2023年内蒙古通辽市中考数学真题（解析版）

2023年内蒙通辽初中学业水平考试

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答

题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1.2023的相反数是（）

11

A.-------B.-2023C.2023D.----------

20232023

【答案】B

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【详解1解：2023的相反数是一2023,

故选：B.

【点箱】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.在英语单词，。仅iH（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（）

11I

-C-

A.98D.

10

【答案】A

【解析】

【分析】直接由概率公式求解即可.

【详解】解：单词中共有10个字母，

其中〃出现了1次，

故任意诜择一个字母恰好是字母“〃”的概率为：3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关

键.

3.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=a力时，若-ABE平移到©Ob,a=4,h=3,则

的平移距离为（）

h

BEC

A.3B.4C.5D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根据平移的方向可得，AABE平移到ADCF,则点A与点。重合，故々ABE的平移距离为AD的

长.

【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=a/2时，将-ABE平移到2。。尸，

故平移后点A与点。重合，则AABE的平移距离为">=4=4,

故选：B.

【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象是（）

【答案】D

【解析】

【分析】依据一次函数y=2x-3的图象经过点（0,—3）和即可得到一次函数丁=2工-3的图象

经过一、三、四象限.

3

【详解】解：一次函数y=2x-3中，令x=o,则>=-3；令y=0,则工二孑，

2

・•・一次函数y=2x-3的图象经过点（0,-3）和总'°），

・••一次函数y=2x-3的图象经过一、三、四象限，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线.

5.二次根式Ji二，在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）

AJ——1_1AB-1——1——1IA

-1012-1012

1

c।।」---—►D11■<!>——1-►

-1012-1012

【答案】c

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到X的取值范围，然后在数轴上表示即可得解.

【详解】解：根据题意得，1一

解得人《1，

在数轴上表示如下：

1II-----1_>

-1012

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次

根式有意义的条件是解题关键.

2

6.已知点A（不，X）,8（X2，%）在反比例函数>'二一一的图像上，且则下列结论一定正确的是

（）

A.y+y2VoB.乂+%>0c.y-%<°D.yi-y2>0

【答案】D

【解析】

【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出耳、乃的大小关系.

2

【详解】解：•・•点A（X，y）,8（々，必））是反比例函数丁二一一的图像上的两点，

x

・•・%%=x2y2=-2,

*/xl<0<x2,

Ay2<0<y,,即乂一%>。，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关

键.

7.如图，将UWC绕点A逆时针旋转到VAOE，旋转角为。（00<a<18（）c）,点8的对应点。恰好落在

8C边上，若£>E_LAC,ZCAD=24°,则旋转角。的度数为（）

BDC

【答案】A

【解析】

【分析】运用同底数辕相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可

判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤.

【详解】解：①故①是真命题；

②一7TV—3.14,故②是假命题；

③在同圆或等圆值，一条瓠所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；

④将i枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；

⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4,那么方差不变，故⑤是假命题.

综上，正确的只有①.

故选A.

【点睛】本题主要考查了同底数塞相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活

运用相关知识成为解答本题的关键.

9.如图，在扇形A08中，NAQ3=60。，。。平分NAQ8交AB于点。，点C是半径08上一动点，若

OA=],则阴影部分周长的最小值为（)

A.YB.KC.2向生D.2y

6

【答案】A

【解析】

【分析】由于%是定值，只需求解AC+CD的最小值即可，作点。关于08对称点小，连接47、CD\

0D'，则AC+CO最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为AO'+匕.利用角平分线的定

义可求得NA8'=90。，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可.

【详解】解：如图，作点。关于0B对称点连接A。'、CD'、0D',

A

F

\n/B

D,

则CO=CQ‘，OD=OD\ZDOB=ZBOI7,

：.ACCD=ACCDr>AD',当A、C、皿共线时取等号，此时，AC+8最小，即阴影部分周长的

最小，最小值为+

AD

•••。。平分/408,ZA03=60。，

・•.ZAOD=4D0B=-ZAOB=30°，

2

・•・4。。'=9（尸，

在Rt&OAO'中，04=。。'=1,

・•・AJJ=qoM+oiy2=0，

e,30nxlit

又I.=-----------=-,

AD1806

・•・阴影部分周长的最小值为AO'+/・=五+与，

AD6

故选：A.

【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径

问题是解答的关键.

10.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

己知：如图1,在RtZkABC中，ZC=90°.

求作：RtAABC的外接圆.

作法：如图2.

