3.4.1 判定空间直线、平面的位置关系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版(2020)选择性必修第一册

学生版第3章空间向量及其应用3.4空间向量在立体几何中的应用3.4.1判定空间直线、平面的位置关系本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、理解直线的方向向量和平面的法向量；（重点）2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（重点）3、能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系；（重点、难点）1、逻辑推理：线面位置关系的判断与证明；2、数学运算：求直线的方向向量和平面的法向量；3、直观想象：方向向量、法向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P107－P109的内容，思考以下问题：1、直线的方向向量和平面的法向量；2、线线、线面、面面平行与垂直的充要条件；【知识梳理】空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便的方法；本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用；1、直线的方向向量直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量；2、平面的法向量：平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量；用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决．建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段；特别是在需要数值求解的问题上；3、两条直线平行、垂直的充要条件两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；4、直线和平面垂直的充要条件直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；5、不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量；6、两个平面垂直的充要条件两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；7、两个平面平行的充要条件两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行；【思考】1、直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？【解析】2、若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？【解析】3、直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？【解析】；4、两条平行直线的方向向量有什么关系？【解析】【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①直线l的方向向量是唯一的；（）②若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；（）③一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量；（）④若向量，为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；（）⑤若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行；（）【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题主要考查了直线的方向向量与平面的法向量的定义、表示及其应用；注意与空间位置关系的判定定理与性质定理综合应用；2、若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)3、已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．4、直线l的方向向量＝(－1，1，1)，平面α的法向量为＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为【题型探究】题型一、对直线的方向向量的理解及其应用例1、（1）已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.（2）在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，1)，B(2，6，3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．【说明】本题考查了理解直线的方向向量、表示及求法；1、应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个；2、利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置；题型二、对平面的法向量的理解及其应用例2、如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SBA与平面SCD的法向量．.【说明】本题考查了理解平面法向量、表示及求法；1、利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．（2）取特值：在求的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．（3）注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0；题型三、利用空间向量证明线线平行例3、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点；求证：四边形AEC1F是平行四边形；【说明】本题考查了用好空间向量及其坐标表示，判断、证明空间线线平行与垂直；1、两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面；2、直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直；3、两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直；题型四、利用空间向量证明线面、面面平行例4、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点；求证：MN∥平面A1BD.【说明】本题考查了利用平面法向量证明平行；1、向量法证明线面平行的三个思路（1）设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证明l∥α，只需证明a⊥，即；（2）根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可；2、证明面面平行的方法设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β⇔；注意：在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？【提示】可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标；题型五、利用空间向量证明三垂线定理三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直例5、已知、分别是平面的垂线、斜线，是在平面上的射影，；则；【提示】；【证明】【说明】用空间向量证明三垂线定理：视角新，证法多，书写简捷；同学们不妨据此尝试“一题多解”；题型六、向量法证明垂直问题例6、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE.【说明】1、证明线线垂直常用的方法：证明这两条直线的方向向量互相垂直；2、证明线面垂直常用的方法：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；（2）证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直；3、证明面面垂直常用的方法（1）转化为线线垂直、线面垂直处理；（2）证明两个平面的法向量互相垂直；【素养提升】1、用向量表示直线或点在直线上的位置（1）在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量，对于直线l上的任意一点P，则有eq\o(AP,\s\up15(→))＝t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))(eq\o(AB,\s\up15(→))＝)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程；向量称为该直线的方向向量；；(2)线段AB的中点M的向量表达式eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．2、平面的法向量及其应用平面的法向量：如果向量的基线与平面α垂直，则向量叫做平面α的法向量或说向量与平面α垂直；3、用向量方法证明平行与垂直设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为，，两个平面α1，α2的法向量分别为，，则有下表：平行垂直l1与l2∥⊥l1与α1⊥∥α1与α2∥⊥【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知直线l过A(3，2，1)，B(2，2，2)，且＝(2，0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝()A．2B．－2C．3D．－32、若直线l的方向向量＝(1，0，2)，平面α的法向量为＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交3、已知不重合的平面α，β的法向量分别为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，则平面α与β的位置关系是________．4、设直线l1的方向向量为＝(3，1，－2)，l2的方向向量为＝(－1，3，0)，则直线l1与l2的位置关系是________．5、若直线l的方向向量为＝(－1,2,3)，平面α的法向量为＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．B级：“四能”提升训练6、已知平面内的两个向量＝(2，3，1)，＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)7、若直线l1的方向向量＝(1，3x，－2)，直线l2的方向向量＝(－2，2y，5)，且l1⊥l2，则xy＝________.8、已知A(1，0，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的法向量为9、如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一个法向量．