3.3 幂函数-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)3．3幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数在区间上是单调递增函数，则实数的值是（）A．-1或4 B．4 C．-1 D．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则的值域是（）A． B．C． D．5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数在区间上的最小值是（）A． B． C．4 D．6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数，，，中，值域为的函数共（）个A．1 B．2 C．3 D．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（）A． B． C．2 D．8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数的图象是（）A．B．C．D．

9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（）A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（）A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．① B．② C．③ D．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知，若幂函数为偶函数，且在上递减，则（）A．， B．1，3 C． D．，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数，则实数等于（）A．2 B．1 C．0 D．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数的图象是（）A．B．C．D．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（）A．64 B． C． D．20．（2021·全国高一专题练习）函数的定义域是（）A． B． C． D．21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．322．（2021·全国）幂函数满足：对任意，当且仅当时，有，则（）.A． B． C． D．23．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（）.A． B． C． D．24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数，若，则a的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2021·全国）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数在上单调递增，则的值为（）A． B． C． D．或27．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B．C． D．，且28．（2021·全国高一课时练习）点在幂函数的图象上，则函数的值域为（）A． B． C． D．29．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（）A． B． C． D．30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（）A． B． C． D．31．（2021·全国高一课时练习）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中，可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（）A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数为幂函数，则该函数为（）A．奇函数 B．偶函数 C．区间上的增函数D．区间上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（）A．且 B．且C．且 D．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数，则下列结论正确的有（）A． B．的定义域是C．是偶函数 D．不等式的解集是38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）A． B． C． D．三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，求的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，且.（1）求函数的解析式；（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减．（1）求实数的值．（2）若实数满足条件，求的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围：（3）若实数满足，求的最小值.【答案详解】1．C【详解】由幂函数的定义得m23m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，m2m2=2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；当m=2时，m2m2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.综上所述，m=1或m=2.故选：C.2．D【详解】设，依题意，所以.故选：D3．B【详解】幂函数在上是增函数则，解得故选：B4．D【详解】幂函数的图像过点，，解得，，的值域是.故选：D.5．A【详解】∵函数在区间上是减函数，∴，故选：A.6．C【详解】函数，其定义域为，值域为；函数的定义域为，值域为；函数，，函数值域为；函数，值域为．值域为的函数共3个．故选：C.7．B【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；函数，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故选：B.8．C【详解】首先由分数指数幂运算公式可知，则，，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，关于轴对称，故排除AD，因为，所以在第一象限的增加比较缓慢，故排除B，故选：C9．A试题：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．10．A【详解】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A11．B【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数，故，且是奇数，且是整数，，，当时，，是奇数，；当时，，不是奇数；当时，，是奇数；故或2．故答选：B12．B【详解】因为幂函数是增函数，且定义域为，由得，解得.所以实数a的取值范围是故选：B13．D【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.14．A【详解】对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，函数在上为减函数，②不满足条件；对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，当时，；当时，，则函数的值域为，函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.故选：A.15．C【详解】若幂函数为偶函数，且在上递减，则且，所以.故选：C16．A【详解】因为函数为幂函数，所以m-1=1，则m=2.故选：A.17．A【详解】由幂函数可知:是定义域为R的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x>1时,函数值增长的比较快.故选：A18．C【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选：C.19．D【详解】幂函数的图象过点，，解得，，（4），故选：.20．B【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.21．B【详解】因为在(0，＋∞)上是减函数，所以m－3<0,所以m<3.又因为m∈N*，所以或.又因为是奇函数，所以m－3是奇数，所以m＝2.故选：B.22．B【详解】设，由已知，函数的定义域为，∴，又∵对任意，当且仅当时，有，即与一一对应，必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为，故选：B.23．C【详解】A选项，在上是递增函数，，错，B选项，在上是递减函数，，错，C选项，在上是递增函数，，，，对，D选项，在上是递增函数，，，，错，故选：C．24．C【详解】的定义域为，且在单调递增，所以可化为：，解得：.故a的取值范围是.故选：C25．B【详解】对于幂函数，因为，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴，因为，所以的图象比的图象更接近轴，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B26．A【详解】解：幂函数在上单调递增，，且，解得或，当时符合题意；当时不符合题意；故选：．27．B【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点在幂函数的图象上，所以，即，，所以，故，，，因为，所以，所以，所以函数的值域为.故选：B.29．C【详解】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.故选：C.30．D【详解】由题意得：，得或当时，图象关于y轴对称，不成立；当时，是奇函数，成立；所以不等式转化为，即，解得.故选：D31．C【详解】由，由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处；在（4）处；在或也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由是幂函数，知：，又在上，∴，即，则且，∴.故选：D.34．CD【详解】对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．对于B选项，，，图像是：直线并且除掉点，故B选项错误．对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确．对于D选项，，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．故选：CD35．BC【详解】由为幂函数，得，即m=2，则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，故选：BC.36．BC【详解】因为为幂函数，所以，解得：m=2或m=-1.因为任意，且，都满足，不妨设，则有，所以为增函数，所以m=2，此时因为，所以为奇函数.因为且，所以.因为为增函数，所以，所以.故BC正确.故选：BC37．ACD【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即，，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；对于②对于定义域内的任意，，当时，恒有，在定义域内是减函数；对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；对于B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C：