数学新设计同步人教B版选修1-1课件：第一章常用逻辑用语112

第一章——常用逻辑用语1.1.2量词[学习目标]1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.3.知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.1预习导学

挑战自我，点点落实2课堂讲义

重点难点，个个击破3当堂检测

当堂训练，体验成功[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数.答：语句(1)、(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题.[预习导引]1.全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做

，并用符号

表示.(2)全称命题：含有

的命题叫做全称命题.即是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.其形式为“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为

.全称量词“∀”全称量词∀x∈M，p(x)2.存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示.存在量词∃(2)存在性命题含有

的命题，叫做存在性命题.即是陈述某集合M的有些元素x具有某种性质的命题，那么存在性命题就是形如“

”的命题，用符号简记为

.存在量词存在集合M中的元素x，q(x)∃x∈M，q(x).要点一全称量词与全称命题例1

试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；解由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.(2)∀x∈N，x4≥1；解由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.跟踪演练1

判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；解2是素数，但2不是奇数.所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.(2)∀x∈R，x2＋1≥1；解∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.

要点二存在量词与存在性命题例2

判断下列命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；解∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x∈Z，x3<1”是真命题.(2)存在一个四边形不是平行四边形；解真命题，如梯形.(3)有一个实数α，tanα无意义.∴原命题是假命题.规律方法存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪演练2

判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；解由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在.所以，存在性命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题.(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；解由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)有些整数只有两个正因数.解由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.要点三全称命题、存在性命题的应用例3

(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立.求实数m的取值范围；解令y＝sinx＋cosx，x∈R，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围.解令y＝sinx＋cosx，x∈R，又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，规律方法有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪演练3

(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；解关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.此即为所求x的取值范围.1.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是(

)A.四个命题都是真命题

B.①②是全称命题C.②③是存在性命题

D.四个命题中有两个假命题1234解析①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题.答案C12342.下列命题中，不是全称命题的是(

)A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是存在性命题.1234D3.下列存在性命题是假命题的是(

)A.存在x∈Q，使2x－x3＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数1234B4.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.解∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.解∃x∈Q，x2＝3.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.1234课堂小结1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是根据命题涉及的意义去判断，命题中有的含有全称量词和存在量词，有的不含全称量词和存在量词，一定要抓实质，不能看