1.5数学归纳法检测A卷基础巩固-2021-2022学年高二上学期北师大版（2019）数学选择性必修第二册

1.5数学归纳法检测A卷(基础巩固）一、单选题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A． B． C． D．2．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（）A． B．C． D．3．用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（）A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对5．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（）A． B．C． D．6．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+17．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立8．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（）A． B．C． D．二、多选题9．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则下列说法错误的是（）A．过程全部正确 B．的验证不正确C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确10．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立11．下列说法正确的是（）A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法B．数学归纳法的第一步的初始值一定为1C．数学归纳法的两个步骤缺一不可D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上12．如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立三、填空题13．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______．14．已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.15．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为_______.16．对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.四、解答题17．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．18．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．20．设，是否存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立?并试用数学归纳法证明你的结论.21．已知为正整数，试比较与的大小.22．设关于正整数的函数（1）求；（2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论参考答案1．B【分析】根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.【详解】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B.2．B【分析】分别求出当、时等式左端的表达式，再比较即可求解.【详解】当时，左端为当时，左端为因为所以从到左端需要增乘的代数式为，故选：B.3．C【分析】分别令代入不等式验证，即可解出．【详解】当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式成立；当时，，，，不等式成立，所以满足题意的的最小值为3．故选：C．4．B【分析】利用数学归纳法的概念即可得出选项.【详解】由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选：B.5．A【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解.【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除．当时，故选：A．6．C【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C7．C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C．8．C【分析】考虑当时，任取其中1条直线，记为，由于直线与前面条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出个交点，从而得出结果.【详解】当时，任取其中1条直线，记为，则除外的其他条直线的交点的个数为，因为已知任何两条直线不平行，所以直线必与平面内其他条直线都相交(有个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的个交点两两不相同，且与平面内其它的个交点也两两不相同，从而时交点的个数是，故选：C9．ABC【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：ABC.10．AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD11．CD【分析】根据数学归纳法的特点判断.【详解】与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；数学归纳法的第一步的初始值不一定为1，如：证明当为偶数时，能被整除.初始值为2，故B错误；数学归纳法的两个步骤缺一不可且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故CD正确.故选：CD.12．BC【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项.【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC13．【分析】将代入左边的式子即可求解.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为：14．2k【分析】由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k＋1)进行比较可得答案【详解】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.故答案为：2k15．(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6【分析】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【详解】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋616．5【分析】当n＝1时，求出a＝3或5，再由当a＝3且n＝2时，不能被14整除，即可得出答案.【详解】当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.故答案为：517．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．18．，证明见解析【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.【详解】由，可得．由，可得．同理可得，，．归纳上述结果，猜想下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．（2）假设当时，③式成立，即，那么，即当时，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．19．见解析【分析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.【详解】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题.20．略【详解】试题分析：假设存在一次函数g(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意可得k=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用数学归纳法加以证明．试题证明：假设存在一次函数g(x)＝kx＋b(k≠0)，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(an－1)对n≥2的一切正整数都成立，则当n＝2时，a1＝g(2)(a2－1)，又∵a1＝1，a2＝1＋，∴g(2)＝2，即2k＋b＝2；①当n＝3时，a1＋a2＝g(3)(a3－1)，又∵a1＝1，a2＝1＋，a3＝1＋＋，∴g(3)＝3，即3k＋b＝3，②由①②可得k＝1，b＝0，所以猜想：存在g(n)＝n，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(n≥2，n∈N*)成立．下面用数学归纳法加以证明：(1)当n＝2时，猜想成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即存在g(k)＝k，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(k)(－1)对k≥2的一切正整数都成立，则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋＝(a1＋a2＋a3＋…＋)＋＝＋＝(k＋1)－k，又∵＝1＋＋＋…＋＋＝＋，∴＝－，∴a1＋a2＋a3＋…＋＝(k＋1)(－)－k＝(k＋1)(－1)，∴当n＝k＋1时，猜想也成立.由(1)(2)可知，对于一切n(n≥2，n∈N*)有g(n)＝n，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(－1)都成立．【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．21．当n=1时,<;当n=2时,=;当n=3时,>;当n=4时,=;，当时,<【解析】试题分析：解：当n=1时,<;１分当n=2时,=;２分当n=3时,>;３分当n=4时,=;4分当n=5时,<;当n=6时,<猜想：当时,<５分下面下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立６分（2）假设n=k（）时猜想成立，即７分则，，当时，从而所以当n=k+1时，猜想也成立9分综合（1）（2），对猜想都成立10分考点：数学归纳法点评：对于不等式的证明可以通过通过对于n的讨论来得到，属于基础题。22．（1），，（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以