4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精练）（教师版）

4.1导数的概念及其意义、导数的运算（精练）1．（2023河南）已知函数的导函数为，则（

）A． B． C．2 D．8【答案】D【解析】由导数定义和，得.故选：D.2．（2023·辽宁）已知函数，则A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】；故选：B.3．（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，，令，∴＝，解，∴在处切线方程为，即．故选：B．4．（2023春·河南·）设函数的图像在处的切线为，则在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以的方程为，即,令，解得,则在轴上的截距为.故选：B5．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】，故，故图象在点处的切线的斜率为，所以即，故选：B6．（2023春·北京）若直线是函数切线，则实数的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由题意设切点为，则，由，得，故，故，故，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由切点在曲线上，得①；由切点在切线上，得②；对曲线求导得，∴，即③，联立①②③，解之得故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.，.故选：B.9．（2023·全国·高三专题练习）已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得，，所以，当且仅当时成立，所以该切线的倾斜角为：.故选：D.10．（2023·福建）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是奇函数，恒成立，所以，，，所以，，即，．故选：A．11（2023·内蒙古通辽·校考二模）曲线在点处的切线的斜率为（

）A．－ B． C．－ D．【答案】B【解析】把代入得导数值为，即为所求切线的斜率．故选：B12．（2023·黑龙江）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由于，所以，根据导数的几何意义可知：,所以，故选：D.13．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数在处的切线如图所示，则（

）A．0 B． C． D．-【答案】A【解析】因为切线过和，所以，所以切线方程为，令，则，所以，所以.故选：A.14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.，.故选：B.15．（2023·吉林）曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A． B．C． D．【答案】B【解析】；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.16．（2022秋·安徽）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，设切点为，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程的斜率为.故选：B17．（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．0【答案】C【解析】由题意可得，根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；所以切点为，代入切线方程可得，解得.故选：C18．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（

）A．e B． C． D．【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，因为，所以，所以切线斜率，所以曲线在点的切线方程为，又，所以切线方程为，又切线方程为，所以，解得，，故A，B，C错误.故选：D.19．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由题意，解得故选:A.20．（2023·广西）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】记，则，，又，曲线在处的切线方程为：，即，令，解得：；令，解得：；该切线与坐标轴围成的三角形面积为.故选：A.21．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，所以，所以，故，所以，所以函数的图像在点处的切线的斜率为.故选：D.22．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数，则在处的切线方程为___________.【答案】【解析】因为，所以，，所以，切线方程为，即.故答案为：.23．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.【答案】【解析】由，得，而，所以，所以切线方程为，即.故答案为：.24．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．【答案】或【解析】设切点为，由，得，∴，得，∴，，∴切点为，，∴曲线在点M处的切线方程为①，又∵该切线过点，∴，解得或．将代入①得切线方程为；将代入①得切线方程为，即．∴曲线过点的切线方程为或．故答案为：或25．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．【答案】【解析】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：26．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为，所以，不妨设直线l与的切点为，斜率为，则，解得或或，当时，直线l为；当时，直线l为，即；当时，直线l为，即；综上：直线l的方程为或或.故答案为：（答案不唯一）.27．（2023·云南·统考模拟预测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为_____.【答案】【解析】设切点坐标为：，所以切线斜率为，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得，又因为，所以实数a的取值范围为.故答案为：.28．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）若曲线与曲线有一条过原点的公切线，则m的值为__________．【答案】8或【解析】因为过原点斜率不存在的直线为，该直线与曲线不相切，所以设曲线的过原点的切线的方程为，切点为，则，，，所以，当时，，所以直线与曲线相切，设切点为，则，，，所以或，当时，，当时，，当时，，则，，，满足方程的解不存在，故不存在.所以或，故答案为：8或.29．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.【答案】【解析】设切点坐标为：，，所以切线斜率为，即切线方程为，又切线过坐标原点，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以，解得故答案为：30．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，若存在实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的最大值是_______【答案】【解析】由，得，则在点处的切线斜率为，由二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，因为切线与直线垂直，所以且，所以，即实数的最大值是．故答案为：31．（2023·四川南充·统考二模）已知直线与曲线相切，则m的值为______．【答案】1【解析】由题意，可得，直线与曲线相切，设切点为，则，则，即切点为，将该点坐标代入，可得，故答案为：132．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若直线与曲线和均相切，则__________.【答案】【解析】设直线与相切于点，，因为直线与相切，所以，且；解得；因为直线与曲线相切，联立得，且，即.故答案为：.33．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.【答案】1【解析】，，设公共点为，则，即，消得，令，∴在上单调递增，又，∴，．.故答案为：1.1．（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数，可得，则，即切线的斜率为，又由时，求得，即切点坐标为，所以切线方程为，即，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离.故选：D．2．（2023春·河南郑州）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】,则，所以，所以，由，得，所以，即，所以.故选：D.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设切点坐标为，对函数求导可得，所以，切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入切线方程可得，即，因为过点可作曲线的两条切线，则关于的方程有两个不等的实数解，所以，，即，即，对于点，，A不满足；对于点，，B不满足；对于点，，C满足；对于点，，D不满足.故选：C.4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.5．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线为曲线在点处的切线，，所以，即；设直线为曲线在点处的切线，，所以，即，由题意知，因为，由可得，将其代入可得：，显然，整理得.记且，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即，化简得，解得，故选：.6（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.7．（2023春·安徽合肥·）（多选）下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；故选：BC8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】BC【解析】因为，所以，设切点，在点处的导数为，根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：整理得，所以，①当时，可化为，由函数定义域知分母不为0，，所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；②当时，可化为，是关于的二次方程，，且两根之积为，所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.故选：BC.9．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）（多选）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（

）A．当，时，有且仅有一条切线B．当时，可作三条切线，则C．当，时，可作两条切线D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或【答案】AD【解析】A：当时，点在上，，若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，若不为切点，设切点坐标为，所以，切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；B：设切点坐标为，所以，，则切线的斜率为，切线方程为，当时，，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时有极小值，为，时有极大值，为，时，画出的图象，当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；C：当时，由切线方程得，则，设，则，所以单调递减，且，如图，所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；D：当时，由切线方程为得，则，设，则，因为，所以当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以当时，单调递减，时，有极小值为，时，有极大值为，的图象为若有两条切线，则的取值为或，正确.故选：AD.10．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）（多选）已知函数，则（

）A．点是曲线的对称中心B．当时，函数有两个极值点C．当时，函数有三个零点D．过原点可作曲线的切线有且仅有两条【答案】AB【解析】选项A：因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确；选项B：因为,所以令解得或，令解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，故B正确；选项C：在处取得极大值，在处取得极小值，,解得时,函数有三个零点,，故C错误；选项D：，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得，，即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；故选：AB11．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．当时，【答案】AB【解析】因为