浙教新版八年级下学期《4. 1 多边形》同步练习卷

浙教新版八年级下学期《4.1多边形》

同步练习卷

一.填空题（共1小题）

I.若一个多边形的对角线条数为9,则这个多边形的边数为.

二.解答题（共49小题）

2.将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形A8COEFGH的8个顶点

上,并且以S”S2，…，S8分别表示（A,B,C）,（8,C,D）,…，（H,A,

B）8组相邻的三个顶点上的数字之和.

（1）试给出一个填法，使得Si，S2,…，&都大于或等于12；

（2）请证明任何填法均不可能使得S2,…，S8都大于或等于13.

3.在凸四边形A3CD中，ZA-ZB=ZB-ZC=ZC-Z£»0,且四个内角中

有一个角为84°,求其余各角的度数.

4.某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用

一个，设这三种正多边形的边数分别是x,y,z.求的值.

xyz

5.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来

排列，设这三种正多边形的边数分别为x,y,z,求的值.

xyz

6.A、8、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏

是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法.

⑶(B)(C)

7.已知正〃边形共有〃条对角线，它的周长等于p,所有对角线长的和等于q,

求旦,皂的值.

Pq

8.实践与探索！

①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成个三角形;

②过五边形一边上点尸与另外三个顶点连线可以把五边形分成个三角形;

③经过上面的探究，你可以归纳出过〃边形一边上点P与另外个顶点连

线可以把〃边形分成个三角形(用含〃的代数式表示).

④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的

理由.

9.已知面积为32c/的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16

C7”.试确定另一条对角线的所有可能的长度.

10.平面上有A、B,C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在4

ABC.△AB。、△AC。、△8DC中至少有一个三角形的内角不超过45°.

11.给定一个正整数〃，凸〃边形中最多有多少个内角等于150°?并说明理由.

12.(1)如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的

三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第〃个

图形中，互不重叠的三角形共有个.(用含〃的代数式表示)

(2)若在如图4所示的n边形中，P是AA,边上的点，分别连接孙2、巩3、出4…

孙"T，得到〃-1个互不重叠的三角形.

A.

你能否根据这样的划分方法写出〃边形的内角和公式并说明你的理由;

(3)反之，若在四边形内部有〃个不同的点，按照(1)中的方法可得攵个互不

重叠的三角形，试探究〃与攵的关系.

(操作用图)

13.一个凸〃边形，除一个内角外，其余1个内角的和为2009°,求〃边形

的边数.

14.证明：五边形内角和等于540。.

15.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.

探究1：如图1,在△ABC中，。是NABC与NAC8的平分线BO和CO的交点，

通过分析发现NBOC=90°理由如下：

2

•..BO和CO分别是NABC和NAC8的角平分线，

：.Zl=^ZABC,Z2=1ZACB,

22

.,.Zl+Z2=l(NABC+NACB)(NA3C+NACB)=1(180°-/A)=

222

90°-1ZA,

2

AZBOC=180°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1ZA)=90°+^ZA.

22

(1)探究2：如图2中，。是NABC与外角NAC。的平分线8。和CO的交点，

试分析N30C与NA

有怎样的关系？请说明理由.

（2）探究3：如图3中，0是外角NDBC与外角NEC8的平分线8。和C。的

交点，则N80C与NA

有怎样的关系？（直接写出结论）

（3）拓展：如图4,在四边形ABC。中，。是NA8C与的平分线8。和

CO的交点，则N80C与NA+/O有怎样的关系？（直接写出结论）

的值.

17.如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=?

18.师傅让徒弟加工一个周长为80c”的多边形工件，要求每个内角都相等，它

与相邻外角的比为3：1,求这个多边形的内角和边长.

19.某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设

计.

（1）如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有.（填

序号）

①正方形②正五边形③正六边形④正八边形⑤任意三角形⑥任意

四边形

（2）如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中

的两种，有几种可行的方案？

（3）如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，

任意选取其中三种，有几种可行的方案？

20.现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石

铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由.

21.如图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成.请仔细观察这个美丽的图案,

并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度？

风筝形银形

22.一个凸11边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼

成，求此凸11边形各个内角的大小，并画出这样的凸11边形的草图.

