4.5.1 函数的零点与方程的解-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

4.5.1函数的零点与方程的解【学习目标】课程标准学科素养1．结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数；3．能够利用零点的存在解决含参问题．1.数形结合2.数学运算3.逻辑推理【自主学习】1.函数的零点(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的____.(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？2.函数的零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是____，f(a)f(b)<0；(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?【小试牛刀】(1)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.()(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.()

(3)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. ()【经典例题】题型一求函数的零点(方程的根)例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝eq\f(x－1x2－4x＋3,x－3)；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．总结:函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟踪训练]1(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为___；②g(x)＝lgx＋2零点为____.(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝____.题型二判断零点所在的区间例2f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[跟踪训练]2函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)题型三函数零点个数的判断例3函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，则()A．x1<2,2<x2<5 B．x1>2且x2>5C．x1<2，x2>5 D．2<x1<5，x2>5[跟踪训练]3若x0是方程(eq\f(1,2))x＝xeq\s\up4(\f(1,3))的根，则x0属于区间()A．(eq\f(2,3)，1) B．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(1,2)) D．(0，eq\f(1,3))题型四一元二次方程根的分布问题例4已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．[跟踪训练]4函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．【当堂达标】1．函数f(x)＝4x－6的零点是()A．eq\f(2,3) B．(eq\f(3,2)，0)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)2．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥14．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3方程2|x|＋x＝2的实根的个数为.已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求实数a的取值范围．

【参考答案】【自主学习】实数x思考1(1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．连续不断的曲线思考2(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.【小试牛刀】×××【经典例题】例1[解析](1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.(2)令eq\f(x－1x2－4x＋3,x－3)＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INET[跟踪训练]1[解析](1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝eq\f(1,100).故g(x)的零点为eq\f(1,100).(2)由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f4＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0,16a＋4b－4＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.例2C[解析]f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INET[跟踪训练]2[解析]f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝eq\f(1,e2)－4<0，f(－1)＝e－1－1－2＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．例3C[解析]作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教A版必修第一册(新课标)\\题型探究教师.TIF"INET[跟踪训练]3C[解析]构造函数f(x)＝(eq\f(1,2))x－xeq\s\up4(\f(1,3))，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(0)＝(eq\f(1,2))0－0＝1>0，f(eq\f(1,3))＝(eq\f(1,2))eq\s\up4(\f(1,3))－(eq\f(1,3))eq\s\up4(\f(1,3))>0，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))eq\s\up4(\f(1,2))－(eq\f(1,2))eq\s\up4(\f(1,3))<0，f(eq\f(2,3))＝(eq\f(1,2))eq\s\up4(\f(2,3))－(eq\f(2,3))eq\s\up4(\f(1,3))<0，f(1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，结合选项，因为f(eq\f(1,3))·f(eq\f(1,2))<0，故函数f(x)的零点所在的区间为(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))，即方程(eq\f(1,2))x＝xeq\s\up4(\f(1,3))的根x0属于区间(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))．例4[解析](1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝－1或m＝4.(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m2－43m＋4>0,－m>－1,f－1＝1＋m＋4>0))，解得－5<m<－1.∴实数m的取值范围是(－5，－1)．总结：解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\