3.2函数的基本性质 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

3.2函数的基本性质增函数与减函数的定义前提条件：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I条件∀x1，x2∈D，x1<x2条件图示都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论f(x)在区间D上单调递增特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数f(x)在区间D上单调递减思考1所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明．思考2在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．思考3∀x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，则y＝f(x)在某个区间D上单调递增吗？简要说明原因．二、函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．三、函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考1若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？思考2若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？四、求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．五、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称思考具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？六、用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．七、函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．思考若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上单调递增吗？

考点一性质法求单调性(单调区间)【例1】函数的单调递减区间为A． B． C． D．【练1】(2020·林芝市第二高级中学高二期中(文))函数的单调递增区间为()A． B． C． D．考法二定义法求单调性(单调区间)【例2】(2020·全国高一课时练习)求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.【练2】(2020·全国高一)利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．考法三图像法求单调性(单调区间)【例3】(2020·全国高一)求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|．【练3】(2020·全国高一课时练习)如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考法四利用单调性求参数【例4】(2020·开鲁县第一中学高二期末(文))函数在上是减函数．则()A． B． C． D．【练4】(2020·全国高一课时练习)已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．考法五奇偶性的判断【例5】(2020·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝2x＋；(2)f(x)＝2－|x|；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝.【练5】(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)．考法六利用奇偶性求解析式【例6】(1)(2020·陕西渭滨.高二期末(文))已知是上的奇函数，且当时，，则当时，。(2)已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．【练6】(2020·浙江高一课时练习)函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．考法七利用奇偶性求参数【例7】如果定义在区间[3−a, 5]上的函数f(x)为奇函数，则【练7】(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数，若，则的值为()A． B． C． D．考法八单调性与奇偶性的综合运用【例8】(2020·浙江高一课时练习)函数的最大值是：()A． B． C． D．【练8】(2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文))已知函数为偶函数，当时，，则的解集是()A． B． C． D．课后练习定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x3)=12f(x)，且当A.

1256

B.

1

C.

164

D.

（2021高二下·鹤岗期末）已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+a)A.

-1

B.

0

C.

1

D.

2（2019高一上·静海月考）已知f(x)=ax2+(bA.

−94

B.

94

C.

−32

（2020高二下·长春期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（

）A.

y=log0.5x

B.

C.

y=cosx

D.

y=（2019高一上·平遥月考）若函数y=(x+1)(x−a)为偶函数，则（2020高二下·沈阳期中）若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①ex4−ex3>lnx（2020高一上·芜湖期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=x3+（2020高一上·湖南月考）若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数，定义域为[3a,a+2]，则a+b=（2020高一上·南京月考）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；哪一种方案较为合算？请说明理由.(2)分别求出两种方案盈利总额的最大值及所用年限即可得出结论.（2020高一上·衡阳期中）若已知函数f(x)=ax+b1+x（2018高一上·雅安月考）已知函数f(x)=x|x−m|

(x∈R)，且（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x)；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图（不用列表描点）；（3）由图象指出函数f(x)的单调区间．

12.（2020高一上·龙岗期末）已知函数f(x)=loga1+x（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并给予证明；（3）求使f(x)>0的x取值范围．精讲答案思考1答案不是．如函数y＝x2，y＝eq\f(1,x)等．思考2答案不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．思考3答案若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上单调递增．思考1答案不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．思考2答案最大值为f(b)，最小值为f(a)．思考答案定义域关于原点对称．思考答案不一定．如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－eq\f(1,x)在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增．【例1】【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选：A．【练1】【答案】A【解析】∵函数,∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴∴函数的单调增区间为.故选:A.【例2】【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间上任取，则因为，故可得；又因为，故可得.故，即.故在区间上单调递增.【练2】【答案】证明见解析【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是减函数．【例3】【答案】(1)减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；(2)增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】(1)由题意，函数，图象如图所示，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．(2)令，作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【练3】【答案】答案见解析【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．【例4】【答案】B【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B．【练4】【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】∵函数在区间上具有单调性，

