数学同步优化指导(人教版选修4-5)课件：第3讲3课时排序不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．2．体会运用经典不等式的一般思想方法．1．顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．(1)顺序和：a1b1＋a2b2＋…＋anbn(2)乱序和：a1c1＋a2c2＋…＋ancn(3)反序和：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb12．排序不等式(排序原理)设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．1．使用排序不等式的关键是什么？提示：使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系．2．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．解析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知．当然由图我们可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥3．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：答案：220

180对应关系和备注(1,2,3)(25,30,45)S1＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝220(最大值)顺序和(1,2,3)(25,45,30)S2＝a1b1＋a2b3＋a3b2＝205乱序和(1,2,3)(30,25,45)S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3＝215乱序和(1,2,3)(30,45,25)S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1＝195乱序和(1,2,3)(45,25,30)S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝185乱序和(1,2,3)(45,30,25)S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝180(最小值)反序和1．对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．利用排序不等式求最值【授之以渔】利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．利用排序不等式证明不等式【授之以渔】利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和，利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．【纠错心得】要利用排序