4.1 数列的概念-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)第四章：数列4.1数列的概念【考点梳理】考点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．考点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列考点三函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．考点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列考点五通项公式1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．考点六数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．考点七数列的前n项和Sn与an的关系重难点大规律归纳1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．(2)可以利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．【题型归纳】题型一:数列的有关概念和分类1．（2021·全国·高二课时练习）下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的．其中正确的是（）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④2．（2021·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（）A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C．数列0，1，0，1，…是常数列D．数列是递增数列3．（2021·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②题型二：判断或者写出数列的项4．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）已知数列－1，，－，…，，…，则它的第6项的值为（）A． B． C． D．5．（2021·江西·新余四中高二月考（理））以下通项公式中，不可能是数列3，5，9，…的通项公式的是（）A． B．C． D．6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于（）A． B． C． D．题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数7．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）在数列中，，则此数列最大项的值是（）A．107 B． C． D．1088．（2021·全国·高二课时练习）数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（）A． B．C． D．9．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项题型四：由递推公式求数列的指定项10．（2021·河南洛阳·高二期中（文））数列满足，且，，则（）A．1 B．2 C．5 D．811．（2021·江西九江·高二期中（理））若数列满足，且，则的前100项和为（）A．67 B．68 C．134 D．16712．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，，，则（）A．-2 B．-1 C．1 D．2题型五：由递推公式求通项公式13．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A．B．C．D．14．（2021·天津市南仓中学高二期末）已知数列，满足，若，则（）A． B．2 C．1 D．15．（2020·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（）A． B．n C． D．题型六：利用Sn与an的关系求通项公式16．（2021·河南·高二月考）已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．17．（2021·江苏·常熟中学高二月考）数列的前项和为，若，，则等于（）A． B． C． D．18．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（文））数列满足，则（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题19．（2021·全国·高二课时练习）数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（）A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)20．（2021·全国·高二课时练习）若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列21．（2021·全国·高二课时练习）给出以下通项公式：①；②；③，其中可以作为数列，，，，，，…的通项公式的是（）A．①② B．②③C．①③ D．①②③22．（2021·河南洛阳·高二期中（理））数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（）A． B． C． D．23．（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）数列满足，，其前项积为，则等于（）A． B． C． D．24．（2021·河南·高二月考）已知在数列中，，，且，则（）A．3 B．15 C．37 D．6325．（2021·江苏·高二单元测试）在数列中，，则（）A．25 B．32 C．62 D．7226．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．27．（2021·河南·高二月考（文））猜想数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．【高分突破】一：单选题28．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．29．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（）A． B． C． D．30．（2021·全国·高二专题练习）已知下列命题：①已知数列{an}，(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列，－，2，－，…，的一个通项公式是an＝(－1)n＋1；③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列．其中命题正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题31．（2021·江苏·高二课时练习）下列四个选项中，不正确的是（）A．数列，的一个通项公式是B．数列的图象是一群孤立的点C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列D．数列，，是递增数列32．（2021·全国·高二课时练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．33．（2021·全国·高二专题练习）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（）A． B．C． D．34．（2021·江苏·高二课时练习）已知数列满足，下列命题正确的有（）A．当时，数列为递减数列B．当时，数列一定有最大项C．当时，数列为递减数列D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项三、填空题35．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在数列中，，，，则________．36．（2021·广西·崇左高中高二月考）已知数列的前项和为，且，则__________．37．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足若，则________.38．（2021·全国·高二）如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有___________个顶点.四、解答题39．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，．（1）求证：数列先递增后递减；（2）求数列的最大项．40．（2021·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．（1）；（2）；（3）．41．（2021·全国·高二单元测试）在数列中，，点在函数的图象上.（1）求，，的值；（2）猜想数列的一个通项公式.42．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.【答案详解】1．A【详解】数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是，也可以是．故①②正确，③④错误．故选：A．2．D【详解】A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；D由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列{}是递增数列，故D正确；故选：D．3．C【详解】①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选：C.4．D【详解】由题设，数列的通项公式为，∴当n＝6时，该项为.故选：D.5．D解：对A.，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对B.，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对C.，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对D.，不可能是数列3，5，9，…的通项公式；故选：D.6．B【详解】.故选：B.7．D解：，因为，且，所以此数列最大项为.故选：D.8．C【详解】由，所以当且时，单调递减；当且时，单调递减，结合函数的图象，如图所示可得当时，取得最大值，即，当时，取得最大值，即.故选：C.9．A解：，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．10．C解：因为，且，，所以，，故选：C11．B【详解】因为，所以，因为，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，所以从第2项起，3项一个循环，所以的前100项的和为，故选：B．12．B【详解】因为数列中，，，，所以，所以.故选：B13．B【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，所以，，所以.故选：B.14．A【详解】由，且则，，所以，即数列是以3为周期的周期数列所以故选：A15．D【详解】由题意，数列满足，所以，所以．故选：D．16．C【详解】∵，当时，，此时，综上，数列的通项公式为.∴，记，则在与上都是增函数，∴数列的最小项是第6项，值为.故选：C17．C【详解】时，,时，，所以，而，所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，所以.故选：C.18．D【详解】当时，则有；当时，由，①可得，②①②可得，所以，，满足.故对任意的，.故选：D.19．C解：A，B中没有告诉某一项的值，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合题意．只有选项C符合题意.故选：C20．A【详解】an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选：A.21．D对于①：当时，对应的项分别为：，，，，，，故①正确；对于②：当时，对应的项分别为：，，，，，，故②正确；对于③：当时，对应的项分别为：，，，，，，故③正确；所以①②③的通项公式都符合题意，故选：D.22．C【详解】因为，，且，，所以；；；；；；同理递推可得：；；；；；；；；；；；.所以=2.故选：C23．D【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，，.故选：D.24．C【详解】因为且，则.故选：C.25．B解：令函数，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，所以所以故选：B26．B【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.27．D【详解】根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足，分子2，8，26，80，…满足，又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得.故选：D.28．C【详解】由题意得即解得故选：C29．D【详解】解：，数列的“匀称值”为，，①时，，②①②，得，，，当时，满足上式，，．故选：D30．A【详解】①an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列，，，，…，则an＝(－1)n＋1·，故②正确；对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，故③正确；对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．故选：A31．ACD【详解】对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．故选：ACD．32．ABCD【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确.对于B：，故B正确.对于C：由，，，…，，可得，故C正确.对于D：斐波那契