无锡卷01(学生版+解析)

2022-2023学年江苏省无锡市八年级下册数学期末检测卷01考试时间：120分钟试卷满分：130分考试范围：八下第7章-第12章，九下第6章姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列调查适合普查的是（）A．了解市面上一次性筷子的卫生情况 B．航空公司对登机人员进行安检 C．了解全国迷恋网络游戏少年的视力情况 D．了解一批刚出厂的节能灯的使用寿命情况3．（3分）下列式子是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列说法错误的是（）A．“两个负数的和为负数”是必然事件 B．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件 C．“生三个小孩，其中两个是女孩，一个是男孩”是随机事件 D．“某奥运会射击冠军参加射击比赛，射靶一次，正中靶心”是必然事件5．（3分）把方程x2+3x﹣4＝0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（）A．（x+）2＝ B．（x+）2＝﹣ C．（x+）2＝ D．（x+）2＝6．（3分）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（）A．＝+2 B．＝﹣2 C．＝+1 D．＝﹣17．（3分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形8．（3分）若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（）A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）9．（3分）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一条边作正方形AKLM，连接BK和DM．根据旋转知识，给出下列四个说法：①DM＝BK；②DM⊥BK；③若点L恰好落在AD边上时，则∠MAB＝135°；④若∠MAB＝120°，则∠ABK＝30°．其中正确说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个评卷人得分二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为．12．（3分）当x＝时，＝0．13．（3分）二次根式的x的取值范围是．14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣n＝0有一个根是3，则3m﹣n的值是．15．（3分）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为；运动过程中，线段OC长的最小值为．17．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A在第二象限，点C在x轴负半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为16，则k的值为．18．（3分）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为．评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）19．（6分）计算（1）；（2）．20．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）．21．（8分）某兴趣小组对部分中小学生去年暑假看电视的时间进行了抽样调查，根据调查的数据绘制了频数、频率分布表和频数分布直方图（小时数取整数）．看电视时间（小时）0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5以上合计频数20301510100频率0.20.250.11（1）此次调查的样本容量是多少？（2）补全频数、频率分布表和频数分布直方图；（3）请估计1200名中小学生大约有多少学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．22．（10分）如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．（1）四边形AEFD是什么形状？（2）当△ABC满足条件时，四边形AEFD不存在；（3）在△ABC中，当AC＝3，AB＝4，BC＝5时，求四边形AEFD的面积．23．（8分）如图，直线y＝ax﹣a与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，与x轴交于点D，与y轴交于点E，AC⊥y轴，垂足为点C．已知S△ACD＝2，B（﹣1，m）（1）直接写出a与k的值．（2）求△ABC的面积．24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．25．（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．（1）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．（2）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．26．（10分）[问题原型]如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD＝AB．求证：∠ACB＝90°．[结论应用]如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A'CD，连结A'B．求证：A'B∥CD．[应用拓展]如图③，在▱ABCD中，∠A＜90°，点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，连结BA'并延长，交CD于点F．若AB＝5，AD＝3，S▱ABCD＝12，则A'F的长为．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3．（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求HF的值．2022-2023学年江苏省无锡市八年级下册数学期末检测卷01考试时间：120分钟试卷满分：130分考试范围：八下第7章-第12章，九下第6章一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【规范解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【考点评析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）下列调查适合普查的是（）A．了解市面上一次性筷子的卫生情况 B．航空公司对登机人员进行安检 C．了解全国迷恋网络游戏少年的视力情况 D．了解一批刚出厂的节能灯的使用寿命情况【思路点拨】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【规范解答】解：A．了解市面上一次性筷子的卫生情况，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；B．航空公司对登机人员进行安检，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；C．了解全国迷恋网络游戏少年的视力情况，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；D．了解一批刚出厂的节能灯的使用寿命情况，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．