（2021·四川凉山·高二期末（文））已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．题型三：圆与圆的位置求圆的方程7．（2020·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））圆关于直线对称的圆的方程是（）A． B．C． D．8．（2020·全国高二课时练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）.A． B．C． D．9．（2019·江西赣州市·南康中学高二月考）已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝3或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9题型四：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）10．（2021·浙江温州市·）圆和圆的公共弦的垂直平分线方程是（）A． B．C． D．11．（2021·全国高二专题练习）垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（）A． B． C． D．12．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（理））设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为（）A． B． C． D．题型五：圆的共切线问题13．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆，圆，则，的公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．414．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．或15．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）两个圆与的公切线恰好有2条，则的取值范围是（）．A． B．C． D．题型六：圆与圆位置关系的综合类问题16．（2021·江苏高二课时练习）已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，.（1）求弦所在直线的方程；（2）求圆的方程.17．（2020·安庆市第二中学）已知圆C的圆心C在x轴上，且圆C与直线切于点．（1）求n的值及圆C的方程：（2）若圆与圆C相切，求直线截圆M弦长．【双基达标】一、单选题18．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知圆，，则这两圆的公共弦长为（）A．2 B． C．2 D．119．（2021·河南商丘市·（文））已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（）A． B． C． D．20．（2021·全国）过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（）A． B． C． D．21．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆（）截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离22．（2021·江苏高二课时练习）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条23．（2020·浙江台州市·高二期中）已知圆C：上存在两个点到点的距离为，则m可能的值为（）A．5 B．1 C． D．24．（2021·全国）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2021·安徽池州·高二期末（文））若圆与圆外切，则（）A．36 B．38 C．48 D．5026．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（）A． B．C． D．27．（2021·重庆）若与有公共点，则的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【高分突破】一：单选题28．（2021·贵溪市实验中学高二月考）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A． B．C． D．29．（2020·安徽省蚌埠第三中学（理））已知圆上总存在两个点到原点的距离为，则的取值范围为（）A． B．C．或 D．或30．（2021·江西吉安·白鹭洲中学）若圆平分圆的周长，则的最小值为（）A．8 B．9 C．16 D．2031．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高二月考）若圆的圆心在直线上，且经过两圆和的交点，则圆的圆心到直线的距离为（）A．0 B． C．2 D．32．（2020·重庆万州区·万州外国语学校天子湖校区）圆和圆的公切线的条数为（）A． B． C． D．33．（2020·宁城县蒙古族中学高二月考（理））若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．34．（2020·江西省吉水中学高二月考（理））已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（）A． B． C． D．35．（2020·南昌市·江西师大附中（文））已知圆的方程为，圆的圆心坐标为．若两圆相交于两点，且，则圆的方程为()A．B．C．或D．或36．（2020·化州市第一中学高二月考）若圆：（m，）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A． B．9 C．6 D．3二、多选题37．（2021·全国高二专题练习）已知两圆和相切，则实数（）A． B． C．0 D．以上均有可能38．（2021·全国高二期中）点在圆上，点在圆上，则（）A．的最小值为0B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为39．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（）A． B． C． D．40．（2021·重庆北碚区·西南大学附中）设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（）A．直线过定点(1，3) B．直线与圆C相交最短弦长为2C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为541．（2021·全国）已知圆，圆，则（）A．若圆与圆无公共点，则B．当时，两圆公共弦长所在直线方程为C．当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题42．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））两圆与的公切线有___________条.43．（2020·浙江台州市·高二期中）已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________.44．（2021·上海高二专题练习）已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和的圆周，则圆C的方程为______.45．（2021·台州市书生中学高二期中）已知实数、满足方程．求：的取值范围为_______；的最小值为________；的取值范围为__________.四、解答题46．（2021·安徽滁州市·明光市二中高二期末（理））已知圆与圆．（1）若圆与圆恰有3条公切线，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为2，求实数的值．47．（2020·山西高二期中）已知圆：，圆：．且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）证明圆和圆相交，并求两圆公共弦的长度．48．（2021·安徽省蚌埠第三中学（文））已知圆与圆相交于A､B两点.（1）求公共弦AB的长；（2）求圆心在直线上，且过A､B两点的圆的方程；（3）求经过A､B两点且面积最小的圆的方程.49．（2020·全国高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.（1）求的中点的轨迹方程；（2）设点，若，求的面积.【答案详解】1．D【详解】由题设，，，∴，，则，又，∴，故两圆内切.故选：D2．C【详解】解：根据题意，圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，有，则两圆相交；故选：C．3．A【详解】解：圆：的圆心，半径为，由，得，所以圆的圆心为，半径，所以，因为（），所以，所以所以两圆相交．故选：A4．C【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心、，则在中，，，所以，斜边上的高为半弦，且，则，即，所以.故选：C.5．D【详解】将两圆方程分别整理为：和，则两圆圆心分别为和，半径分别和；两圆有条公切线，两圆外切，两圆圆心距，解得：或.故选：D.6．C【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，，由于两圆有公共点，则，即，解得.故选：C.7．D【详解】由圆的圆心坐标为，而关于直线的对称点为，∴以为圆心，以1为半径的圆的方程为．故选：D．8．A【详解】设所求的圆的方程为,把点代入可得,,解得,所以所求圆的方程为,故选:A9．D【详解】由圆A：（x-5）2+（y+7）2=16，得到A的坐标为（5，-7），半径R=4，且圆B的半径r=1，

