第17章-一元二次方程-利用一元二次方程解决实际问题拓展-22-23学年沪科版数学八年级下册

利用一元二次方程解决利润问题列方程解应用题的基本步骤：设02审01列03解04验05答06基础核心列出的方程必须满足以下两个条件：①方程两边表示同类量数值相等；②方程两边的同类量的单位一样．审清题意选择合适的未知量设未知数找出题中的已知量与未知量寻找等量关系列方程检验方程解的合理性解方程答题在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．例1（1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？分析根据这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，可得现在销售数量为20＋10×（25﹣21）瓶，依此计算即可求解.解答＝60（瓶）．答：商场每天的销量是60瓶；20＋10×（25﹣21）＝20＋40在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．例1（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？分析列方程求解即可．设这种酒精的销售单价应该定为x元，销售量为20＋10（25－x），根据单件利润×销售量＝总利润，整理得：x2﹣42x＋440＝0，解得：x1＝22，x2＝20，则单价的利润为(x－15)元，解答解：设这种酒精的销售单价应该定为x元，依题意得：（x﹣15）[20＋10（25﹣x）]＝350，∴这种酒精的销售单价应该定为20元．答：这种酒精的销售单价应该定为20元．一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，平均可多售出2件．例2（1）设每件衬衫降价x元时，每天可销售____________件，每件盈利____________元；（2）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．（用x的代数式表示）分析（1）根据：实际销售量＝原销售量＋因价格下降而增加的数量，解答（1）每件童装降价x元时，根据：每件利润＝实际售价﹣进价，每天可销售20＋2x件，（20＋2x）（40﹣x）每件盈利：120﹣x－80=40－x(元)，一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，平均可多售出2件．例2（1）设每件衬衫降价x元时，每天可销售____________件，每件盈利____________元；（2）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．（用x的代数式表示）分析（2）根据：总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解可得；解答（2）根据题意，得：(40﹣x)(20＋2x)＝1200∵为了扩大销售量，增加利润，解得：x1＝20，x2＝10∴x＝20答：每件衬衫降价20元时，平均每天赢利1200元.（20＋2x）（40﹣x）一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，平均可多售出2件．例2（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．分析（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．解答（3）不能，故不可能做到平均每天盈利2000元．此方程无实数根，根据题意，得：(40﹣x)(20＋2x)＝2000，展开整理得：2x²－60x＋1200=0△=(﹣60)²－4×2×1200=﹣6000＜0，利润问题主要是掌握利润、售价、成本之间的关系，单件利润＝售价－成本，总利润＝单件利润×销售数量．利用一元二次方程解决增长率问题某公司去年4月的营业额为2800万元，由于改进销售方式，营业额连月上升，6月营业额达到3388万元，假设该公司5月、6月营业额的月平均增长率相同，求月平均增长率．例3分析设月平均增长率为x，解答解：设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求出答案．根据题意列方程得：2800(1＋x)2＝3388，根据4月份的营业额表示出5，6月份的营业额，5月份的营业额为2800×(1＋x)，6月份的营业额为2800(1＋x)2答：月平均增长率为10%．解得：x＝

或（舍去）求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b．其中增长取“+”，降低取“﹣”某钢厂1月份钢产量4万吨，2，3月份产量持续增长，第一季度共生产13.24万吨，求2，3月份平均每月的增长率．例4分析设平均每月的增长率为x，解答解：设2、3月份平均每月的增长率为x，根据：1月份钢产量＋2月份钢产量＋3月份钢产量=13.24，则2月份的钢产量为4×(1＋x)万吨，根据1月份的产量依次求出2月份，3月份的产量，整理得：x2+3x－0.31＝0，根据题意列方程得：4＋4×(1＋x)＋4×(1＋x)2＝13.24．列方程求解即可．3月份的钢产量为4×(1＋x)2万吨.解得:x1＝﹣3.1（不合题意，舍去），x2＝0.1．答：2，3月份平均每月的增长率为10%．化简得：若平均增长（降低）百分率为x,增长（降低）前的量是a,增长（降低）n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n=b.其中增长取“+”，降低取“﹣”利用一元二次方程解决图形面积问题某市在争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．例5分析设广场中间小路的宽为x米，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．解答设广场中间小路的宽为x米，依题意，得(18﹣2x)(10﹣x)＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x＋18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米．18m10mxm绿化区域的面积可视为长(18-2x)米，宽(10-x)米的矩形，利用图形平移，它的面积大小不会改变的道理，把纵、横几条路平移到两端，使得方程更加简洁．2xmxm(18－2x)m(10－x)m如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；例6分析设AB＝x，则BC＝38﹣2x，则可表示出矩形面积，列方程求解即可，根据墙长19m这个限制条件确定正确答案．解答设AB＝x，则BC＝38﹣2x；根据题意列方程：x(38﹣2x)＝180，解得x1＝10，x2＝9；当x＝10，38﹣2x＝18（米），而墙长19m，不合题意舍去．答：自行车车棚的长和宽分别为18m和10m．ABDC19米当x＝9，38﹣2x＝20（米），x38﹣2x边框问题要注意所围成图形中的一边一般是由墙或其它建筑物组成的，进行面积或周长计算时，要特别注意墙或其它建筑物长度的限制．利用一元二次方程解决传播问题2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人感染新冠肺炎，求：例7（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？解答（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．依题意，得：1＋x＋x（1＋x）＝256，分析设每轮传染中平均每人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.…………x人x(x+1)人x人x人x人……（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？分析（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1＋15），解答（2）256×（1＋15）＝4096（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．即可得出结论．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人感染新冠肺炎，求：例7传播问题需要掌握以下数量关系：第一轮传播后的量＝传播前的量×（1＋传播速度），第二轮传播后的量＝第一轮传播后的量×（1＋传播速度）＝传播前的量×（1＋传播速度）2利用一元二次方程解决循环问题毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？例8分析设该兴趣小组的人数为x人，根据礼品店共售出礼品30件，即可得出关于x的一元二次方程，解答设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，依题意，得：x（x﹣1）＝30，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：该兴趣小组的人数为6人．则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，解之取其正值即可得出结论．双循环问题指的是类似两人互送礼物问题，甲送乙，乙送甲，需要两个礼物，所得的总数不需要除以2．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．例9（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行________场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？分析（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；解答（1）

×4×3＝6（场）．6故答案为：6．（2）设有x支球队参加比赛，（2）设有x支球队参加比赛，根据全