（1）分别以点4和点8为圆心，大于《48的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；

2

（2）作直线PQ,交AB于点、0：

（3）以0为圆心，Q4为半径作00,0O即为所求作的圆.

下列不属于该尺规作图依据的是（）

A.两点确定一条直线

B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC=Q4=Q8即可.

【详解】解：作直线尸Q（两点确定一条直线）,

・•・尸A8且AO=8O（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）.

,:ZACB=90°,

AOC=^-AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

2

：,OA=OB=OC,

・・・A,B,C三点在以。为圆心，为直径的圆上.

・•・。。为“8C的外接圆.

故选：D.

【点睛】本题考查作图•复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的

关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点尸(0,1),点4(4,1),以点P为中心，把点4按逆时针方向旋转60。

四个点中，直线号经过的点

得到点E,在M(-1,-73),M3(1,73-1),^4(2,26)

2c.M3D.%

【答案】B

【解析】

【分析】根据含30。角的直角三角形的性质可得3(2,1+2后)，利用待定系数法可得直线P8的解析式,

依次将MpM2,四个点的一个坐标代入y=Gx+l中可解答.

【详解】解：•・,点4(4,1),点尸(0,1),

・・.PA_Ly轴，孙=4,

由旋转得：ZAPB=60°,AP=PB=4.

如图，过点8作BCJ_y轴于G

・•.ZBPC=30°,

ABC=2,PC=2日

・・・贝2,1+26）），

设直线P8解析式为：y=kx+b,

2k+b=i+2y/3

则nlI,

b=i

k=>/3

b=\

；・直线P8的解析式为：y=Gr+l,

当x=-1时，y=-G+l,

・•・点M（-1,-x/3）不在直线PB上,

当工=一当时,y=V5x卜曰）+1=0,

fA

/.M2--j,0直线尸8上，

当X=1时y=G+l,

・•・M3。，、回一1）不在直线依上，

当x=2时，y=2百+1,

・•・R,2石）不在直线依上.

故选；B.

【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点5的坐标是解本题的关

键.

12.如图，抛物线丁二⑪之+加+4。。。）与x轴交于点（与0）,（2,0）,其中下列四个结论：①

abc<0\②a+Z?+c>0；③2Z?+3c<0；④不等式公？+"+。<一'x+c的解集为0<x<2.其中正

2

确结论的个数是（）

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图象可得出小Ac的符号即可判断①，当x=l时，y<0即可判断②；根据对称轴为

。-jc

x=--->1,。>0可判断③；=ax+bx+c,y2=一一x+c数形结合即可判断④.

2a2

t详解】解：•・•抛物线开口向上，对称轴在），轴右边，与y轴交于正半轴,

，a>0,Z?<0,c>0»

・・・"（:<0,故①正确.

•・•当x=l时，y<0,

.,.Q+b+cvO,故②错误.

•・,抛物线1=仙2+版+。与％轴交于两点（玉,0）,（2,0）,其中0<%<1,

生<-2〈出

22a2

h3

一<—,

2a2

La

当----<一时，b>Ta,

2a2

当x=2时，y=4a+2b+c=0,

,c1

/.b=-2a—c,

2

c1r

/.-2a——c>-3a,

2

：•2a-c>0,

c

设必=0^+版+。，=__X+Cf如图:

由图得，时，0<x<2,故④正确.

综上，正确的有①©④，共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题

是解题的关键.

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横

线上）

13.已知一组数据：3,4,5,5,6,则这组数据的众数是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可.

【详解】解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现次数最多，

・•・这组数据的众数是5,

故答窠为：5.

【点睛】本题考杳众数的定义，熟练掌握众数的概念是解题的关键.

14.将一副三角尺如图所示放置，其中则度.

【答案】105

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得N8=NBQE=30。，根据平角的定义即可求得.

【详解】解：・・・A3〃OE，

AZB=ZBDE=30°,

又•・•NEDF=45。，

・•・ZCDF=180°-30°-45°=105°,

故答案为：105.

【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

15.点。的横坐标为一元一次方程3x+7=32—2x的解，纵坐标为a+8的值，其中小。满足二元一次方

2a-b=4

程组〈〜C，则点。关于y轴对称点。的坐标为•

【答案】（-5,T）

【解析】

2a-b=4

【分析】先分别解一元一次方程3x+7=32-2x和二元一次方程组（〜0,求得点。的坐标，再

-a+2Z?=-8

根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解.