23.怎样以三角形为基础展铺平面图案.

24.怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？

25.试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案.

26.【问题】用〃边形的对角线把〃边形分割成（〃-2）个三角形，共有多少种

不同的分割方案（〃巳4）?

【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简

单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论.不妨假设〃边形的分割

方案有尸〃种.

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割

方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案.所以，P4=2.

B图③

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割

方案？

不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用A,E与8连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1

个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有产4种不同的分割

方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案.

第2类：如图④，用A,E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同

的分割方案，可视为工凡种分割方案.

第3类：如图⑤，用A,E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1

个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有凡种不同的分割

方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案.

所以，=P4+—P4+P4=^-XP4=—XP4=5（种）

224

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割

方案？

不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用A,F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1

个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割

方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案.

第2类：如图⑦，用A,尸与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1

个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有几种不同的分割

方案.所以，此类共有P4种分割方案.

第3类：如图⑥，用A,尸与。连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1

个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有2种不同的分制

方案.所以，此类共有P4种分制方案.

第4类：如图⑨，用A,F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1

个五边形.再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割

方案.所以，此类共有P5种分割方案.

所以，P6=P5+P4+P4+P5=P5+lp5+lp5+P5==14（种）

555

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为:

Pl=XP6,共有种不同的分割方案.

【结论】用〃边形的对角线把〃边形分割成（〃-2）个三角形，共有多少种不同

的分割方案（〃24）?（直接写出P”与PAT的关系式，不写解答过程）.

【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割

方案？（应用上述结论，写出解答过程）

27.分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：

（1）试写出用〃边形的边数〃表示对角线总条数S的式子：.

（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条

对角线：

（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边

数.(4)(5)

28.在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、

探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过

程.

29.小张升入高中，开学第一天，老师让班级的同学每两个人相互握手，结成好

朋友，其中发现所有的同学一共握手820次.我们可以通过这个数据求出班

级里的学生人数，设班级共有学生“人，则每一个学生需握手〃-1次，这样

〃个学生就握了〃（〃-1）次手，而每两人之间的握手被重复计算了一次，所

以可得n与l）=820,这样就可以解出〃了.你看明白了没有？

（1）请你运用上述方法，探索8边形对角线的条数.并写出你的思路；

（2）请你用题目所给方法得出“边形对角线的条数的公式.

30.在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.

（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；

（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度

数；如果不存在，请说明理由.

31.如图，四边形A8CD中，NA=NC=90°,OE平分NAOC交边于点E,

BF平分N4BC交DC边于点F.

求证：DE//BF.

32.已知：四边形A3CO如图所示.

（1）填空NA+NB+NC+NO=°

（2）请用两种方法证明你的结论.

DD

—\A

BBC

33.如图：小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进

10米，又向左转30度，--------照这样走下去，他第一次回到出发点A

点时，一共走了多少米？

'3x+l42

34.(1)解不等式组：2x-l、

|—>X

(2)如图，已知正五边形A3COE,。交08的延长线于点F,交0E的

延长线于点G.求NG的度数.

35.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角

线叫做这个四边形的和谐线.已知在四边形ABC。中，AB=AO=8C,/BAD

=90°,AC是四边形ABC。的和谐线，求N3CO的度数.(注：已画四边形

图1图2

(1)如图1,NA与N8的等量关系是；如图2,NA与的等量关系

是;对于上面两种情况，请用文字语言叙述：.

（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明.

37.《天天伴我学数学》一道作业题.如图1：请你想办法求出五角星中NA+N

8+NC+/D+/E的值.由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其

结果.下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：

①观察图象，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能

的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的

度数.有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回

答：有想法，就去试试看.很快就有学生发现利用三角形外角性质将NC和

NE；N8和NO分别用外角N1和N2表示.于是得至UNA+N3+NC+NO+

ZE=ZA+Z1+Z2=18O°.根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2

中NA+NB+NC+NO+NE+NF+NG的值吗？请给予证明.

n（凸多边形的边数）345•••

〃？（凸多边形中角度等于135°的————

内角个数的最大值）

（2）猜想给定一个正整数“，凸”边形最多有，”个内角等于135°,则相与〃

之间有怎样的关系？

（3）取〃=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸〃边形中最多有多

少个内角等于135°?并说明理由.

