新高考数学二轮复习创新题型专题01 函数与导数（数学文化）（解析版）

专题01函数与导数（数学文化）一、单选题1．（2022春·辽宁沈阳·高二校联考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数SKIPIF1<0存在一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意逐个解方程判断即可【详解】解：对于A，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程无解，所以A不符合题意，对于B，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程无解，所以B不符合题意，对于C，由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，对于D，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程无解，所以D不符合题意，，故选：C2．（2023·高一单元测试）上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】先求出总的面积为SKIPIF1<0（平方步），再转化为亩数为SKIPIF1<0之间，对照四个选项，即可得到正确答案.【详解】总的面积为SKIPIF1<0（平方步）.因为一亩约在200—250平方步之间，所以转化为亩数为SKIPIF1<0之间，即SKIPIF1<0之间，对照四个选项，只有B正确.故选：B3．（2021秋·高一课时练习）圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为SKIPIF1<0米，则应县木塔的总高度大约是（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】C【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可估计【详解】设正方形的边长为SKIPIF1<0，圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知白银比例为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故排除A，B，D．故选：C4．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为SKIPIF1<0，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为SKIPIF1<0，则下列数中最接近数值SKIPIF1<0的是（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用对数的运算法则计算SKIPIF1<0后可得．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最接近于SKIPIF1<0．故选：D．5．（2021秋·江苏·高一专题练习）据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县发生里氏SKIPIF1<0级地震.已知地震时释放出的能量SKIPIF1<0（单位：焦耳）与地震里氏震级SKIPIF1<0之间的关系为SKIPIF1<0.据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的SKIPIF1<0级地震所释放出的能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到SKIPIF1<0；参考数据：SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.【详解】由题设，四川省泸州市泸县发生里氏SKIPIF1<0级地震的能量为SKIPIF1<0，日本本州东岸近海发生的SKIPIF1<0级地震的能量为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C6．（2022秋·四川成都·高三校考开学考试）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)的形式.已知SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为SKIPIF1<0，经过一年，该果树的高为SKIPIF1<0，则该果树的高度超过SKIPIF1<0，至少需要(

)附：SKIPIF1<0A．3年 B．4年 C．5年 D．6年【答案】B【分析】首先根据已知条件求出SKIPIF1<0，然后求不等式SKIPIF1<0即可.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故该果树的高度超过SKIPIF1<0，至少需要4年.故选：B.7．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）开普勒SKIPIF1<0，德国天文学家、数学家，他发现了八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为SKIPIF1<0，则天王星的公转时间约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，距离太阳的平均距离为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为SKIPIF1<0，距离太阳的平均距离为SKIPIF1<0，土星的公转时间为SKIPIF1<0，距离太阳的平均距离为SKIPIF1<0，由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.8．（2021秋·广东东莞·高一校考阶段练习）中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示.纵式横式1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意，判断出表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.【详解】根据题意，判断出表示的数字为729，SKIPIF1<0，不符合题意；SKIPIF1<0,符合题意；SKIPIF1<0个位数字为1，不符合题意；SKIPIF1<0，不符合题意.故选：B9．（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析各选项即可判断作答.【详解】对于A，函数SKIPIF1<0定义域是R，SKIPIF1<0定义域是SKIPIF1<0，A不是；对于B，函数SKIPIF1<0定义域是R，SKIPIF1<0定义域是Z，B不是；对于C，函数SKIPIF1<0定义域R，SKIPIF1<0定义域是R，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对应法则相同，C是；对于D，函数SKIPIF1<0定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定义域是SKIPIF1<0，D不是.故选：C10．（2022秋·山东烟台·高三校考阶段练习）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“SKIPIF1<0”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“SKIPIF1<0”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为SKIPIF1<0，第14个梅森素数为SKIPIF1<0，则下列各数中与SKIPIF1<0最接近的数为（

）参考数据：SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】近似化简SKIPIF1<0，结合对数运算求得正确答案.【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，两边同时取常用对数得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，结合选项知与SKIPIF1<0最接近的数为SKIPIF1<0.故选:C11．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是（

