专题02公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题02公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一公式法解一元二次方程的解法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 4【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考点五换元法解一元二次方程】 12【考点六一元二次方程根与系数的关系】 15【过关检测】 19【典型例题】【考点一公式法解一元二次方程的解法】【例题1】（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）解方程：．【变式1-1】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．【变式1-2】（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）解方程：．【变式1-3】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【变式1-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例题2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2023·河南商丘·校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式2-2】（2023·河南三门峡·统考一模）一元二次方程的根的情况（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【变式2-3】（2023·江西九江·校考模拟预测）已知一元二次方程，下列说法错误的是（

）A．若，则方程没有实数根B．当且方程存在实数根时，两根一定互为相反数C．若，则方程必有两个不相等的实数根D．若，则方程有两个不相等的实数根【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为___________．【变式3-4】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【变式3-5】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】【例题4】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）解方程：．【变式4-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：(1)；(2)．【变式4-2】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）用合适的方法解方程：(1)；(2)．【变式4-4】（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）解方程：(1)(2)【考点五换元法解一元二次方程】【例题5】（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【变式5-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3【变式5-2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则______．【变式5-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.解方程：.解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得：，，或，，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解决下列问题：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考点六一元二次方程根与系数的关系】【例题6】（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【变式6-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．【变式6-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【变式6-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【变式6-5】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【变式6-6】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定2．（2023·天津滨海新·统考二模）方程的两个根是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若一元二次方程有解，则m的取值范围是（）A． B． C．且 D．且4．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（

）A． B． C．或3 D．或15．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定二、填空题6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）方程的根为______________．7．（2023·吉林长春·统考一模）一元二次方程根的判别式的值是_________．8．（2023·江苏·九年级假期作业）设，是方程的两个根，则___________．9．（2023·河南安阳·统考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．10．（2023春·八年级单元测试）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为____．三、解答题11．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．12．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）解方程：(1)(2)．13．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．14．（2023·北京·统考二模）关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此时方程的根．15．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．16．（2023春·天津和平·九年级专题练习）解方程：(1)解方程：；(2)关于的一元二次方程有两个实数根，，并且．①求实数的取值范围；②满足，求的值．专题02公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一公式法解一元二次方程的解法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 4【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考点五换元法解一元二次方程】 12【考点六一元二次方程根与系数的关系】 15【过关检测】 19【典型例题】【考点一公式法解一元二次方程的解法】【例题1】（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）解方程：．【答案】，【分析】利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：，，，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法步骤并正确求解是解答的关键．【变式1-1】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．【答案】，【分析】利用公式法求解即可．【详解】，，，，，，，即：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-2】（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）解方程：．【答案】【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式1-3】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：原方程化为：∴∴，解得：（2）解：∵,∴解得：.【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式1-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，，原方程的解为：，；（2）解：，，，，，原方程的解为：，．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例题2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根的判别式计算出的值，可得到根的情况．【详解】A选项，，方程有两个不等的实数根，故A选项不符；B选项，，方程没有实数根，故B选项符合题意；C选项，，方程有两个不等的实数根，故C选项不符；D选项，，方程有两个相等的实数根，故D选项不符．故选：B【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的值的正负性得到根的情况．【变式2-1】（2023·河南商丘·校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判别式与根的关系判断即可．【详解】解：∵，∴该一元二次方程无实数根，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【变式2-2】（2023·河南三门峡·统考一模）一元二次方程的根的情况（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】A【分析】先将一元二次方程化为一般式，然后根据即可求解.【详解】解：，，，，.原方程有两个不相等的实数根.故答案选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式对应的三种情况是解题的关键.当时，方程有两个不等实根；当时，方程有两个相等实根；当时，方程没有实根.【变式2-3】（2023·江西九江·校考模拟预测）已知一元二次方程，下列说法错误的是（