39.小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图

形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示.经测量图1发现，砖面上四个

小正方形的边长都是4cm,AB=JN=2cm,中间的多边形CDEFGH/K是正八

边形.

（1）求M4的长度；

（2）求正八边形COEFGH/K的面积；

（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后,

最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）

40.某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正

多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形

或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，

如图（1）、（2）（3）.请你仿照此方法解决下面问题：

（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出

x和y的值

（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的

示意图.（画正三角形时必须用尺规作图）

41.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地

砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个

平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这

显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角

加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形.

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形…

每个内

角的度

数

（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，

请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两

种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.

42.为了表示几种三角形之间的关系，画了如图结构图：

请你采用适当的方式表示正方形、平行四边形、四边形、菱形、矩形之间的关系.

43.为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下知识结构图：

请用类似的方法，描述下列概念间的关系：正方形、四边形、矩形、菱形、平行

四边形.

44.图中字母表示为四边形、平行四边形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯

形、直角梯形从属关系，则字母所代表的图形为:

A为，B为,C为:

D为,E为,F为

45.(1)从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以

把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成

三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成三角形，……，则〃

边形可以分割成个三角形.

(2)如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形

分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为

(3)若在“边形的一条边上取一点尸(不是顶点)，再将点P与〃边形的各定点

连接起来，则可将〃边形分割成三角形.

企

46.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中！

请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

顶点数

从一个顶12345……①

点出发

的对角

线的条

数

多边形对2591420...②

角线的一

总条数

（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含〃的代数式将上面的表格

填写完整，其中①;②;

（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学.同学们约定，大年

初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学

社团的同学们一共将拨打电话多少个？

（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之

间的联系吗？请用语言描述你的发现.

47.阅读下列内容，并答题：

我们知道计算n边形的对角线条数公式为血血，如果有一个n边形的对角线

2

一共有20条，则可以得到方程还@.=20,去分母得〃（〃-3）=40；•••〃

2

为大于等于3的整数，且〃比〃-3的值大3,.•.满足积为40且相差3的因数

只有8和5,符合方程〃（〃-3）=40的整数〃=8,即多边形是八边形.根

据以上内容，问：

（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；

（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条.”你认为A同学说地

正确吗？为什么？

48.同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？

比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各

队比赛一场，根据积分排列名次.问学校一共要安排多少场比赛？

我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段

把它们连接起来.由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4

个点都会有一条线段连接（如右图）.

现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了.由图可知，五边

形的边数和对角线条数都是5,所以学校一共要安排10场比赛.

同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：

姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手

问好.已知姣姣己握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞

飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手.

49.两条直线相交所形成的四个角中，有一个公共顶点且有一条公共边的两个角

叫做邻补角，如图所示，NAOD与NBOO就是一对邻补角.

（1）多边形的一个外角与其相邻的内角就是一对邻补角，若某多边形的一个外

角的度数为x（度），则与该外角相邻的内角度数可用x的代数式表示为

（2）如果设题（1）中的多边形的边数为x,且该外角的度数与其所有不相邻内

角的度数之和为460°,则可列二元一次方程为；

（3）若某多边形的一个外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为1900°,

求这个外角的度数和此多边形的边数.

50.如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做

正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中Na的变化情况，

解答下列问题.

正多边形的边数3456……18

Za的度数————……―

(2)根据规律，是否存在一个正〃边形，使其中的Na=20°?若存在，直接写

出〃的值；若不存在，请说明理由.

(3)根据规律，是否存在一个正〃边形，使其中的Na=21°?若存在，直接写

出〃的值；若不存在，请说明理由.

浙教新版八年级下学期《4.1多边形》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一.填空题（共1小题）

I.若一个多边形的对角线条数为9,则这个多边形的边数为6

【分析】根据多边形的对角线公式血超进行计算即可得解.

【解答】解：设多边形的边数为〃，则

n（n-3）—Q

~2-，

整理得〃2-3〃-18=0,

解得“1=6,〃2=-3（舍去）.

所以这个多边形的边数是6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键.