3．（3分）下列式子是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【思路点拨】由于被开方数是某数的平方、含有可以开方的因数、是小数或分数这样的二次根式都不叫最简二次根式，根据这一点把A、B、D排除即可得到结果．【规范解答】解：＝2，故A不符合题意；＝2，故B不符合题意；不能再化简，故C符合题意；＝＝，故D不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查二次根式的化简，掌握最简二次根式的概念是解本题的关键．4．（3分）下列说法错误的是（）A．“两个负数的和为负数”是必然事件 B．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件 C．“生三个小孩，其中两个是女孩，一个是男孩”是随机事件 D．“某奥运会射击冠军参加射击比赛，射靶一次，正中靶心”是必然事件【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断即可．【规范解答】解：A、“两个负数的和为负数”是必然事件，正确，本选项不符合题意；B、水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰，是不可能事件，正确，故此选项不符合题意；C、“生三个小孩，其中两个是女孩，一个是男孩”是随机事件，正确，故此选项不符合题意；D、“某奥运会射击冠军参加射击比赛，射靶一次，正中靶心”是随机事件，故本选项错误，符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（3分）把方程x2+3x﹣4＝0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（）A．（x+）2＝ B．（x+）2＝﹣ C．（x+）2＝ D．（x+）2＝【思路点拨】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【规范解答】解：∵x2+3x﹣4＝0，∴x2+3x＝4，则x2+3x+＝4+，即（x+）2＝，故选：A．【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．（3分）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（）A．＝+2 B．＝﹣2 C．＝+1 D．＝﹣1【思路点拨】设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，根据“结果比原计划提前一周完成任务”即可得出关于x的分式方程，此题得解．【规范解答】解：设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，根据题意，得：＝+1．故选：C．【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7．（3分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【思路点拨】根据三角形的中位线定理可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．如果该四边形的对角线相等，又可以证明所得的平行四边形的一组邻边相等，即是菱形．因为矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．【规范解答】解：因为矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理可得：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．故选：B．【考点评析】能够运用三角形的中位线定理证明下列命题：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．8．（3分）若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（）A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）【思路点拨】将点（﹣2，3）代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的k的值，从四个答案中找到横纵坐标成绩等于k的点即为本题的答案．【规范解答】解：∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴k＝﹣2×3＝﹣6，∵﹣3×2＝﹣6，故反比例函数还经过点（﹣3，2）故选：A．【考点评析】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是正确的求出反比例函数的比例系数的值．9．（3分）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值为（）A． B． C． D．【思路点拨】先利用AB∥EF得到＝，则可求出解得AE＝12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出的值．【规范解答】解：∵AB∥EF，∴＝，∵CE＝4，CF＝3，AE＝BC，∴＝，解得AE＝12，∵AB∥CD，∴＝＝＝．故选：B．【考点评析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．10．（3分）如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一条边作正方形AKLM，连接BK和DM．根据旋转知识，给出下列四个说法：①DM＝BK；②DM⊥BK；③若点L恰好落在AD边上时，则∠MAB＝135°；④若∠MAB＝120°，则∠ABK＝30°．其中正确说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】由“SAS”可证△ABK≌△ADM，可得把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，且BK与DM是对应边，可得BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确；由正方形的性质可得∠MAD＝∠MAL＝45°，可求∠MAB＝135°，故③正确；先求出∠KAB＝30°，由AK不一定等于BK，可得∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误，即可求解．【规范解答】解：∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，∴AB＝AD，AK＝AM，∠BAK＝90°﹣∠DAK，∠DAM＝90°﹣∠DAK，∴∠BAK＝∠DAM，在△ABK和△ADM中，，∴△ABK≌△ADM（SAS）．∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，∴BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确；∵点L恰好落在AD边上，∴∠MAD＝∠MAL＝45°，∴∠MAB＝∠MAD+∠DAB＝135°，故③正确；∵∠MAB＝120°，∠MAK＝90°，∴∠KAB＝30°，∵K是正方形ABCD内一点，∴AK不一定等于BK，∴∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误，综上所述：正确的有3个，故选：B．【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ABK≌△ADM是解题的关键．