3.3幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.3：幂函数课标解读：幂函数的概念.（了解）幂函数的图像.（理解）幂函数的性质.（理解）学习指导：1.5个具体幂函数中，（正比例函数），（二次函数），（反比例函数）是初中所学知识，很容易画出图像，画与的图像可利用描点法作图，取点时注意点的代表性.2.先准确把握幂函数的图像在第一象限的特征（与幂指数的关系），再通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图像，进而研究性质，这时学习本节的有效途径。知识导图：知识点1：幂函数的概念1.幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2.幂函数的特征（1）的系数为1；（2）的底数是自变量；（3）的指数为常数.只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等的函数都不是幂函数.例1-1：在函数中，幂函数的个数为（）.0B.1C.2D.3答案：B知识点2：幂函数的图像与性质1.五个具体幂函数的图像当时，我们得到五个幂函数，在同一平面直角坐标系中，通过描点得到五个幂函数的图像.如图所示：2.五个具体幂函数的性质观察图像，可以得到五个幂函数的性质如下：函数定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数既不是奇函数也不是偶函数奇函数单调性增函数在区间上单调递增，在上单调递减增函数增函数在区间和区间上单调递减过定点点（1，1）例2-2：已知，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（）-1,3B.-1,1C.1,3D.-1,1,3答案：C例2-3：下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A.B.C.D.答案：D重难拓展知识点3：一般幂函数的图像和性质1.幂函数的图像观察五个具体幂函数在第一象限内的图像可知，幂函数的图像在第一象限内具有如下特征：在平面直角坐标系中，直线将直线的右侧部分分为（I）（II）（III）三个区域，如图所示.的图像经过区域（I）；的图像经过区域（II）；的图像经过区域（III）.在直线的右侧，从轴向上，幂函数的指数由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”利用幂函数在第一象限内的图像特征，可以做出幂函数的图像，其步骤一般是：先利用上述特征，由给定的幂函数，做出幂函数在第一象限内的图像；再研究其定义域，看当时函数是否有意义；若函数在上有意义，则研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函数）图像的对称性，作出y轴左侧的图像，从而得到幂函数的图像。例3-4：幂函数在第一象限内的图像依次是下图中的曲线（）A.B.C.D.答案：D例3-5：给出下列说法：①幂函数的图像均经过（1,1）；②幂函数的图像均在两个象限里出现；③幂函数在第四象限内可以有图像；④任意两个幂函数的图像最多有两个交点.答案：A2.幂函数的图像和性质底数图象图像特征图像经过点（0,0）和点（1,1）在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸图像过点（1,1），在第一象限内，图像都下凸性质定义域在（0，+）上都有定义，定义域与的取值有关单调性在（0，+）上单调递增在（0，+）上单调递增减奇偶性与的取值有关拓展延伸：对于上表幂函数的性质的补充说明.1.定义域：在（0，+）上都有定义，定义域与的取值有关，要保证函数解析式有意义.具体如下：的分类的定义域R（互质，,）是偶数是奇数R是偶数是奇数2.幂函数奇偶性的判断方法的分类的奇偶性是偶数偶函数是奇数奇函数（互质，）是奇函数是奇函数奇函数是偶函数偶函数是偶函数既不是奇函数也不是偶函数例3-6：给定一组函数图像和函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.请把图像对应的解析式的序号填在图下面的括号内.答案：⑥④③②⑦①⑤题型与方法题型1：幂函数的定义域和值域例7：（1）函数的定义域是，值域是.（2）函数的定义域是，值域是.（3）函数的定义域是，值域是.（4）函数的定义域是，值域是.答案：（1）R（2）（3）（4）例8：讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的大致图象.（1）（2）（3）（4）答案：（1）定义域为R，值域为，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，图像如图（1）所示.（2）定义域为，值域为，既不是奇函数也不是偶函数，在上单调递增，图像如图（2）所示.（3）定义域为，值域为，为奇函数，在上单调递减，图像如图（3）所示.（4）定义域为R，值域为，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，图像如图（4）所示.知识拓展：幂函数对图像的影响当时，是一条直线；当时，的图像是一条不包含（0,1）的直线；当为其他值时，相应幂函数的图像如下表.,都是奇函数为偶数,为奇数为奇数,为偶数题型3：幂函数单调性的应用1.比较幂的大小例9：答案：（1）＜（2）＞（3）＜2.已知单调性求参数例10：已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为.答案：-33.解不等式例11：若，则实数的取值范围是.答案：易错提醒易错1：对幂函数的概念理解不清致误例12：已知函数是幂函数，求的取值范围.答案：{0}易错2：对幂函数的性质把握不准例13：若，求实数的取值范围.答案：高考链接考向1：幂函数的图象例14：函数的图像是（）答案：B考向2：幂函数的性质及应用例15：下列函数中，既是奇函数又是偶函数的为（）A.B.C.D.答案：D基础巩固1.幂函数的图像经过点（2,8），则它的单调递增区间是（）A.B.C.D.2.已知常数，如图所示为幂函数的图像，则的值可以为（）A.B.C.D.3.若幂函数在上单调递减，则实数的值是.4.有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）是偶函数；（2）值域是；（3）在上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是.（填序号）5.已知函数（为常数）.（1）为何值时此函数为幂函数？（2）为何值时此函数为正比例函数？（3）为何值时此函数为反比例函数？6.已知幂函数的图像与轴、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出函数的大致图象.能力提升7.已知一函数具有如下性质：.则（）.A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数8.函数的图象如图所示，则（）A.是奇数，B.是偶数，是奇数，C.是偶数，是奇数，D.是奇数，是偶数，9.若函数是幂函数，且在上单调递增，则（）.A.B.C.2D.