【详解】解：3x+7=32-2x,

移项合并同类项得，5%=25,

系数化为1得，x=5,

・••点。的横坐标为5,

，2a-b=4®

*[-a+2b=-S@f

由①+2x②得，3b=—12,解得：b=-4,

把=T代入①得，勿+4=4,解得：a=0,

・'・。+/?=0—4=-4,

；・点。的纵坐标为-4，

*,•点Q的坐标为（5,-4）,

・•・点。关于y轴对称点Q的坐标为（-5,-4）,

故答案为：（-5,T）.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一一轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直

角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点。的坐标是解题

的关键.

16.如图，等边三角形A5C的边长为6cm,动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过

点P作PQJ.AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形尸Q。，使点儿。在尸。异侧，当点。落在

BC边上时，点P需移动!

【解析】

【分析】当点。落在8C上时，如图，BP=AB-AP=6-2x,根据等边三角形,/BC是等

边三角形，证明进而可得x的值.

【详解】解：设点P的运动时间为工⑸，由题意得AP=2x,

BP=AB-AP=6-2x,

•・•PQ±ABt

：.ZQPA=90°f

・・•△PQO和ulBC是等边三角形，

・・.Z4=NB=NOPQ=60。，PQ=PD,

・•・ZBPD=30°，

・•・ZPDB=90°，

:.PD1BC,

・•・AAP七二BDP(AAS),

:.BD=AP=2x，

•:BP=2BD，

6-2x=4x,

解得x=\.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵

活运用等边三角形的性质是解题的关键.

17.某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PAP3分别与AM8所在圆相切于点4B,若该圆半径是

10cm,ZP=60°,则主视图的面积为cm2.

【答案】11006+竽）

【解析】

【分析】根据题意，先找到圆心。，然后根据P4,尸8分别与AM8所在圆相切于点A，B.N尸=60。可

以得到ZAOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据主视图的面积为

S^PAQ+S4PB0+S朗形AMS计算即可.

【详解】解：设圆心为O,过O作AO_LP4,BO上AB,AO和30相交千点。，连接0尸，如图，

•・・R4,PB分别与所在圆相切于点A，B.

・,./OAP=NOBP=90°,

VZP=60°,

・•・404=120。，NAOP=NBQP=60°,

・•・优弧AMB对应的圆心角为360°-120°=240°,ZAPO=/BPO=30°,

•・•该圆半径是10cm,

.・.PB=PA=6OA=10百，

，主视图的面积为PAO+pB()+S扇形AW8

=2x1x10x1073-F240；rX10

2360

=(100肉^^卜mz,

故答窠为：(ioo6+‘詈).

【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解

题的关键.

三、解答题(本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)

18.计算：(g)+tan450-VFioj7-

【答案】0

【解析】

【分析】根据负整数次幕、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可.

2

【详解】解：(^\+tan450-A/(-I0),

=9+1-10,

=0.

【点睛】本题主要考查了负整数次幕、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则

是解答本题的关键.

19.以下是某同学化简分式匕+a-的部分运算过程:

。)

An后/秫4

解：原式=-a---b-------a---b-+.2.a..b.-.l.r..第一步

aaa

1a-ba

........第二步

aalab-b2

_a-b__a-b

.......第三步

lab-b1

（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误;

（2）请你写出完整的解答过程.

【答案】（1）一（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；

（2）根据分式混合运算法则进行计算即可.

【小问1详解】

a-b2ab-b2

解：----+a-

a

a-ba22ab-b2>

a

_a-b（cT-2ab+b2>

=~A―%-J

故第一步错误.

故答窠为：一.

【小问2详解】

.a-b2ab-b2y

解n：-----ci—

aa

2-2ab+b2

a

a-ba

=------x-----------

a{a-by

1

a-b

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键.

20.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72。方向，距离灯塔lOOnmile的A处，它沿正南方向航行一段时

间后，到达位于灯塔P的南偏东40。方向上的B处.这时，B处距离灯塔尸有多远（结果取整数）？（参考

数据：sin720工0.95,cos72。=0.31,tan72°«3.08,sin40°«0.64,cos40°*0.77,tan40°«0.84.）

【答案】B处距离灯塔尸大约有148nmile.

【解析】

【分析】在RtA4PC中，求出PC的长，再在RLPBC中，求出即可.