10、在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【教师版】第3章空间向量及其应用3.4空间向量在立体几何中的应用3.4.1判定空间直线、平面的位置关系本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、理解直线的方向向量和平面的法向量；（重点）2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（重点）3、能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系；（重点、难点）1、逻辑推理：线面位置关系的判断与证明；2、数学运算：求直线的方向向量和平面的法向量；3、直观想象：方向向量、法向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P107－P109的内容，思考以下问题：1、直线的方向向量和平面的法向量；2、线线、线面、面面平行与垂直的充要条件；【知识梳理】空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便的方法；本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用；1、直线的方向向量直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量；2、平面的法向量：平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量；用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决．建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段；特别是在需要数值求解的问题上；3、两条直线平行、垂直的充要条件两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；4、直线和平面垂直的充要条件直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；5、不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量；6、两个平面垂直的充要条件两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；7、两个平面平行的充要条件两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行；【思考】1、直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？【解析】不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．2、若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？【解析】垂直3、直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？【解析】（1）非零性：直线的方向向量是非零向量；（2）不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量；（3）给定空间中的任一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线；4、两条平行直线的方向向量有什么关系？【解析】设直线l，m的方向向量分别为，，则l∥m⇔⇔＝λ【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①直线l的方向向量是唯一的；（）②若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；（）③一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量；（）④若向量，为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；（）⑤若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行；（）【提示】理解直线的方向向量与平面的法向量及空间位置关系的相关定理；【答案】①×；②√；③√；④√；⑤√；【解析】对于①，与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量，所以，①是假命题；对于②，由定义；②是真命题对于③，由定义；③是真命题对于④，由定义与线面垂直的性质；④是真命题对于⑤，由定义与异面直线所成角的定义；⑤是真命题【说明】本题主要考查了直线的方向向量与平面的法向量的定义、表示及其应用；注意与空间位置关系的判定定理与性质定理综合应用；2、若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)【答案】A；【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，4，6)＝2(1，2，3)；3、已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))【解析】设平面的法向量为＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))·a＝0，,\o(AC,\s\up8(→))·a＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0.))令z＝1，得y＝－1，x＝eq\f(1,2)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))故平面ABC的一个单位法向量为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).]4、直线l的方向向量＝(－1，1，1)，平面α的法向量为＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为【答案】±eq\r(2)【解析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±eq\r(2)；【题型探究】题型一、对直线的方向向量的理解及其应用例1、（1）已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.（2）在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，1)，B(2，6，3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．【提示】（1）利用两直线的方向向量共线求解；（2）eq\o(AB,\s\up8(→))即是直线AB的一个方向向量，利用eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))求点P的坐标；【答案】（1）－14，6；（2）(0，6，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(18,5)，\f(11,5)))；【解析】（1）由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以eq\f(x,－7)＝eq\f(y,3)＝eq\f(8,4)，解得x＝－14，y＝6.（2）eq\o(AB,\s\up8(→))＝(0，6，2)是直线AB的一个方向向量；由AP∶PB＝3∶2，得eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))；设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝eq\f(3,5)(0，6，2)，即x－2＝0，y＝eq\f(18,5)，z－1＝2·eq\f(3,5)，解得x＝2，y＝eq\f(18,5)，z＝eq\f(11,5)，所以直线AB的一个方向向量是(0，6，2)，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(18,5)，\f(11,5)))；【说明】本题考查了理解直线的方向向量、表示及求法；1、应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个；2、利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置；题型二、对平面的法向量的理解及其应用例2、如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SBA与平面SCD的法向量．【提示】因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量，再利用待定系数法求解；【解析】∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AS,\s\up8(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量＝(1，λ，u)，有⊥eq\o(DC,\s\up8(→))，⊥eq\o(DS,\s\up8(→))，则·eq\o(DC,\s\up8(→))＝(1，λ，u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))＝eq\f(1,2)＋λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).·eq\o(DS,\s\up8(→))＝(1，λ，u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))＝－eq\f(1,2)＋u＝0，∴u＝eq\f(1,2)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2))).【说明】本题考查了理解平面法向量、表示及求法；1、利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．（2）取特值：在求的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．