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为．【思路点拨】首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣≥0，由此可得到y的取值范围，然后依据xy＜0可得到x的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．【规范解答】解：由题意可知﹣≥0．因为x2＞0，所以y≤0，又因为xy＜0，所以x＞0，y＜0，所以＝＝．故答案为：．【考点评析】本题主要考查的是二次根式的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（3分）当x＝2时，＝0．【思路点拨】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【规范解答】解：当＝0时，则x2﹣4＝0且x+2≠0，解得：x＝2．故答案为：2．【考点评析】此题主要考查了分式值为零的条件，注意分式的分母不为零是解题关键．13．（3分）二次根式的x的取值范围是x≥2．【思路点拨】被开方数x﹣2大于等于0，解不等式即可．【规范解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得，x≥2；故答案是：x≥2．【考点评析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣n＝0有一个根是3，则3m﹣n的值是﹣9．【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到32+3m﹣n＝0，易得到3m﹣n的值．【规范解答】解：依题意得：32+3m﹣n＝0，整理，得9+3m﹣n＝0．解得3m﹣n＝﹣9．故答案是：﹣9．【考点评析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．15．（3分）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是12．【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【规范解答】解：由题意可得，＝0.5，解得：n＝12，故估计n大约有12个．故答案为：12．【考点评析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为4；运动过程中，线段OC长的最小值为．【思路点拨】（1）通过证明△ABO∽△BCO，即可求解；（2）通过证明△ABO∽△BCH，可得BH＝4，CH＝m，由勾股定理和二次函数的性质可求解．【规范解答】解：∵点A（﹣3，0），点B（0，m）∴OA＝3，OB＝m，如图，当点C落在x轴上时，∠BOC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO＝∠CBO，∴△ABO∽△BCO，∴＝，∴m＝4，如图，过点C作CH⊥y轴于H，∴∠CHB＝∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO＝∠CBO，∴△ABO∽△BCH，∴＝，∴，∴BH＝4，CH＝m，∴OC＝＝，当m＝时，OC有最小值为，故答案为：4，．【考点评析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．17．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A在第二象限，点C在x轴负半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为16，则k的值为﹣12．【思路点拨】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．【规范解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，过原点的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，∵AD＝2DC，△ADE的面积为16，∴S△ACE＝S△AOC＝24，设点A（m，），∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝S△ADG，∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝﹣k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝﹣k+××（﹣2m）+×××（﹣2m）＝24，∴k＝﹣12，故答案为：﹣12．【考点评析】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．18．（3分）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为﹣1．【思路点拨】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．【规范解答】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故答案为﹣1．【考点评析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．三．解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）19．（6分）计算（1）；（2）．【思路点拨】（1）根据二次根式的加减法进行计算即可；（2）根据分式的加减法进行计算即可．【规范解答】解：（1）＝2﹣3＝﹣；（2）＝＝＝x+1．【考点评析】本题考查了二次根式的加减法，分式的加减法，解决本题的关键是掌握二次根式的加减法，分式的加减法．20．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）．【思路点拨】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【规范解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，开方得：x﹣2＝，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2），﹣＝1，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以x＝是原方程的解，即原分式方程的解是x＝．【考点评析】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．21．（8分）某兴趣小组对部分中小学生去年暑假看电视的时间进行了抽样调查，根据调查的数据绘制了频数、频率分布表和频数分布直方图（小时数取整数）．看电视时间（小时）0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5以上合计频数20301510100频率0.20.250.11（1）此次调查的样本容量是多少？（2）补全频数、频率分布表和频数分布直方图；（3）请估计1200名中小学生大约有多少学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．【思路点拨】（1）所有频数之和是调查的样本容量，即此次调查的样本容量是100；（2）根据频率＝频数÷样本容量可知，应填的频数是100×0.25＝25，频率是15÷100＝0.15；（3）用总体乘以看电视的时间低于60小时的频率之和可得暑假期间看电视的时间会低于60小时的学生人数．