二.解答题（共49小题）

2.将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形A8CDEFGH的8个顶点

上，并且以S”S2,…，S8分别表示（A,B,C）,（B,C,D）,…，（H,A,

8）8组相邻的三个顶点上的数字之和.

（1）试给出一个填法，使得S”S2,…，S8都大于或等于12；

（2）请证明任何填法均不可能使得&,S2,…，&都大于或等于13.

A

【分析】（1）首先确定1的位置，1最小，让它的一个相邻的数是最大的数8,

再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等，进行推

断；

（2）首先根据八组的数的和是104,正确分析出其中至多有四组的数的和大于

13,且每一组的数的和都小于或等于14；然后再进一步用设未知数的方法分

析.

【解答】解：(1)不难验证，如图所示填法满足.SI,S2,…S8都大于或等于12.

(2)显然,每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有S1+S2+…

+58=(1+2+3+…+8)・3=108.如果每组三数之和都大于或等于13,因13・8

=104,所以至多有108-104=4个组的三数之和大于13.

由此我们可得如下结论：

1、相邻两组三数之和一定不相等.设前一组为%),后一组为0,k,/).若

有i+j+k=j+k+l,则l=i,这不符合填写要求；

2、每组三数之和都小于或等于14.因若有一组三数之和大于或等于15,则至多

还有另外两个组，其三数之和大于13,余下5个组三数之和等于13,必有相

邻的两组相等，这和上述结论(1)不符.

因此，相邻两组三数之和必然为13或14.不妨假定1填在B点上，A点所填为

i，C点所填为

1、若S]=z+1+J=13,则$2=14,Si=j+l+k=13>因J>1,区是不可能

的.

2、若》=i+lt/=14,则S2=lt/+(>1)=13,S3=j+(/-1)+2：14,“=(/

-1)+2+(j-1)=13,这时S5=14,只能是S=2+(j-1)+i,i重复出现：

所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法.

【点评】做此题的时候，注意各个顶点的数字不得重复，且每一组的数的和应大

于或等于12进行解答.

3.在凸四边形ABC0中，ZA-ZB=ZB-ZC=ZC-ZD>0,且四个内角中

有一个角为84°,求其余各角的度数.

【分析】可设NA-/B=/B-ZC=ZC-ZD=x,根据四边形内角和等于

360°,分四种情况进行讨论，从而求解.

【解答】解：设NA-NB=N8-NC=NC-NZ)=x,

则NC=NO+x,ZB=ZD+2x,ZA=ZD+3x,

VZA+Z5+ZC+ZD=6x+4ZD=360°,

ZD+lx=90°.

2

1、Z£)=84°时，x=4°,

ZA=96°,ZB=92°,ZC=88°；

2、ZC=84°时，2r+4ZC=360°,x=12°,

ZA=108°,ZB=96°,ZD=72°.

3、ZB=84°时，-2x+4ZB=360°,x=-12°,

ZA=72°,ZC=96°.ZD=108°,

4、NA=84°,-6x+4N4=360°,x=-4,

ZD=96°,ZC=92°,ZB=88°.

【点评】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于360°,由于四个内

角中有一个角为84°,不确定，故应该分类讨论.

4.某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用

一个，设这三种正多边形的边数分别是尤，y,z.求的值.

xyz

【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°.

【解答］解：由题意可知：（X-2）X180°+（y-2）X180°+（z-2）*180°=360。,

xyz

-2+i-2+i-2=2,

xyz

xyz2

【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条

件是：一个顶点处的内角和等于一个周角.

5.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来

排列，设这三种正多边形的边数分别为x,y,z,求的值.

xyz

【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360。.

【解答】解：由题意可知：

6-2）・18。°+（丫-2）・18。。+-2）・1对wo

xy

・22

••1一+1—+1-=29

xyz

xyz2

【点评】解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和

等于一个周角.

6.A、8、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏

是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法.

(A)(B)(C)

【分析】根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则.

【解答】解：答案不唯一，如:

（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；

（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；

（3）含5点的最小圆半径；

（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；

（5）连接任意两点线段长度中的最小值.

【点评】本题考查的是游戏规则的制定，属于开放性试题，只要符合石子散落的

距离小的方案均可.