根据图象可知：

当圆B与圆A内切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R-r=4-1=3的圆，

则圆B的方程为：（x-5）2+（y+7）2=9；

当圆B与圆A外切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，

则圆B的方程为：（x-5）2+（y+7）2=25．

综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x-5）2+（y+7）2=25或（x-5）2+（y+7）2=9．

故选：D．10．C【详解】解：圆的圆心，圆的圆心，所以的中点坐标为，，即，所以两圆的公共弦的垂直平分线即是圆心所在的直线：，即，故选：．11．B【详解】根据题意，圆，其圆心为，则，圆，其圆心为，则，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；故选:B.12．A【详解】由题意知：，且垂直平分，∴线段的垂直平分线所在直线必过，故直线的方程为，整理得.故选：A13．B【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3；圆，圆心为，半径为6；因为，故圆，相交，有2条公切线，故选：B.14．D【详解】由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆恰有两条公切线，两圆相交，，，，解得或.故选：D.15．B【详解】两个圆化为标准方程可得，，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距，因为两圆的公切线恰好有2条，所以两圆相交，则，解得.故选：B16．（1）；（2）圆.【详解】（1）因为圆，圆，且它们的交点为，故的直线方程为：，整理得到的直线方程为：.（2）设圆的方程的方程为：，整理得到圆，故，因为在直线上，故，故，故圆.17．（1）；.（2）外切，；内切，.【详解】（1）圆C与直线切于点，点在直线上，则，解得.圆C的圆心C在x轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为，所以，解得，，则圆C的方程为.（2）根据题意，，，当两圆外切时，，当两圆内切时，，，点到直线的距离，当两圆外切时，，此时弦长，当两圆内切时，，此时弦长.18．C【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.19．C【详解】由圆－圆可得，直线，即，所以，而，所以四边形的面积是．故选：C．20．B【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，由圆的切线的性质可得，则，所以，以点为圆心、以为半径的圆的方程为，将圆的方程与圆的方程作差并化简可得.因此，直线的方程为.故选：B.21．A【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，所以.圆的圆心为，半径，，所以两个圆的位置关系是内切.故选：A22．B【详解】由圆可化为，可得圆心坐标为，半径为，由圆可化为，可得圆心坐标为，半径为，则圆心距为，又由，所以，可得圆与圆相交，所以两圆公共切线的条数为2条.故选：B.23．C【详解】以为圆心，以为半径的圆：，圆C：圆心为，半径，圆心距，由题意可得两圆相交，即，解得.故选：C24．A【详解】解：由圆，圆，得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，又在直线上，，即.∴，∴的取值范围是.故选：A.25．C【详解】依题意，圆，圆，故，解得，故选C．26．A【详解】由题意，点，因为，所以点在以为直径的圆上，设的中点为的坐标为，，所以圆的方程为，又由圆的圆心为，半径为，则，要使得圆上存在点，满足，则圆与圆由公共点，可得，解得,即圆的半径的范围是.故选：A.27．C【详解】根据题意，，其圆心为，半径，，其圆心为，半径，两圆的圆心距，若两圆有公共点，则，即，则有，则的最大值为11，故选：C28．A【详解】由于圆的圆心，半径为1，圆与圆关于原点对称，故、半径为1，故圆的方程为：，故选：A．29．D【详解】由圆的方程知：圆心为，半径，则圆心到原点的距离为，圆上总存在两个点到原点的距离为，圆与圆相交，，即，解得：或.故选：D.30．A【详解】两圆方程相减得，，此为相交弦所在直线方程，圆的标准方程是，圆心为，∴，，∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：A．31．C【详解】设两圆交点为，联立得或，，则中点为，过两点的垂直平分线方程为，联立得，故圆心为，由点到直线距离公式得故选：C32．D【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，，所以，两圆外离.因此，圆与圆的公切线条数为.故选：D.33．B【详解】圆，圆心，半径圆，圆心，，两圆有公共点则：，故选:B34．C【详解】由圆和圆，可得圆和的公共弦所在的直线方程为，联立，解得，即点又因为点在直线上，即，又由原点到直线的距离为，即的最小值为.故选：C.35．C【详解】设圆直线的方程为：，即到直线距离，解得：，解得：或圆的方程为或故选：36．D【详解】把圆：化为一般式，得，又圆：（m，），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线的方程：.圆始终平分圆的周长，圆心在直线上，，即..当且仅当即时，等号成立.的最小值为3.故选：.37．BC【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有，解得；当两圆内切时，有，解得，综合可得：实数的值为0或．故选：BC．38．BC【详解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，圆心距，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误．故选：BC．39．CD【详解】圆方程可化为：，则圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距，，即，解得：或，可知CD中的的取值满足题意.故选：CD.40．ABC【详解】A：由，有，所以直线过的定点为，故A正确；B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，故B正确；C：当时，，则点，此时点P在圆C外；当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为圆，得，半径为，所以圆心距，所以两圆相交.故C正确；D：由，当时，，有，当时，，，则，所以，又点P是两直线的交点，所以，所以，设，则，因为，所以，所以，故D错误.故选：AB41．BCD由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；则圆心距为；A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，即，故C选项正确；D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；记直线上任意一点为，则，所以，，因此切线长分别为，，即，故D正确；故选：BCD.42．3解：圆整理可得：，可得圆心的坐标为：，半径；的圆心坐标，半径；所以圆心距，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．43．【详解】设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点