）A．庚子年 B．丙卯年 C．癸亥年 D．戊申年【答案】B【分析】根据干支纪年法的规则判断．【详解】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：1-10甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉11-20甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未21-30甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳31-40甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯41-50甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑51-60甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥故B错误，故选：B．12．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）缪天荣SKIPIF1<0，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪SKIPIF1<0年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过SKIPIF1<0年苦心研究，SKIPIF1<0年，他成功研制出“对数视力表”及“SKIPIF1<0分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“SKIPIF1<0分记录法”将视力SKIPIF1<0和视角SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）设定为对数关系：SKIPIF1<0.如图，标准对数视力表中最大视标SKIPIF1<0的视角为SKIPIF1<0，则对应的视力为SKIPIF1<0.若小明能看清的某行视标SKIPIF1<0的大小是最大视标SKIPIF1<0的SKIPIF1<0（相应的视角为SKIPIF1<0），取SKIPIF1<0，则其视力用“SKIPIF1<0分记录法”记录（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，即可得解.【详解】将SKIPIF1<0代入函数解析式可得SKIPIF1<0.故选：C.13．（2022·全国·高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为反应速率常数，SKIPIF1<0为摩尔气体常量，SKIPIF1<0为热力学温度，SKIPIF1<0为反应活化能，SKIPIF1<0为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，反应速率常数分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（此过程中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值保持不变），经计算SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先由题意表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再由指数运算求出SKIPIF1<0，最后由对数运算求解即可.【详解】由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.14．（2023·全国·高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：SKIPIF1<0，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】C【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果【详解】设SKIPIF1<0是变化后的传输损耗，SKIPIF1<0是变化后的载波频率，SKIPIF1<0是变化后的传输距离，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即传输距离增加了约3倍，故选：C．15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学校联考三模）一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是环境温度，SKIPIF1<0为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（

）（SKIPIF1<0）A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1【答案】B【分析】依题意求出半衰期SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．【详解】解：根据题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：B16．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（

）天墙才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】设需要n天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则SKIPIF1<0，化简并整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内存在一个零点，∴至少需要4天时间才能打通．故选：B．17．（2022·陕西渭南·统考一模）中国的SKIPIF1<0技术领先世界，SKIPIF1<0技术的数学原理之一便是著名的香农公式：SKIPIF1<0.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度SKIPIF1<0取决于信道带宽SKIPIF1<0､信道内信号的平均功率SKIPIF1<0､信道内部的高斯噪声功率SKIPIF1<0的大小.其中SKIPIF1<0叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的SKIPIF1<0可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽SKIPIF1<0，而将信噪比SKIPIF1<0从SKIPIF1<0提升至SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的增长率为（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；【详解】解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的增长率约为SKIPIF1<0.故选：C18．（2022·高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字SKIPIF1<0的素数个数可以表示为SKIPIF1<0．根据欧拉得出的结论，可估计SKIPIF1<0以内的素数的个数为（

）（注：素数即质数，SKIPIF1<0）A．2172 B．4343 C．869 D．8686【答案】D【分析】根据所给函数代入，化简求值即可.【详解】SKIPIF1<0．故选：D19．（2022·全国·高三专题练习）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则SKIPIF1<0的运算结果可用算筹表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对指数运算算出SKIPIF1<0的结果，再对照题中数码即可得到结果.【详解】因为SKIPIF1<0，对照题中数码，注意纵式与横式，即可得到答案D.故选：D.20．（2022秋·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中，为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所在的区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知数据、对数的运算公式进行求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，故选：C21．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解SKIPIF1<0元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解SKIPIF1<0元一次方程组大约需要对实系数进行SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（

）A．SKIPIF1<0机时 B．SKIPIF1<0机时 C．SKIPIF1<0机时 D．SKIPIF1<0机时【答案】C【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得SKIPIF1<0,设所需机时为t，得出SKIPIF1<0,两式相比,可得SKIPIF1<0,化间计算可得答案.【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得SKIPIF1<0，原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故结果最接近于SKIPIF1<0机时,故选:C22．（2021秋·陕西渭南·高一统考期中）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），空气的温度是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），经过t分钟后物体的温度T（SKIPIF1<0）可由公式SKIPIF1<0求得.把温度是SKIPIF1<0的物体，放在SKIPIF1<0的空气中冷却t分钟后，物体的温度是SKIPIF1<0，那么t的值约等于（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．1.76 B．2.76 C．2.98 D．4.40【答案】B【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.【详解】由题可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边取对数得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：B23．（2021秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合SKIPIF1<0，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】对ABD利用特殊值即可判断；对C利用函数的定义逐一验证即可.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即任取SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故C正确；对于D中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故D错误．故选：C．24．（2021秋·江苏扬州·高三校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数SKIPIF1<0的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数SKIPIF1<0的定义域，由此排除部分选项，再探讨SKIPIF1<0上的函数值符号即可判断作答.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是得函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，结合定义域及图象，选项A，D不正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，显然选项C不正确，选项B满足.故选：B25．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，也称取整函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为SKIPIF1<0，然后分析函数SKIPIF1<0的值域，再根据高斯函数的含义确定SKIPIF1<0的值域.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或0，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.26．（2021·江苏·高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为SKIPIF1<0型，比如：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极限即为SKIPIF1<0型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】判定当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极限即为SKIPIF1<0型，再利用给定法则计算即可得解.【详解】显然，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极限即为SKIPIF1<0型，所以：SKIPIF1<0.故选：B27．（2022秋·河南驻马店·高一校考期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为SKIPIF1<0，相应的双曲正弦函数的表达式为SKIPIF1<0.设函数SKIPIF1<0，若实数SKIPIF1<0满足不等式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可判断SKIPIF1<0为奇函数，且在SKIPIF1<0上为增函数，所以不等式化为SKIPIF1<0，利用单调性即可求解.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，SKIPIF1<0由复合函数的单调性可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.28．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示实数SKIPIF1<0的非负纯小数，即SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）有且仅有SKIPIF1<0个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将函数的零点问题转化为SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象有且仅有SKIPIF1<0个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出SKIPIF1<0的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．【详解】函数SKIPIF1<0有且仅有3个零点，即SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象有且仅有SKIPIF1<0个交点．而SKIPIF1<0，画出函数SKIPIF1<0的图象，易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象最多有1个交点，故SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的大致图象，结合题意可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D．29．（2022·全国·高三专题练习）十八世纪，数学家泰勒发现了公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0…，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，下列选项中与SKIPIF1<0的值最接近的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】已知式两边同时求导，然后令SKIPIF1<0代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得．【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0…，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A．30．（2022秋·江苏镇江·高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习）意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：SKIPIF1<0（e为自然对数的底数）．当a=2时，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则p，m，n的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用定义判断函数的奇偶性，再利用导数得到函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，分析即得解【详解】由题意知，SKIPIF1<0，当a=2时，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0故SKIPIF1<0为偶函数又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：B31．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可【详解】由图象可知，函数图象关于SKIPIF1<0轴对称，所以函数为偶函数，对于A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，函数的第一个零点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A不合题意，对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，所以不合题意，对于C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，函数的第一个零点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以符合题意，对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，所以不合题意，故选：C32．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是SKIPIF1<0（℃），空气的温度是SKIPIF1<0（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式SKIPIF1<0得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（