【详解】解：设A8与灯塔P的正东方向相交于点C,

根据题意，得NA=72。，ZB=40°,/P=lOOnmile；

在RtzXAPC中，

PC

VsinA=—

AP

・•・PC=AP-sin72°=100x0.95=95；

中，ZB=40°,

pc

VsinB=—

PB

PC

・・・PB=«148（nmile）

sin40°0.64'7

答：3处距离灯塔P大约有148nmile.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关

知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

21.党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示.xxx中

学在第28个“世界读书日”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学

生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：

调查方式抽样调杳调查对象XXX中学部分学生

J每周阅读课外书的时间调查统计图

平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每徵

140

项含最小值，不含最大值）120L®

100

A.8小时以上80

60

B.6-8小时一

40F

C.4~6小时7

D.0~4小时[ABUCD项目

81图2

请解答下列问题：

（1）求参与本次抽样调查的学生人数：

（2）求图2中扇形A所占百分比；

（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”人数；

（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒

传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法

中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率.

【答窠】（1）300（2）32%

（3）320（4）g

【解析】

【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“0~4小时”中人数及其

所占百分比可得总人数；

（2）用扇形A的圆心角115.2。除以360c即可求得扇形A所占百分比；

（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“6〜8小时”所占的百分比，用总人数乘以百分

比即可求得；

（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【小问1详解】

在这次调查中一共抽查学生33・11%=300（人），

即参与本次抽样调查的学生人数为300人.

【小问2详解】

1152°

扇形A所占百分比为4100%-32%,

360°

即扇形A所占百分比为32%.

【小问3详解】

平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”所占的百分比为1一32%-11%-41%=16%,

.*.2000x16%=320（人），

即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“6~8小时”人数为320人.

小问4详解】

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，

・•・《西游记》被选中的概率为二二'.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列表

法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键.

22.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下:

操作一：对折正方形纸片ABC。，使AZ）与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AO上选一点P,沿成折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM，

延长PM交C力于点连接8Q.

图1

（1）如图1,当点M在石尸上时，ZEMB=•度;

(2)改变点尸在AO上的位置(点P不与点A,D重合)如图2,判断NMBQ与NCBQ的数量关系，并

说明理由.

【答案】(1)30(2)/MBQ=NCBQ,理由见解析

【解析】

【分析】(1)由正方形的性质结合折叠的性质可得出8M=AB=28E，NBEF=90。,进而可求出

sinZEMB=-,即得出NEM5=30。；

2

(2)由正方形的性质结合折叠的性质可证RQBC。二RtcBMQ(HL),即得出NM8Q=NC3Q.

【小问1详解】

解：■:对折正方形纸片ABC。，使4。与8c重合，得到折痕EF，

:・AB=BC=CD=AD=2BE,/BEF=90。.

•.•在从。上选一点P,沿3尸折叠，使点A落在正方形内部点M处，

；・BM=AB=2BE.

RFBF1

在RL8EM中，sinZEMB=—=——=一,

BM2BE2

/.Z£M5=30°.

故答案为：30.

【小问2详解】

解：结论：4MBQ=4CBQ,理由如下：

•・•四边形ABCO是正方形，

；.AB二BC,ZBAD=ZC=90°.

由折叠可得：AB=BM>NBAD=NBMP=90°,

..BM=BC,NBMQ=NC=90。.

又BQ=BQ,

Rt.BC隼RtjBMQ(HL),

・•・NMBQ=/CBQ.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等

知识点.熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

23.如图，A8为CO的直径，D,七是。。上的两点，延长A8至点G连接CO,ZBDC=ZA.

(2)求证：CO是OO的切线；

(3)若tanE=|,AC=10,求。。的半径.

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)OO的半径为3.2.

【解析】

【分析】(1)利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；

(2)连接0。，由圆周角定理得出NAQ3=90。，证出。DJ_CD,由切线的判定可得出结论；

CDBCBD3

(3)由相似三角形的性质得出一=——=—=-,由比例线段求出CD和的长，可求出A笈的

ACCDDA5

长，则可得出答案.

【小问1详解】

证明：・・・NACZ)=N£)C8,ZB£)C=Z4,

:•.ACD^aDCB；

【小问2详解】

AZADB=90°,

AZ4+ZABr）=90°,

•：OB=OD,

:.ZABD=NODB,

■:ZBDC=ZA,

，ZBDC+/ODB=90°,

・•・NODC=90。，

AOD1CD,

•••。。是oo的半径，

・・・co是OO的切线；

【小问3详解】

3

解：VZAZ）B=90°,tanE=-,ZA=NE，

.BD_3

・.瓦一丁

•：AAC*ADCB，

.CDBCBD_3

••就一而一诙一S’

VAC=10，

1Q

/.CD=6,BC=—=3.6,

5

・•・AB=AC-BC=\0-3.6=6.4.

・•・。。的半径为3.2.