）A．若，则方程没有实数根B．当且方程存在实数根时，两根一定互为相反数C．若，则方程必有两个不相等的实数根D．若，则方程有两个不相等的实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式逐一求解即可．【详解】A.将代入原方程，得，则是原方程的根；故A中的说法错误；B.当且方程存在实数根时，；故B中的说法正确；C.若，则，∴，∴方程必有两个不相等的实数根；故C中的说法正确；D.若，则．∵∴，故方程有两个不相等的实数根；故D中的说法正确．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键是熟练运用一元二次方程判别式判断根的情况．【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【答案】【分析】分当时和当两种情况讨论求解即可．【详解】解：当，即时，此时关于的方程为，解得，方程有实数根；当，即时，此时关于的方程若有实数根，则有，解得．综上所述，当时，关于的方程有实数根．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根，∴，∴且，故答案为：且，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为___________．【答案】6【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴且，解得，，∴，∴整数k的最小值是6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．【变式3-4】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【详解】（1）证明：由得，，∵，∴方程总有两个实数根；（2）∵，∴，∴，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴m的最小值为．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．【变式3-5】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【答案】(1)有两个实数根，见解析(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；（2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根理由：，∵，∴，∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，∴，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴有两个相等的实数根，∴，解得，∴这个一元二次方程为，解得．∴这个矩形对角线的长是5．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【考点四因式分解法解一元二次方程的解法】【例题4】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）解方程：．【答案】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，即，∴，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式4-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）采用因式分解法解此方程，即可求解；（2）采用公式法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：由原方程得：，或，解得，，所以，原方程的解为，；（2）解：，，，，，解得，，所以，原方程的解为，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式4-2】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，∴，∴，∴，∴，即或，解得：，；（2），∴，∴，即或，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）用合适的方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法把转化为或，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把转化为或，然后解两个一次方程即可．【详解】（1）解：，或，所以；（2），或，所以．【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式4-4】（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得：；（2）解：∵，∴，∴，∴，即，∴或，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【考点五换元法解一元二次方程】【例题5】（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，因式分解法解一元二次方程得，，∴，，当时，，变形得，，根据判别式，无实根；当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；∴，故选：．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．【变式5-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设，∵，∴，∴或，解得或，∴或，故选C．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【变式5-2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则______．【答案】【分析】设．则原方程转化为关于的一元二次方程，即；然后解关于的方程即可．【详解】解：设．则，即，解得，或不合题意，舍去)；故．故答案是：．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的的取值范围：．【变式5-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.解方程：.解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得：，，或，，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解决下列问题：(1)解方程；(2)已知，求的值.【答案】(1)，(2)的值是6【分析】（1）根据题目中给出的信息，利用换元法解方程即可；（2）设，原方程可化为，解关于a的一元二次方程，最后注意，不合题意，舍去，即可得出答案．【详解】（1）解：，设，则原方程可化为，整理，得，解得，，当时，即，解得：；当时，即，解得；综上所述，原方程的解为，；（2）解：设，则原方程可化为，整理，得，分解因式得：，解得，，∵

，∴∴不合题意，舍去，∴，即的值是6．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．【考点六一元二次方程根与系数的关系】【例题6】（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到，的值，即可求得．【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根∴，则原式故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程的两个实数根，可得，∴．∴的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，．【变式6-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．【答案】11【分析】由一元二次方程根与系数的关系：、，然后再结合完全平方公式即可解答．【详解】解：∵元二次方程的两根分别是，∴、，∴故答案为：11【点睛】本题主要考考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的一般形式的根与系数的关系为（b是一次项数），（c是常数项）是解答本题的关键．【变式6-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【答案】7【分析】根据题意得出a、b是关于x的方程的两个实数根，故，，把所求式子变形再整体代入可算得答案．【详解】解：∵a，b满足，，且，∴a、b是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．【变式6-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的两根∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．【变式6-5】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用根的判别式判断即可；（2）利用根与系数的关系式得到，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：，由得：解得：．【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的关系式是解题的关键．【变式6-6】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，为正整数，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【答案】A【分析】根据根的判别式即可求解判断即可．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质，要判断一元二次方程实数根的情况，即判断，若，那么方程有两个不相等的实数根；若，那么方程有两个相等的实数根；若，那么方程没有实数根．2．（2023·天津滨海新·统考二模）方程的两个根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用方程的特点选择简便的方法是解题的关键．3．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若一元二次方程有解，则m的取值范围是（）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据二次项的系数不为0，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有解，∴且，解得且，故m的取值范围且．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根．4．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得，然后根据一元二次方程根的判别式可得，即可确定m的值．【详解】解：∵关于x的方程的两实数根为，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有两个实数根，∴，解得：，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】A【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】∵实数，定义运算“”为，∴可化为，整理得：，，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．二、填空题6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）方程的根为______________．【答案】，【分析】先把方程化为，再化为两个一次方程即可．【详解】解：由原方程，得，则或，解得，．故答案是：，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．7．（2023·吉林长春·统考一模）一元二次方程根的判别式的值是_________．【答案】5【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：一元二次方程中的，则这个方程根的判别式的值是，故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8．（2023·江苏·九年级假期作业）设，是方程的两个根，则___________．【答案】【分析】根据题意可得，，再整体代入计算即可．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了求代数式的值，运用了整体代入的思想．9．（2023·河南安阳·统考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得．又∵该方程为一元二次方程，，且．故答案为：且．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．10．（2023春·八年级单元测试）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为____．【答案】20【分析】因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的的值，最后求出周长即可．【详解】解：，即，或，解得：或，当时，三角形的三边，构不成三角形，舍去；当时，这个三角形的周长为，故答案为：20．【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．三、解答题11．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】，【分析】直接利用公式法求解即可．【详解】解：，，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．12．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校