黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-数学02（人教B版2019）（含答案及解析）

新高二开学摸底考试卷02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：人教版B版20194．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设为虚数单位，已知复数，则（

）A． B． C． D．22．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．3．已知向量满足，且，则的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．74．斜三棱柱中，设，，，若，则（

）A． B．C． D．5．如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（

）A． B．C． D．6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（

）A．函数的对称中心为B．若，则的最大值为C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D．若，则7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，，则（

）A． B．若，则C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．11．在正四棱柱中，，，则（

）A．正四棱柱的侧面积为24B．与平面所成角的正切值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．三棱锥内切球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，则向量与的夹角为13．若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是.14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于m.（参考数据：，，，，）四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若z为纯虚数，求；(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．16．（本题满分15分）已知函数从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.条件①：；条件②：在区间单调，且；条件③：函数相邻两个零点间的距离为.选__________作为条件(1)求值；(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中）(1)用表示的长；(2)若，求如图中阴影部分的面积；(3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记.(1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值；(2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值；(3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值.

新高二开学摸底考试卷02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：人教B版20194．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设为虚数单位，已知复数，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用复数的商的运算法则求得，进而可求.【详解】，则.故选：B.2．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出，然后代入计算即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以，故选：B3．已知向量满足，且，则的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根据已知条件直接化简求解即可.【详解】因为向量满足，且，所以.故选：C.4．斜三棱柱中，设，，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为.故选：A.5．如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定理求解外接球半径即可.【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.设该圆内接正三角形的半径为，边长为，则，解得，如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，则，过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，则在中，由正弦定理得，则，所以高，设正四面体外接球球心为，则于是外接球的半径，在中，，则，所以，解得，则其外接球的表面积为．故选：B.6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（

）A．函数的对称中心为B．若，则的最大值为C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D．若，则【答案】D【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可.【详解】对A：.由，，，所以函数的对称中心为，故A错误；对B：.设，则，且，所以，当时，.故B错误；对C：.因为且，所以.所以.所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误；对D：由.所以，故D正确.故选：D7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围.【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得，所以，由，得，所以，因为函数在上单调递增，所以（），即（），解得，因为，所以，所以.故选：B8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.【详解】因为，且，则，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，则，所以，又，化简可得，且为锐角三角形，则，所以，即，解得或（舍），所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，，则（

）A． B．若，则C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为【答案】BD【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影向量的公式即可判断D.【详解】对A，，故A错误；对B，若，则，解得，故B正确；对C，若，则，则，故C错误；对D，在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：BD.10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解.【详解】由图象可知：，周期，故．由，解得，故函数，选项A正确；选项B，，B错误；选项C，，C正确；选项D，，D错误．故选：AC．11．在正四棱柱中，，，则（

）A．正四棱柱的侧面积为24B．与平面所成角的正切值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．三棱锥内切球的半径为【答案】ABD【分析】由侧面积公式即可求解A，根据线面垂直可得与平面所成的角为，即可由三角形的边角关系求解B，根据线线平行可得异面直线与所成的角为或其补角，由三角形的边角关系求解C，利用等体积法即可求解D.【详解】正四棱柱的侧面积为，正确．设，由于四边形为正方形，故，又平面，平面，故，由平面，故平面，则与平面所成的角为，且，，则，B正确．在正方体中，，则异面直线与所成的角为或其补角，，则，C错误．三棱锥的表面积，三棱锥的体积，所以三棱锥内切球的半径为，D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，则向量与的夹角为【答案】【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案.【详解】设向量与的夹角为，则，故.故答案为：13．若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是.【答案】【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解.【详解】由题意可知：与没有交点，因为，且，可得，可知，所以实数k的取值范围是.故答案为：.14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于m.（参考数据：，，，，）【答案】60【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求.【详解】如图，过点作垂直于的延长线于点，在中，，，所以，在中，，，，由正弦定理可得：可得：，所以河流的宽度约等于，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若z为纯虚数，求；(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【详解】（1）由z为纯虚数，得，解得，则，所以.（2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，所以实数a的取值范围是.16．（本题满分15分）已知函数从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.条件①：；条件②：在区间单调，且；条件③：函数相邻两个零点间的距离为.选__________作为条件(1)求值；(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.【答案】(1)(2)当时，；当时，【分析】先化简，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范围即可求解.【详解】（1），若选条件①，,，即，无解，不合题意；若选条件②，因为，所以且所以过图象的最高点，过图象的最低点，又因为在区间单调，所以解得，当时，，当时，，所以在区间不单调，不符合题意，所以；若选条件③，因为相邻两个零点间的距离为，所以，即，又，解得，不合题意；综上，；（2）由（1）知，当时，，所以，当时，；当时，.17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证；（2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，因为是的中点，所以，因为平面，且，所以平面.（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，又平面，所以平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，取平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中）(1)用表示的长；(2)若，求如图中阴影部分的面积；(3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长；（2）图中阴影部分的面积等于