黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期八月学业阶段性评价考试数学试卷（解析版）

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度上学期八月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（）A.2 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】由共轭复数的定义求出的值，再利用复数的模长公式求解即可.【详解】由和互为共轭复数，所以可得，，，所以，，因此，.故选：B.2.已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得底面半径，再代入表面积公式求解即可．【详解】设底面半径为，则母线，可得高，解得，，故圆锥的表面积．故选：C．3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可.【详解】因为三点共线，则，且，又因为，即，则，且，则，解得.故选：A.5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（）A.10 B.20 C.25 D.40【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解.【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是，又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人．故选：B．6.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可.【详解】由题意知：，，所以，，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，m.故选：C7.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当时， B.当时，事件与事件不独立C.当时， D.当时，事件与事件不独立【答案】D【解析】【分析】计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立，从而得到正确答案即可.【详解】当时，表示一正一反，故，，，因为，故正确；此时，故正确；当时，表示一正二反，，故正确；此时，，，所以，因此事件与事件独立，故D错误.故选：D.8.与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径，即可求解．【详解】解：由题，设正与的中心分别为，，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正与的边长均为2，故，故，，，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为．故选：C．二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.，B.若（a，），则C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程（p，）的根，则【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算，即可判断A；举反例即可判断B；设，根据复数的模的计算公式结合的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，列出方程组求解，即可判断D．【详解】对于A，，设复数，则，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，，，由得，，所以，，所以，由得，，故当时，的最小值为1，故C正确；对于D，因为是关于x的方程（p，）的根，所以，即，所以，解得，故D正确；故选：ACD．10.在中，设角所对边分别为a,b,c，则下列命题一定成立的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，，，则有唯一解C.若是锐角三角形，，，设的面积为S，则D.若是锐角三角形，则【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判断；由正弦定理可判断；利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断；由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断.【详解】，，，为锐角，但不能确定角是否为锐角，故不一定是锐角三角形，故错误；由正弦定理得，，，有唯一解，故正确；，，，，又，解得，，，，，，即，故正确；是锐角三角形，，又，，，又在上单调递增，，，，故正确；故选：.11.如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（）A.B.与平面所成角的正弦值为C.存在点使得⊥平面D.若平面，则点轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面垂直判定定理判断A选项，应用等体积计算点到平面的距离再结合线面角定义求值判断B,反证法判断C选项，先得出面面平行再确定点的轨迹计算得出轨迹长度判断D选项.【详解】对于A：连接，则，平面平面,所以，平面，所以平面，所以，故A选项正确；对于B：延长交于，易得在延长线上，，则，则，设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确；对于C；若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内的射影为,在正方形内任意点时都不可能射影垂直，故C选项错误；对于D：如图所示，取的中点，的中点，连接，可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面,同理可得，平面，因为平面，所以平面平面，因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上，所以点的轨迹长度，故D选项正确故选：ABD.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________.【答案】【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有.故答案为：.13.已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为_________________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数最值求解即得.【详解】由，得，而，与的夹角为，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：14.若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.【详解】由题意可知，数据的平均数为，所以，则，所以数据、、、的平均数为，方差为，所以，将两组数据合并后，得到新数据，则其平均数为，方差为.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，三棱锥的体积为，求.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）连结，，与、分别交于，，连结，根据等比例得，即可证明结果；（2）根据体积计算出边长，结合勾股定理即可求解．【详解】（1）连结，，与、分别交于，，连结，因为为的中位线，所以.又底面为菱形，所以.因为，所以，从而，所以，又平面，平面，故平面.（2）解：由（1）可知的面积为的面积的，即，又知，则.由底面，且可知，顶点到底面的距离，则，由三棱锥的体积为，得，解得；因为底面，所以，于是．16.甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；（2）求在第一轮比赛中团体总分为分的概率；（3）若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可．（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可；（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可．【小问1详解】三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式得，解得，，即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.【小问2详解】团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，设“团体总分为4分”为事件，则，即团体总分为4分的概率是；【小问3详解】团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件，由（2）可知团体总分为4分的概率，团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为，所以参加下一轮比赛的概率为，即该小组参加下一轮比赛的概率为.17.记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解；（2）先设角减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合同角三角函数关系计算求出正弦.【小问1详解】由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形内角性质得，.【小问2详解】，记，则.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.18.某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，在两类产品中各随机抽取50件产品的性能指标作为样本，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）从指标在区间样本中随机抽取2件产品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率.（2）当漏检率时，求临界值和错检率；（3）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.【答案】（1）；（2）87，；（3），最小值0.080.【解析】【分析】（1）首先确定不合格产品和合格产品在区间的件数，再利用编号，列举的方法，求概率；（2）首先由漏检率，确定，再求错检率的值；（3）分和两种情况，求，再根据函数的单调性求最值.【小问1详解】样本中不合格产品在指标为区间的件数是件，记为合格产品在指标为区间的件数是件，记为，总件数为5件.从5件中随机抽取2件有：，共10种情况抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格有，共6种情况故抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格概率为.【小问2详解】由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知，可得，解得，所以错检率【小问3详解】当时，则，，可得；当时，则，，可得；所以，当且仅当时，取到最小值0.080.19.如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；（1）求证：；（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；（3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求