（3）注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0；题型三、利用空间向量证明线线平行例3、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点；求证：四边形AEC1F是平行四边形；【提示】注意结合题设考虑建系利用向量坐标化证之；【证明】以点D为坐标原点，分别以eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))为正交基底，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(FC1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(EC1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，∵eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(FC1,\s\up8(→))，eq\o(EC1,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))∥eq\o(FC1,\s\up8(→))，eq\o(EC1,\s\up8(→))∥eq\o(AF,\s\up8(→))，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形；【说明】本题考查了用好空间向量及其坐标表示，判断、证明空间线线平行与垂直；1、两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面；2、直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直；3、两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直；题型四、利用空间向量证明线面、面面平行例4、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点；求证：MN∥平面A1BD.【提示】本题根据题设，结合空间向量及其表示；可以考虑：视角1、证明与平面的法向量垂直；视角2、在平面找一向量与平线；视角3、证明可以用平面中的两个不共线的向量线性表示；【证明】方法1、如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，于是eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(1,1,0)，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).设平面A1BD的法向量为＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(DA1,\s\up8(→))，,n⊥\o(DB,\s\up8(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up8(→))＝x＋z＝0，,n·\o(DB,\s\up8(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up8(→))·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥.∴MN∥平面A1BD.方法2、eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\o(D1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴MN∥平面A1BD.方法3、eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up8(→))＋\o(BA,\s\up8(→))))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1B,\s\up8(→))＋\o(BA,\s\up8(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B,\s\up8(→)).即eq\o(MN,\s\up8(→))可用eq\o(A1B,\s\up8(→))与eq\o(DB,\s\up8(→))线性表示，故eq\o(MN,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))是共面向量，故MN∥平面A1BD；【拓展1】本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1；【证明】由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则eq\o(CD1,\s\up8(→))＝(0，－1,1)，eq\o(D1B1,\s\up8(→))＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥\o(CD1,\s\up8(→)),m⊥\o(D1B1,\s\up8(→))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CD1,\s\up8(→))＝－y1＋z1＝0，,m·\o(D1B1,\s\up8(→))＝x1＋y1＝0，))令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．所以＝－，所以∥，故平面A1BD∥平面CB1D1.【说明】本题考查了利用平面法向量证明平行；1、向量法证明线面平行的三个思路（1）设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证明l∥α，只需证明a⊥，即；（2）根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可；2、证明面面平行的方法设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β⇔；注意：在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？【提示】可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标；题型五、利用空间向量证明三垂线定理三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直例5、已知、分别是平面的垂线、斜线，是在平面上的射影，；则；【提示】注意通过引入直线的方向向量构建与向量的联系；【证明】由；如图示，不妨取直线的方向向量为，因为，即，，即；又由已知，据图，而，则；反之亦然；【说明】用空间向量证明三垂线定理：视角新，证法多，书写简捷；同学们不妨据此尝试“一题多解”；题型六、向量法证明垂直问题例6、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE.【提示】不妨根据题设：建系，设点，确定相关向量的坐标，判断下列间关系，确定对应的空间位置关系；【证明】根据AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)；（1）因为，∠ABC＝60°，所以，△ABC为正三角形，所以，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，所以，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，所以，eq\o(AE,\s\up8(→))⊥eq\o(CD,\s\up8(→))，即AE⊥CD.（2）方法1：因为，P(0，0，1)，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))⊥eq\o(AE,\s\up8(→))，即PD⊥AE.因为，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.所以，PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.方法2：eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，设平面ABE的一个法向量为＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，则z＝－eq\r(3)，所以，＝(0,2，－eq\r(3))．因为，eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，显然eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),3)n.所以，eq\o(PD,\s\up8(→))∥，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE；【说明】1、证明线线垂直常用的方法：证明这两条直线的方向向量互相垂直；2、证明线面垂直常用的方法：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；（2）证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直；3、证明面面垂直常用的方法（1）转化为线线垂直、线面垂直处理；（2）证明两个平面的法向量互相垂直；【素养提升】1、用向量表示直线或点在直线上的位置（1）在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量，对于直线l上的任意一点P，则有eq\o(AP,\s\up15(→))＝t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))(eq\o(AB,\s\up15(→))＝)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程；向量称为该直线的方向向量；；(2)线段AB的中点M的向量表达式eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．2、平面的法向量及其应用平面的法向量：如果向量的基线与平面α垂直，则向量叫做平面α的法向量或说向量与平面α垂直；3、用向量方法证明平行与垂直设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为，，两个平面α1，α2的法向量分别为，，则有下表：平行垂直l1与l2∥⊥l1与α1⊥∥α1与α2∥⊥【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知直线l过A(3，2，1)，B(2，2，2)，且＝(2，0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝()A．2B．－2C．3D．－3【答案】B【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1,0,1)，由题意知，∥eq\o(AB,\s\up8(→))，则存在实数λ，使＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,x＝λ，))∴λ＝－2，x＝－2；2、若直线l的方向向量＝(1，0，2)，平面α的法向量为＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交【答案】B【解析】∵＝(－2,0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2，∴∥，∴l⊥α；3、已知不重合的平面α，β的法向量分别为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，则平面α与β的位置关系是________．【答案】平行；【解析】∵＝－3，∴∥，故α∥β；4、设直线l1的方向向量为＝(3，1，－2)，l2的方向向量为＝(－1，3，0)，则直线l1与l2的位置关系是________．【答案】垂直【解析】∵·＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴⊥，∴l1⊥l2.；5、若直线l的方向向量为＝(－1,2,3)，平面α的法向量为＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________