2025届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第4讲双曲线作业试题1含解析新人教版

PAGE第九章平面解析几何第四讲双曲线练好题﹒考点自测1.[2016全国卷Ⅰ,5分]已知方程QUOTE-QUOTE=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ()A.(-1,3) B.(-1,QUOTE)C.(0,3) D.(0,QUOTE)2.[2024全国卷Ⅲ,5分]双曲线C:QUOTE-QUOTE=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3QUOTE3.[2024全国卷Ⅱ,5分]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ()A.4 B.8 C.16 D.324.[2024大同市调研测试]如图9-4-1,双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE图9-4-15.[2024天津,5分]已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=16.[多选题]以下关于双曲线的命题说法正确的是 ()A.若点(2,3)在焦距为4的双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=1B.若点F,B分别是双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点在此双曲线的渐近线上C.等轴双曲线的渐近线相互垂直,离心率等于QUOTED.若双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)与QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则QUOTE+QUOTE=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线)7.[2024北京,5分]已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.

8.[2024全国卷Ⅰ,5分]已知F为双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

拓展变式1.(1)[2024广东七校第一次联考]P是双曲线C:QUOTE-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为 ()A.1 B.2+QUOTE C.4+QUOTE D.2QUOTE+1(2)[2024全国卷Ⅲ,5分]设双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为QUOTE.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= ()A.1 B.2 C.4 D.82.[2017天津,5分]已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为QUOTE.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=13.[2024成都三诊]已知F1,F2是双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且QUOTE≤∠F1AF2≤QUOTE,则该双曲线离心率的取值范围是 ()A.[QUOTE,QUOTE] B.[QUOTE,3] C.[3,QUOTE] D.[QUOTE,3]答案第四讲双曲线1.A解法一因为双曲线QUOTE-QUOTE=1两焦点之间的距离为4,则:①当焦点在x轴上时,QUOTE解得QUOTE②当焦点在y轴上时,QUOTE无解.综上,-1<n<3.故选A.解法二取n=0,满意题意,解除C,D;取n=2,满意题意,解除B.选A.解法三不考虑双曲线焦点的位置,依据双曲线的性质可得QUOTE化简可得QUOTE则-1<n<3,故选A.2.A设点P在第一象限,依据题意可知c2=6,所以|OF|=QUOTE.又tan∠POF=QUOTE=QUOTE,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以S△PFO=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.故选A.3.B由题意知双曲线的渐近线方程为y=±QUOTEx.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=QUOTE×a×|DE|=QUOTE×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2QUOTE时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值为8,故选B.4.C连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=QUOTE,由双曲线的定义可得|F1Q|=QUOTE+2a,依据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(QUOTE)2+(QUOTE+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=QUOTE,故选C.5.C解法一因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,QUOTE),B(c,-QUOTE),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=QUOTE=QUOTE,d2=QUOTE=QUOTE,因为d1+d2=6,所以QUOTE+QUOTE=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为2,即QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1,故选C.解法二由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1,故选C.6.CD对于A,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|QUOTE-QUOTE|=2,a=1,从而离心率e=2,所以A错误;对于B,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±QUOTE,±QUOTE)不满意双曲线的渐近线方程y=±QUOTEx,所以B错误;对于C,由等轴双曲线的性质可知C正确;对于D,由共轭双曲线的性质可知D正确.故选CD.7.(3,0)QUOTE双曲线C:QUOTE-QUOTE=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±QUOTEx,即x±QUOTEy=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=QUOTE=QUOTE.8.2设B(c,yB),因为B为双曲线C:QUOTE-QUOTE=1上的点,所以QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE.因为AB的斜率为3,所以yB=QUOTE,QUOTE=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e=QUOTE=2.1.(1)D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=2QUOTE,所以|PF1|=2QUOTE+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2QUOTE+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±QUOTEx,焦点F2(QUOTE,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为2QUOTE+1,故选D.(2)A解法一设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则由双曲线的定义得m-n=2a.由题意得QUOTE=QUOTEmn=4,且m2+n2=4c2,又e=QUOTE=QUOTE,所以a=1,故选A.解法二(结论解法)由题意及双曲线焦点三角形的结论(详见主书P203【思维拓展】(4)),得QUOTE=QUOTE=4,得b2=4,又QUOTE=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B由e=QUOTE知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=±x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(-4,0),所以c=4,则a2=b2=QUOTE=8.故选