7.已知正〃边形共有〃条对角线，它的周长等于p,所有对角线长的和等于4,

求旦_2的值.

Pq

【分析】〃边形的对角线有工〃•（〃-3）条，根据正〃边形共有〃条对角线，列

2

方程即可求得多边形的边数为5.再作正五边形A8CDE,连接A。，根据正五

边形的特点求出△ABC四△AED,/\ACD为等腰三角形，作NACO的平分线，

交于E根据△AC。与△CO/各角的度数可求出△/COS^CA。，根据

其对应边成比例即可解答.

【解答】解：设这个多边形的边数是〃.

根据题意得：—n*（n-3）=〃，

2

解得：n=5.

则多边形的边数是5.

作正五边形A3CDE,连接AO；

,/五边形ABCDE是正五边形，

AZABC=ZB^E=3X180°=108°,AB=BC,

5

Z.ZBAC=ZACB=18Q°-108°=36°，

2

同理可知，ZAED=108°,AB=BC=AE=DE,

.'.△ABC且△AED,AC=AD；

'：ZBAC=ZDAE=36°,ZBA£=108°,

.,.ZC4D=108°-36°-36°=36°,

/.ZACD=ZADC=72°；

作NACO的平分线，交A。于尸，根据题意，ZCAD=36°,ZACD=ZADC

=72°；

AZACF=ZFCD=36°,AF=CF=CD,

:ZCDs^cAD,

•••正”边形共的周长等于p,所有对角线长的和等于q,

PqP

：.CD=^,AC=&则里=①，即且

55ACCDSP.

55

QV

R=&-1,即9_.P=l.

qPPq

故旦一总的值为1.

PQ

【点评】本题考查了多边形的对角线与边的关系和正五边形的性质，解答此题的

关键是熟知正五边形的特点，及全等、相似三角形的判定定理及性质，作出

辅助线，构造出相应的三角形.

8.实践与探索！

①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成3个三角形;

②过五边形一边上点尸与另外三个顶点连线可以把五边形分成上一个三角形;

③经过上面的探究，你可以归纳出过〃边形一边上点P与另外〃-2个顶点

连线可以把n边形分成个三角形（用含〃的代数式表示）.

④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的

理由.

【分析】①②③在〃边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把

〃边形分成（〃-1）个三角形；

④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（〃

-1）个三角形，内角和为（n-1）X180°,n边形的内角和还要再减去P

所在的一个平角，所以〃边形的内角和为（〃-2）X18O0.

【解答】解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4

-1=3个三角形；

②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5-1=4个三角

形；

③经过上面的探究，你可以归纳出过〃边形一边上点P与另外（，L2）个顶点

连线可以把〃边形分成（〃-2）个三角形（用含鹿的代数式表示）.

④在n边形的任意一边上任取一点P,连接P点与其它各顶点的线段可以把n

边形分成（〃-1）个三角形，

这（«-1）个三角形的内角和等于（〃-1）780°,

以P为公共顶点的（〃-1）个角的和是180°,

所以〃边形的内角和是（”-1）・180°-180°=（n-2）*180o.

故答案为：3；4；n-2,n-\.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和

问题转化为三角形中解决，在〃边形的任意一边上任取一点P,连接尸点与

其它各顶点的线段可以把〃边形分成(»-1)个三角形.

9.已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16

cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.

【分析】四边形ABC。的面积可以分成△ACO与AABC的面积的和，这两个三

角形的面积可以利用N。，N(p表示，根据三角函数的性质即可求解.

【解答】解：设四边形ABCO面积S为32。/,并设4。=乃AC=x,BC=z.

则x+y+z=16Cem)

由S=yXjsin0+-1-xzsinq)|sin0|<1,|sin(p|^1

有：S<—xy+—xz=—x(y+z)=—x(16-x)=—[64-(x-8)2]W32

22222

但S=32,**•sin0—1>sinep_1,且x~8—0.故0—

且x=8,y+z=8.

这时易知：另一条对角线BD的长为仔分=8&c〃z.

【点评】本题主要考查了四边形的面积的计算，把求解的问题转化为三角函数问

题是解决本题的关键.

10.平面上有A、B,C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在4

ABC.AABD.△AC。、△8DC中至少有一个三角形的内角不超过45°.

