2.2 基本不等式（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

2.2基本不等式（精讲）考点一直接型【例1-1】（2022·新疆喀什）已知，则下列说法正确的是（

）A．有最大值0 B．有最小值为0C．有最大值为－4 D．有最小值为－4【答案】B【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立故，有最小值0故选：B【例1-2】（2022·河南南阳）已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D【一隅三反】1．（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【答案】B【解析】由题意可得函数的定义域为，则，所以，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B考点二常数代换型【例2-1】（2022·浙江）已知x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C【例2-2】（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.【例2-3】（2022·广西·桂林中学高一期中）若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】由得，则有，有，同理可得，由两边除以xy得：，于是得：，当且仅当时取“=”，由解得：，所以当时，取得最小值.故答案为：【一隅三反】1．（2022·江西）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A2．（2022·江苏镇江）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【解析】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B.3．（2022·全国·高一期末）设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多选）已知，且，则的取值可以是（

）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】CD【解析】因为，所以，则.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），则.因为，所以，即.故选：CD考点三配凑型【例3-1】（2022·广东·梅州市）已知，则的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A．【例3-2】（2022·福建）函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D【例3-3】（2022·湖北·高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A【例3-4】（2022·河南）设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.【一隅三反】1．（2022·安徽省）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（

）A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B2．（2022·吉林松原）若，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D考点四消元型【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因为正实数x，y满足，所以.所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故选：C．【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.2．（2022·湖南师大附中）（多选）若，，，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】原式（当且仅当，时取等号）.故选：CD.3．（2022·湖北·石首市第一中学）若，且，则的最小值为_________．【答案】3【解析】因为，所以，，当且仅当时，等号成立．故答案为：3．考点五求参数【例5】（2022·四川·威远中学校）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．【一隅三反】1．（2022·山西·怀仁市）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（

）A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，因为有解，所以，即，解得或，故选：A2．（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．3．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D考点六综合运用【例6-1】（2022·浙江丽水）（多选）已知是正实数，若，则（

）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【解析】正实数，满足，由基本不等式得，，当且仅当且，即，时取等号，解得，，正确；，当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确；∵，∴，当时，的最小值为，错误；当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.故选：AB【例6-2】（2021广东）如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．【答案】16【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝eq\r(OC2－OB2)＝eq\r(16－x2)，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·eq\r(16－x2)＝2eq\r(16－x2x2)≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2eq\r(2)时等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16.【一隅三反】1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC2（2022·福建泉州·高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依题意，正实数满足，所以，当且仅当时等号成立，所以A选项错误.，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：BD3.（2022年广西）某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？【答案】（1）y=1832－6x－eq\f(16,3)y(6<x<300,6<y<300)（2）x=40y=45【解析】(1)由题意得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq\f(y－6,3)＝xy－6x－eq\f(16,3)y＋32＝1832－6x－eq\f(16,3)y，其中