2.2基本不等式 课前检测 【新教材】2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式课前检测题一、单选题1．已知，若，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22．若，则（）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值3．“”是“函数的最小值大于4”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．5．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)6．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（）A．25 B．50 C．20 D．7．函数的最小值为（）A．9 B．6 C．5 D．28．已知都是正数，若，则的最小值是（）A．5 B．4 C． D．二、多选题9．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（）A． B．C． D．10．下列说法中，正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则三、填空题11．已知，则函数的最小值为______________.12．函数的最小值是___________.13．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.14．已知，且，则的最小值为___________.四、解答题15．已知、都是正数，求证：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.16．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；（3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值；参考答案1．D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，，所以基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值是故选：D2．A【分析】直接根据基本不等式求解即可．【详解】解：∵，又，，当且仅当即时等号成立，，当且仅当时等号成立，故选：A．3．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】解：若，则的最小值为；若的最小值大于4，则，且，则，故选：C．4．B【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.【详解】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值．故选：B.5．A【分析】利用基本不等式由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围【详解】解：因为，所以，即，当且仅当，即时取“=”，所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].故选：A.6．B【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.【详解】由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，当且仅当m=n=±时等号成立.所以mn的最大值是.故选：B【点睛】关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.7．C【分析】本题可通过基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，则，当且仅当时取等号，故函数的最小值为.故选：C.8．C【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．BCD【分析】由，得到，然后利用射影定理得到判断.【详解】因为，所以,因为，所以由射影定理得，因为，所以，当且仅当时取等号，故选：BCD10．ABD【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可.【详解】解：对于A选项，由，得，故A正确；对于B选项，由，得，即，故B正确；对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确；对于D选项，由基本不等式，得，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题.11．【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：12．4【分析】根据基本不等式可求出结果.【详解】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．【分析】由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．【详解】由x2+xy=1，得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：.14．【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】由得，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；（2）利用基本不等式可证明出结论成立.【详解】因为、都是正数，所以.（1）当积等于定值时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；（2）当和等于定值时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.【点睛】本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.16．（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】