函数的对称轴为或故的取值范围为或.故答案为:．【例5】【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数.【解析】(1)函数的定义域为，由，所以函数为奇函数(2)函数的定义域为由所以函数为偶函数(3)由，所以函数的定义域为又，所以函数既是奇函数又是偶函数(4)由，所以函数的定义域为因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.【练5】【答案】(1)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)偶函数．【解析】(1)由于该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数的定义域为，关于原点对称．，所以函数为偶函数．【例6】【答案】(1)(2)f(x)＝x2+2x【解析】由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得，即当时，.(2)当x＜0时，﹣x＞0，∴f(﹣x)＝x2+2x，又f(x)是偶函数，∴当x＜0时，f(x)＝f(﹣x)＝x2+2x．故答案为：f(x)＝x2+2x．【练6】【答案】【解析】令，则，∴，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，．【例7】【答案】8【解析】因为f(x)为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称即3−a=−5解得a=8【练7】【答案】B【解析】函数的定义域为，，函数为奇函数，则.故选：B.【例8】【答案】A【解析】故函数的最大值为：.故答案为：A.【练8】【答案】A【解析】当时，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集为.故选：A.习题答案1.【答案】B【考点】函数的单调性及单调区间，抽象函数及其应用【解析】令，所以，所以，所以所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以；在中令，得，所以，…，又因为时，有，而，所以的值为.

【分析】抽象函数问题一般都用“赋值法”解决.2.【答案】C【考点】奇函数，函数的周期性【解析】解：∵

y=f(x)

是定义在

R

上的周期为4的奇函数，且当

x∈[0,1]

时，

f(x)=log2(x+a)

∴f(0)=log2a=0

∴a=1

∴

当

x∈[0,1]

时，f(x)=log2(x+1)

∴f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=log22=1

3.【答案】B【考点】偶函数【解析】依题意得：f(−∴b=2，又a∴a=1∴a+b=9故答案为：B.【分析】利用f(x)=f(−4.【答案】C【考点】函数奇偶性的判断，函数的周期性【解析】A中y=logB,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;故答案为：C.【分析】直接利用函数的性质判断即可.5.【答案】1【考点】偶函数【解析】解：函数y=(x+1)(x−∵函数y=(x+1)(x−∴(∴1−∴a=1【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．6.【答案】①④【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性【解析】令f(x)=ex−易知当x∈(0,+∞)时，f'由f'(1则存在x0∈(1∴当x∈(0,x0)时，f当x∈(x0,+∞)时，f∵0<x1<x2<1，∴当∴此时ex∵1<x3<x4，∴∴ex令ℎ(x)=ex∴当x∈(0,1)时，ℎ'(x)<0，当x∈(1,+∞)时，ℎ'(x)>0，∵0<x2<1<x3，∴ℎ(x∵0<x1<x2<1，∴x2故答案为：①④.【分析】根据题意构造函数f(x)再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出ex2−lnx7.【答案】f(x)=−【考点】函数解析式的求解及常用方法，偶函数【解析】当x>0时，f(x)=x当x<0时，则−x>0，所以f(又函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，所以故答案为：f(x)=【分析】根据题意由奇函数的定义即可得出当x<0时函数的解析式。8.【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质【解析】因为函数f(x)=ax2+2bx+4a+b所以{3a+a+2=0f(−x)=f(x)，则因此a+b=−故答案为：−1【分析】根据偶函数的性质,分别求出a,

b的值即可.9.【答案】（1）解：设捕捞n年的盈利为y万元，则y=50n−由y>0，得n2解得10−则3≤n≤17，故n=3.所以捕捞3年开始盈利.（2）解：①yn=−2n−故经过7年捕捞，年平均盈利最大，共盈利12×7+26=110万元.②因为y=−所以当n=10