3.2.2 双曲线的几何性质（九大题型）（原卷版）

3．2．2双曲线的几何性质课程标准学习目标能类比椭圆性质的研究，利用方程推出双曲线的一些几何性质，进一步体会数形结合思想．（1）掌握双曲线的几何性质．（2）理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．知识点01双曲线的简单几何性质双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质范围，即或双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．对称性对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．知识点02双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．【即学即练2】（多选题）（2023·广东深圳·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为B．的标准方程为C．的渐近线方程为D．直线经过的一个焦点知识点03双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．【即学即练3】（2023·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．

知识点04双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．【即学即练4】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．知识点05直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．【即学即练5】（2023·全国·高二课堂例题）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.题型一：双曲线的简单几何性质例1．（多选题）（2023·高二课时练习）下列关于双曲线的判断，正确的是（

）A．顶点坐标为 B．焦点坐标为C．实轴长为 D．渐近线方程为例2．（多选题）（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考阶段练习）已知双曲线，则（

）A．实轴长为1 B．虚轴长为2C．离心率 D．渐近线方程为例3．（多选题）（2023·广西崇左·高二校考期中）下列关于双曲线的结论中，正确的是（

）A．离心率为 B．焦距为C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1变式1．（多选题）（2023·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知双曲线，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为变式2．（多选题）（2023·湖南郴州·高二校考期末）已知双曲线：，则下列选项中正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3题型二：双曲线的渐近线例4．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）求双曲线的渐近线为.例5．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．例6．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）已知圆C的半径为3，它与双曲线的两条渐近线均相切，且与该双曲线的右支相交，则圆C的方程为．变式3．（2023·浙江温州·高二校联考期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则a的值为．变式4．（2023·辽宁朝阳·高二统考期末）已知双曲线，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的虚轴长为.变式5．（2023·上海嘉定·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则该双曲线的实轴长为.变式6．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为．变式7．（2023·广东深圳·高二校考期中）双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率是.题型三：求双曲线离心率的值例7．（2023·云南昭通·高二校考期中）设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率.例8．（2023·高二课时练习）已知圆的圆心为双曲线的一个焦点，半径为双曲线的实半轴长.若圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为.例9．（2023·高二单元测试）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为．变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：，过双曲线C的右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足，，则双曲线C的离心率为.变式9．（2023·全国·高二专题练习）设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为．题型四：求双曲线离心率的范围例10．（2023·全国·高二专题练习）如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是．例11．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．例12．（2023·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，，为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是A． B． C． D．变式10．（2023·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（

）A． B． C． D．变式11．（2023·高二课时练习）已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线的离心率的范围是A． B． C． D．变式12．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．变式13．（2023·高二课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．变式14．（2023·山西晋城·高二校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式15．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：直线与双曲线的位置关系例13．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标．例14．（2023·全国·高二课堂例题）讨论直线与双曲线的公共点的个数．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.(1)求双曲线E的方程；(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？一个公共点？没有公共点．

变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．题型六：弦长问题例16．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．例17．（2023·四川宜宾·统考三模）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，若，则的周长为．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.变式18．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.变式19．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则.变式20．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有条．变式21．（2023·江苏盐城·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则．题型七：中点弦问题例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．例20．（2023·全国·高三专题练习）已知倾斜角为的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．例21．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率．变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．变式23．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.题型八：定点定值问题例22．（2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.例23．（2023·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．(1)求双曲线的方程．(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．例24．（2023·全国·高二专题练习）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.变式26．（2023·河南焦作·高二统考期末）已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．(1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；(2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．变式27．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线过定点.变式28．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①为定值；②为定值；③为定值变式29．（2023·全国·高二课堂例题）设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．(1)若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．(2)是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．变式30．（2023·江西南昌·高二南昌十中校考期中）已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.变式31．（2023·江苏南京·高二校考期中）已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)求证：直线、的斜率之和为定值.题型九：最值问题例25．（2023·全国·高二期中）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.例26．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．(1)求E的方程；(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．例27．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．(1)求的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．变式32．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值变式33．（2023·高二课时练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．(1)求双曲线的离心率；(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．变式34．（2023·陕西西安·高二统考期末）设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程.变式35．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.变式36．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期中）设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．一、单选题1．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2．则（

）A． B．1 C． D．33．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径（喉部直径）为60m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）（

）

A． B．C． D．6．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（

）A． B． C．2 D．8．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知曲线的方程为（

）A．当时，曲线是焦点坐标为的椭圆B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C．不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线D．“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件10．（2023·河北沧州·校考三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（

）A．的实轴长为2B．的离心率为C．的面积为D．的平分线所在直线的方程为11．（2023·河北保定·高二校联考阶段练习）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（

）A．渐近线方程为B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数C．若双曲线上一点满足，则的周长为28D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最