2025届高考数学一轮总复习第11章统计统计案例第2节用样本估计总体跟踪检测文含解析

PAGE第十一章统计、统计案例其次节用样本估计总体A级·基础过关|固根基|1.把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：选D由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.2．(2025届江西师大附中开学考试)某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170 B．160，180C．160，170 D．180，160解析：选D用电量为180度的家庭最多，有7户，故这20户家庭该月用电量的众数是180；将用电量按从小到大的依次排列后，处于最中间位置的两个数是160，160，故这20户家庭该月用电量的中位数是160.故选D.3．为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是()A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数解析：选C由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%＝36，女性人数为40×60%＝24，不相同．4．(2024年全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入削减B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，新农村建设后种植收入为0.745．(2025届陕西黄陵中学期末)为了了解某地区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生的体重(kg)，将他们的体重按[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，…，[74.5，76.5]分组，得到频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是()A．20 B．30C．40 D．50解析：选C由频率分布直方图可得体重在[56.5，64.5)的学生频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选C.6．(2025届“四省八校联盟”高三联考)某中学三年级甲、乙两班各选出7名学生参与中学数学竞赛，他们取得的成果(满分140分)的茎叶图如图，其中甲班学生成果的中位数为81，乙班学生成果的平均数为86，则x＋y＝________．解析：依据甲班学生成果的中位数为81可得x＝1，依据乙班学生成果的平均数为86可得86＝eq\f(1,7)×(76＋80＋82＋80＋y＋91＋93＋96)，y＝4，所以x＋y＝5.答案：57．在某中学实行的环保学问竞赛中，将三个年级参赛学生的成果进行整理后分为5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、其次、第三、第四、第五小组，已知其次小组的频数是40，则成果在80～100分的学生人数是________．解析：依据频率分布直方图，得其次小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是eq\f(40,0.4)＝100，又成果在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成果在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.答案：158．一组数据1，10，5，2，x，2(2<x<5)，若该数据的众数是中位数的eq\f(2,3)倍，则该数据的方差为________．解析：依据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是3，把这组数据从小到大排列，为1，2，2，x，5，10，则eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为x＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差为s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.答案：99．我国是世界上严峻缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水状况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据依据[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04.10．(2024年全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.B级·素养提升|练实力|11.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售．该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,8)解析：选B由题意知y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x，x＝18，19，,95＋（x－19）（4－3），x＝20，21，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x，x＝18，19，,76＋x，x＝20，21.))当日销量不少于20个时，日利润不少于96元．当日销量为20个时，日利润为96元，当日销量为21个时，日利润为97元，日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有{a，A}，{a，B}，{a，b}，{a，c}，{b，A}，{b，B}，{b，c}{c，A}，{c，B}，{A，B}，共10种状况，其中选出的这2天日利润都是97元的有{A，B}，共1种状况，故所求概率为P＝eq\f(1,10).故选B.12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.13．(2025届西安市八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费状况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)依据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的状况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率；(3)依据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)由题意知，甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为eq\f(32＋33×3＋38＋35＋36＋39＋40＋41,10)＝36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则当a＝35时，X＝140；当a>35时，X＝35×4＋(a－35)×7，令X＝35×4＋(a－35)×7>182，得a>41，则a的取值为44，42，所以X>182的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(3)依据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为eq\f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4965(元)．14．某种植园在芒果接近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：克)内，经统计得如图所示的频率分布直方图．(1)经计算估计这组数据的中位数；(2)先用分层抽样的方法从质量在[250，300)，[300，350)内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个质量在[300，350)内的概率；(3)某经销商来收购芒果，用各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：全部芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)由频率分布直方图可得，前3组的频率和为(0.002＋0.002＋0.003)×50＝0.35<0.5，前4组的频率和为(0.002＋0.002＋0.003＋0.008)×50＝0.75>0.5，所以中位数在[250，300)内，设中位数为x，则有0.35＋(x－250)×0.008＝0.5，解得x＝268.75.故中位数为268.75.(2)由题可知，应从质量在[250，300)内的芒果中抽取4个，从质量在[300，350)内的芒果中抽取2个，设质量在[250，300)内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300，350)内的2个芒果分别为a，b.从这6个芒果中选出3个的状况有{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，a}，{A，B，b}，{A，C，D}，{A，C，a}，{A，C，b}，{A，D，a}，{A，D，b}，{A，a，b}，{B，C，D}，{B，C，a}，{B，C，b}，{B，D，a}，{B，D，b}，{B，a，b}，{C，D，a}，{C，D，b}，{C，a，b}，{D，a，b}，共20种，其中恰有一个质量在[300，350)内的状况有{A，B，a}，{A，B，b}，{A，C，a}，{A，C，b}，{A，D，a}，{A，D，b}，{B，C，a}，{B，C，b}，{B，D，a}，{B，D，b}，{C，D，a}，{C，D，b}，共12种，