【分析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内

角都大于45°,从假设出发推出矛盾：四边形内角和大于360°矛盾；三角

形内角和大于180°.从而得以证明结论.

【解答】证明：假设A、B,C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都

大于45°,

当A3CO构成凸四边形时，可得各角和大于360°,与四边形内角和等于360°

矛盾;

当A3C£>构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°,与三角形内角和等于

180°矛盾.

故在△ABC、△ABD、△AC。、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°.

【点评】本题考查了反证法.

反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不

成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的

情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一

一否定.

11.给定一个正整数〃，凸〃边形中最多有多少个内角等于150°?并说明理由.

【分析】设凸“边形最多有攵个内角等于150°,则每个150°内角的外角都等

于30°,根据凸〃边形的〃个外角和为360°可计算出ZW12,当〃=12时,

%有最大值12,再讨论当〃>12时，当〃=3,4,5,6,7时；当〃=8,9,

10,11时，攵的值.

【解答】解：设凸〃边形最多有上个内角等于150°,则每个150°内角的外角

都等于30°,

而凸〃边形的〃个外角和为360°,所以k4瑞二12，

只有当"=12时，

人才有最大值12.

下面我们讨论12时的情况：

(1)当〃>12时，显然，％的值是11；

(2)当〃=3,4,5,6,7时，攵的值分别为1,2,3,4,5；

(3)当〃=8,9,10,11时，%的值分别为7,8,9,10.

综上所述，当3W〃W7时，凸〃边形最多有2个内角等于150°；

当8W〃W11时，凸〃边形最多有〃-1个内角等于150°；

当〃=12时，凸〃边形最多有12个内角等于150°；

当〃>12时，凸〃边形最多有11个内角等于150°.

【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度较大，注意掌握

分类讨论思想的应用是解此题的关键.

12.(1)如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的

三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第〃个

图形中，互不重叠的三角形共有2〃+1个.(用含”的代数式表示)

(2)若在如图4所示的〃边形中，P是4A“边上的点，分别连接力2、朋3、池4…

得到〃-1个互不重叠的三角形.

你能否根据这样的划分方法写出“边形的内角和公式并说明你的理由；

(3)反之，若在四边形内部有〃个不同的点，按照(1)中的方法可得左个互不

重叠的三角形，试探究〃与人的关系.

【分析】(1)解决本题时，可以分别计算出"=3时，4时，5时，6时，各自对

应的数值，看所得结果与〃之间有什么关系，进而即可求出答案；

(2)、(3)基本思路是把多边形分成三角形的问题，通过三角形的内角和定理解

决.

【解答】解：⑴2〃+1个.

(2)设〃边形的内角和为匕则:

k=(»-1)X180°-180°

=(n-2)180°.

(3)又设在四边形内部有〃个不同的点，且按(1)中的方法可得左个互不重叠

的三角形，

而：四边形的内角和为360°,

.•.360/1+360°=4X180°,

贝U：2〃+2=Z.

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确读懂题目，理解例题的基本

思路是解决本题的关键.

13.一个凸〃边形，除一个内角外，其余〃-1个内角的和为2009°,求〃边形

的边数.

【分析】根据多边形的内角和定理表示出此多边形的内角和，然后减去2009°

得到除去的那个内角的度数，根据多边形的角为(0,180°),列出关于”的

不等式，求出不等式的解集，找出正整数解即可得到〃的值.

【解答】解：根据多边形的内角和定理得到：

凸〃边形的内角和为18。(〃-2),

又除一个内角外，其余〃-1个内角的和为2009°,

所以除去的内角为180°(〃-2)-2009°=180°n-360°-2009°=180°n

-2369°,

又0<180°n-2369°<180°,

解得:2369°<180°〃V2549°,

解得：2369。<〃<2549。，又“为正整数，

180180

所以n=14.

【点评】此题考查了多边形的内角和定理，是一道综合题.

14.证明：五边形内角和等于540°.

【分析】因为过五边形的一个顶点可做2条对角线，即可以把五边形分成3个三

角形.已知三角形的内角和是180°,那么3X180°=540°.所以五边形的

内角和得以证明.

【解答】证明：如图，五边形ABCDE,连接AC,连接AD.