）参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.A．3.048分钟 B．4.048分钟 C．5.048分钟 D．6.048分钟【答案】C【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到SKIPIF1<0，用换底公式将SKIPIF1<0为底的对数换成SKIPIF1<0为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入公式得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（分钟），故选：C.33．（2022秋·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量SKIPIF1<0与传播距离SKIPIF1<0（单位：米）的关系视为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将SKIPIF1<0，80，分别代入方程，变化量就是它们之差.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则衰减量的增加值约为SKIPIF1<0.故选：C二、多选题34．（2022·全国·高三专题练习）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成SKIPIF1<0的形式，两边取常用对数，则有SKIPIF1<0，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（

）真数x2345678910SKIPIF1<0（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819SKIPIF1<0（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内B．SKIPIF1<0是15位数C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0是一个35位正整数，则SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可．【详解】对A

，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，A正确；对B，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是16位数，B错；对C，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正确；对D

，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是一个35位正整数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D正确；故选：ACD35．（2021秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为参数．当SKIPIF1<0时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数SKIPIF1<0和双曲余弦函数SKIPIF1<0．关于双曲函数，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】利用题设条件给出的函数，对各选项逐一分析、推理计算即可判断作答.【详解】因双曲正弦函数SKIPIF1<0和双曲余弦函数SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0，B不正确；对于C，显然双曲余弦函数SKIPIF1<0是偶函数，且在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0，D不正确.故选：AC36．（2021秋·浙江湖州·高一校联考期中）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率SKIPIF1<0准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率SKIPIF1<0（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第SKIPIF1<0位上的数字为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数，记为SKIPIF1<0.设此函数定义域为A，值域为SKIPIF1<0,则关于此函数，下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．值域SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据题意即可求得函数的定义域和值域，即可得出答案.【详解】根据题意可得函数SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；函数的值域SKIPIF1<0，故B错误，D正确；SKIPIF1<0，故C正确.故选：ACD.37．（2022秋·吉林通化·高一校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{SKIPIF1<01，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】利用函数定义对选项逐个判断即可.【详解】解：在A中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故A错误；在B中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B错误；在C中，任取SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故C正确；在D中，任取SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故D正确．故选：CD．38．（2022·全国·高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设SKIPIF1<0是两个非空的数集，如果按某种对应法则SKIPIF1<0，对于集合SKIPIF1<0中的每一个元素SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0中都有唯一的元素SKIPIF1<0和它对应，那么这样的对应叫做从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一个函数”．下列对应法则SKIPIF1<0满足函数定义的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据题中函数的定义，逐项进行判定，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可判断A选项；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可判断B选项；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可判断C选项；根据二次函数的性质和函数的定义，即可判断D选项.【详解】解：对于A中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以不满足函数的定义，所以A不正确；对于B中，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足函数的定义，所以B正确；对于C中，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，满足函数的定义，所以C正确；对于D中，由于函数SKIPIF1<0中的每一个值，都有唯一的一个SKIPIF1<0与之对应，所以SKIPIF1<0满足函数的定义，所以D正确.故选：BCD.39．（2022秋·广西柳州·高一统考期中）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆SKIPIF1<0的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆SKIPIF1<0的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（

）A．对于任意一个圆SKIPIF1<0，其“太极函数”有无数个B．函数SKIPIF1<0可以同时是无数个圆的“太极函数”C．函数SKIPIF1<0可以是某个圆的“