4.2.1等差数列第一课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）

《4.21等差数列的概念（1）》教学设计-------李德峰（一）教学内容等差数列的概念及其性质（二）教材分析1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广（三）学情分析1.认知基础：学生已经对数列的通项公式与递推公式有了一定的了解2.认知障碍：通过具体实列发现等差数列的规律，学生比较困难的地方在于完成准确的抽象出等差数列的概念.（四）教学目标1.知识目标：①理解等差数列的概念②掌握等差数列的通项公式及应用.③体会等差数列与一元一次函数的关系2.能力目标：能灵活使用通项公式解决相关问题.3.素养目标：在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养（五）教学重难点：1.重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段课前准备多媒体（八）教学过程教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2021年是牛年，从2021年开始，鸡年的年份为2021，2033，2045，2057，2069，2081，…；这些年份有什么特点？通过传统的十二生肖年份，激发学生学习兴趣，yindao学生发现规律，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r

，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(ar,ar−br,ar−2br,ar−3br…

,④在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.[练一练]1.常数列是等差数列.(√)2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)提示:差都是同一个常数.3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(×)提示:{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.探究：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a所以a2−a1=d,a3−a2=于是a2=a1a3=a2+d=(a1+d)+a4=a3+d=(a1+2d归纳可得an=a1+(n−1)当n=1时，上式为a1=a1+(等差数列的通项公式一般形式：an＝am＋(n－m)d(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.(2)等差数列与一次函数的关系：①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k.[练一练]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)√3)√3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝()A.22B.24C.26D．28Da7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.提示：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列学生思考回答，老师适当提示。、通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过几个问题强化概念，帮助学生掌握概念的关键词。发展学生数学抽象素养通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=（2）求等差数列8,5,2…的第20项。分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1−an=d解：（1）当n≥2时，由an可得an−1=5−2于是d=an−an−1=(5−2n)-(把代入通项公式an=（2）由已知条件，得d=把a1=8,d=−3代入anan=8−3(n−1把n=20代入上式，得a20=11−所以，这个数列的第20项是−49

例2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解解：由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为an=-5-4（n-1）=-4令-4n-1=-401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，-401是这个数列的项，是第100项。求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素教学环节：课堂练习1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析数列(1)，(4)是等差数列，故选B.答案B2.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差解析an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.答案A3.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝()A.5B.6C.8D.9解析因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.答案A4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.解析d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.答案465.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.解由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36，