形成三个三角形：△ABC,AACD,AADE.

由于三角形内角和是180°,所以五边形ABCDE的内角和等于180°X3=

540°

对于任意一个五边形都是如此.

【点评】本题考查了五边形内角和的证明.从具体的简单的问题入手常能找到解

决问题的思路，本题通过将五边形分割为三角形的方法简单易行.

15.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.

探究1：如图1,在△ABC中，。是NABC与NAC8的平分线BO和CO的交点，

通过分析发现NBOC=90°理由如下：

2

•..BO和CO分别是NABC和NAC8的角平分线，

：.Zl=^ZABC,Z2=1ZACB,

22

.,.Zl+Z2=l(NABC+NACB)(NA3C+NACB)=1(180°-/A)=

222

90°-1ZA,

2

AZBOC=180°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1ZA)=90°+^ZA.

22

(1)探究2：如图2中，。是NABC与外角NAC。的平分线8。和CO的交点，

试分析N30C与NA

有怎样的关系？请说明理由.

（2）探究3：如图3中，0是外角NDBC与外角NEC8的平分线8。和C。的

交点，则N30C与NA

有怎样的关系？（直接写出结论）

（3）拓展：如图4,在四边形ABC。中，。是NA8C与NOCB的平分线80和

C0的交点，则NBOC与NA+NO有怎样的关系？（直接写出结论）

【分析】（1）根据角的平分线的定义以及三角形的外角的性质即可求解；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出NOBC和/

BCE,再根据角平分线的定义求出N03C+N0C8,然后根据三角形内角和定

理列式整理即可得解；

（3）根据四边形内角和等于360°求出NABC+NBC。，再根据角平分线的定义

求出NOBC+NOCB,然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解.

【解答】解：（1）探究2结论：ZBOC=1ZA.

2

理由如下：•.•8。和C。分别是NABC和NACO的角平分线，

：.ZOBC=^ZABC,ZOCD=^ZACD,

22

又VZACD是△ABC的一个外角,

：.ZACD=ZA+ZABC,

：.ZOCD=^-(NA+NABC)=^ZA+^-ZABC=^ZA+ZOBC,

2222

又,：4OCD是ABOC的一个外角，

：.4B0C=NOCD-ZOBC=^ZA+ZOBC-ZOBC=^ZA；

22

(2)探究3：结论NBOC=90°-1ZA.

2

理由是：•.•3。平分/8。。，CO平分NECB,

:./BOC=L/DBC,/OCB=L/ECB,

22

又•.,NDBC=NA+NAC3,ZECB=ZA+ZABC,

，NBOC+NOCB=L(ZA+ZABC+ZACB+ZA)=1(180°+NA),

22

又•.•/3OC=180°-(ZBOC+ZOC5)=180°-1(180°+ZA)=90°-工

22

NA；

(3)拓展：结论N80C=L(ZA+ZD).

2

理由是：•.•B。平分NABC,CO平分NDCB,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZDCB,

22

；.NOBC+NOCB=LCZABC+ZDCB),

2

又•.•NA3C+NOC3+NA+NO=360°,ZABC+ZDCB=3600-ZA-ZD,

：.ZOBC+ZOCB=^-(360°-ZA+ZD),

2

/.ZBOC=180°-(NOBC+NOCB)=1(ZA+ZD).

2

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.

16.一个凸〃边形，除了一个内角外，其余(〃-1)个内角的和是2000°,求〃

的值.

【分析】〃边形的内角和为(〃-2)X180°,即多边形的内角和为180°的整数

倍，用2000除以180°,所得余数和去掉的一个内角互补.

【解答】解：设除去的这个内角是x°,则

(n-2)X180-x=2000,

则2000+x是180的倍数，

所以x=160,

则n=14.

【点评】本题考查了多边形内角与外角.关键是利用多边形的内角和为180°的

整数倍，求多边形去掉的一个内角度数.

17.如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=?

6

7

【分析】先根据三角形的外角性质分别得出N7=N1+N5,Z8=Z4+Z6,再

根据四边形的内角和等于360°即可求解.

【解答】解：•；N7=N1+N5,Z8=Z4+Z6,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z2+Z3