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题

目的己知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

24.某搬运公司计划购买A,B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨

货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.

（1）求每台A型机器，8型机器每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台4型机器售价1.5万元，每台3型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满

足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案.

【答案】（1）每台A型机器，8型机器每天分别搬运货物90吨和100吨

（2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【解析】

【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运10）吨，根据题意列出分式方

程，解方程、检验后即可解答；

（2设公司计划采购A型机器m台，则采购8型机器（30一〃。台，再题意列出一元一次不等式组，解不等

式组求出机的取值范围，再列出公司计划采购A型机器机台与采购支出金额卬的函数关系式，最后利用

一次函数的增减性求最值即可.

【小问1详解】

解：设每台8型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运（X-10）吨,

450500

由题意可得:

解得：x=100

经检验，x=100是分式方程受?=迎的解

x-10x

每台A型机器每天搬运工-10=100-10=90吨

答：每台A型机器，8型机器每天分别搬运货物90吨和100吨

【小问2详解】

解：设公司计划采购A型机器机台，则采购8型机器（30一机）台

90/H+100（30-w）>2880

由题意可得:

1.5m+2（30-/n）<55

解得：10W机412,

公司采购金额：w=1.5/?7+2（30-AW）=-0.5/7?+60

•・•-0.5<0

，卬随机的增大而减小

・•.当〃2=12时，公司采购金额W有最小值，即皿=-0.5x12+60=54,

・•・当购买4型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应月等知识点，理解题意正确列

出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键.

25.阅读材料:

材料I：关于x的一元二次方程出：?+乐+c=0（〃w0）的两个实数根为，々和系数。，b,c有如下关系：

bc

大+4=——，王占二一。

aa

材料2:已知一元二次方程f一冗一1二0的两个实数根分别为用，求机2〃+2的值.

解：•，"，〃是一元二次方程f一工一1=（）的两个实数根，

:.m-^n=}ymn=-l.

则=—1x1=—1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）应用：一元二次方程2f+3尤一1=0的两个实数根为外，当，则为+%=，%为;

（2）类比：已知一元二次方程2/+31-1=0的两个实数根为机，外求帆?+*的值；

（3）提升：已知实数s,，满足2s2+3s-l=O,2产+3，一1=0且SH，，求」一』的值.

st

【答案】（1）一1

22

⑵更

4

（3）工一！的值为J万或—J万.

st

【解析】

【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；

31

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出机+〃二一二，nm=--,再根据

22

nr+rz2=（AW+w）2-2tnn,最后代入求值即可；

31

（3）由题意可将s、f可以看作方程2/+3%一1=0的两个根，即得出$+/=-1，st=一一,从而由

22

（―s）2=（f+s）2—4sf,求得/一$=乎或/—=一半，最后分类讨论分别代入求值即可.

【小问1详解】

解：•；一元二次方程2炉+3X一1=0的两个根为』，X”

b3c1

・・%+毛=-a=-2->%飞=一a=一彳2・

31

故答案为：——>——；

22

【小问2详解】

解：•：一元二次方程2/+3x—1=0的两根分别为机、小

b3c1

../??+/?=——=——,mn=—=——，

a2a2

；・6？+〃2=(加+-2mn

2

r-2x

2>

4

_13

-•

41

【小问3详解】

解：T实数s、f满足2s2+3s-l=0,2*+3f-l=0,

••・s、/可以看作方程2F+3x-l=0的两个根,

a2a2

2

V(/-5)=(/+S)2-4S£

\2

3f

—4x

2)「5

17

T

姮

22

当…二十时'

叵

stst_2_

~2

当-―当时,

stst

~2

综上分析可知，的值为J/或-J万.

st

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算.理解题

bc

意，掌握一元二次方程"2+加+右=0(。=0)根与系数的关系：%+w=一-和是解题关键.

aa

Q

26.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=or2+§x+c(aw0)与x轴交于点4(1,0)和点8,与y轴交于点

C(0T).

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B.C重合)，作轴，垂足为D,连接PC.

①如图，若点P在第三象限，且tanNC尸。=2,求点尸的坐标；

②直线尸。交直线BC于点£当点E关于直线尸C的对称点E'落在y轴上时，请更接写出四边形PECE

的周长.

AQ

【答案】(1)y=-x2+-x-4

33

【解析】

【分析】(1)将4,。两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a,c,进而求得结果；

/A8、E,

(2)①设Px,-x2+-x-4,过点C作CE上PD于点、E，求出尸瓦CE,根据lanNCPO=——=2

I33J