【规范解答】解：（1）由频率分布表可知，此次调查的样本容量是100；（2）如表：看电视时间（小时）0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5以上合计频数2025301510100频率0.20.250.30.150.11（3）1200×（0.2+0.25+0.3）＝1200×＝900，即1200名中小学生大约有900学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．【考点评析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．22．（10分）如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．（1）四边形AEFD是什么形状？（2）当△ABC满足条件∠BAC＝60°时，四边形AEFD不存在；（3）在△ABC中，当AC＝3，AB＝4，BC＝5时，求四边形AEFD的面积．【思路点拨】（1）首先证明△ABC≌△DBF可得AC＝DF＝AE，再证明△ABC≌△EFC可得AB＝EF＝AD，进而可证明四边形DAEF是平行四边形；（2）D、A、E三点共线时（此时，A与F不一定重合，只有AB＝AC时，A与F才重合），四边形AEFD不存在，也就是∠BAC＝60°时；（3）根据AB＝4，AC＝3，BC＝5可利用勾股定理逆定理可得∠BAC＝90°，然后得到∠DAE＝150°，然后计算出∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°，再利用平行四边形的面积公式计算出面积即可．【规范解答】解：（1）四边形AEFD是平行四边形；∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，BD＝BA，BF＝BC∴∠DBF＝∠ABC．在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．（2）∠BAC＝60°时，D、A、E三点共线，四边形AEFD不存在；故答案为：∠BAC＝60°；（3）∵如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠BAC＝90°，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°．∵四边形DAEF是平行四边形，∴FD∥AE，∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°，∴S▱AEFD＝AD•DF•sin30°＝3×4×＝6．答：四边形AEFD的面积是6．【考点评析】此题主要考查了平行四边形的性质、判定，面积计算，以及等边三角形的性质，关键是掌握平行四边形的判定定理．23．（8分）如图，直线y＝ax﹣a与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，与x轴交于点D，与y轴交于点E，AC⊥y轴，垂足为点C．已知S△ACD＝2，B（﹣1，m）（1）直接写出a与k的值．（2）求△ABC的面积．【思路点拨】（1）由知S△ACD＝2，可得矩形OMAC的面积为4，进而确定k的值，从而确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求出m的值，确定点B的坐标，代入一次函数的关系式确定a的值；（2）一次函数、反比例函数的关系式联立方程组求出解即可确定点A的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可．【规范解答】解：（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，则S矩形OMAC＝2S△ACD＝4＝k，∴反比例函数的关系式为y＝，把x＝﹣1代入得y＝﹣4，因此点B（﹣1，﹣4），代入y＝ax﹣a得，﹣4＝﹣a﹣a，解得，a＝2，答：a＝2，k＝4；（2）由题意得，，解得，，，∴A（2，2），∴S△ABC＝×2×（2+4）＝6．【考点评析】考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，将点的坐标转化为三角形的底和高是解决问题的关键．24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．【思路点拨】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据勾股定理的逆定理得到∠B＝90°，根据矩形的判定定理证明结论；（2）作QE⊥BC于E，证明△CQE∽△CAB，根据相似三角形的性质用t表示出QE、CE，证明△ABP∽△BEQ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案；（3）分CP＝CQ、QP＝QC、P′C＝P′Q三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质列式计算即可．【规范解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：作QE⊥BC于E，由题意得CQ＝5t，BP＝4t，∵QE⊥BC，AB⊥BC，∴QE∥AB，∴△CQE∽△CAB，∴＝，即＝，解得，QE＝3t，∴EC＝＝4t，∴BE＝8﹣4t，∵AP⊥BQ，AB⊥BC，∴∠BAP＝∠EBQ，又∠ABP＝∠BEQ，∴△ABP∽△BEQ，∴＝，即＝，解得，t＝；（3）解：当CP＝CQ＝4cm时，BP＝8﹣4＝4cm，则点P运动了4秒；当QP＝QC时，作QE⊥BC于E，由（2）可知，△CQE∽△CAB，＝，即＝，解得，CE＝3.2，∵QP＝QC，QE⊥BC，∴PE＝CE＝3.2cm，∴BP＝8﹣6.4＝1.6cm，则点P运动了1.6秒；当P′C＝P′Q时，作P′H⊥CA于H，则CH＝HQ＝2cm，∵AB⊥BC，P′H⊥CA，∴△CP′H∽△CAB，∴＝，即＝，解得，CP′＝2.5，∴BP′＝8﹣2.5＝5.5cm，则点P运动了5.5秒，综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．【考点评析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．（1）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．（2）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．【思路点拨】（1）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格；（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【规范解答】解：（1）依题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵为了增加利润，减少库存，∴x＝20．答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．（2）该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，整理得：x2﹣30x+250＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．26．（10分）[问题原型]如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD＝AB．求证：∠ACB＝90°．[结论应用]如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A'CD，连结A'B．求证：A'B∥CD．[应用拓展]如图③，在▱ABCD中，∠A＜90°，点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，连结BA'并延长，交CD于点F．若AB＝5，AD＝3，S▱ABCD＝12，则