沪教版（2020）必修第二册《6.2常用三角公式测试卷》2024年同步练习卷

沪教版（2020）必修第二册《6.2常用三角公式测试卷》2024年同步练习卷一、选择题1．设，则化简的结果为（）A． B． C． D．2．关于△ABC给出下列命题：①若sinA＝2sinBcosC，则该三角形为等腰三角形；②若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；③若sinA＝cosB，则△ABC是直角三角形；④在△ABC中，恒有cosAcosBcosC＜sinAsinBsinC；⑤若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC是等边三角形．其中正确命题的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知tanα＜0，sinα＝﹣，则sin2α＝（）A． B．﹣ C． D．﹣二、填空题4．已知sinα+cosα＝，那么sin2α＝．5．若tanθ＝2，则tan（）＝；tan2θ＝．6．已知sin（α﹣）＝，则cos（α﹣）＝．7．已知，则cos（α﹣β）＝．8．若，则tan2θ＝．9．已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0，2π]，则α的取值范围是．10．设A是三角形的内角．若，则sinA＝．11．已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝．12．若（sinα﹣cosα）（sinβ﹣cosβ）＝﹣4，则|α+β|的最小值＝．13．“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．三、解答题14．求证：+++…+＝．15．已知tan（α+）＝2，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（α﹣）的值．16．证明下列恒等式．（1）＝tanα+tanβ．（2）sin（α+β）cos（α﹣β）＝sinαcosα+sinβcosβ．17．已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ＝﹣．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α﹣β的值．18．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）＝0对任意实数x均成立，求α﹣β的值．

沪教版（2020）必修第二册《6.2常用三角公式测试卷》2024年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵∴∴＝＝＝故选：C．2．【解答】解：对于①，∵A+B+C＝π，∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，即sinBcosC+cosBsinC＝2sinBcosC，整理得sin（B﹣C）＝0，∵B，C是三角形内角，∴B﹣C＝0⇒B＝C，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；对于②，∵sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或者2A+2B＝π，即A＝B或者，△ABC是等腰三角形或者是直角三角形，故②错误；对于③，∵，∴，或者，即或者，△ABC是直角三角形或是钝角三角形，故③错误；对于④，设C是△ABC的最大角，若C是钝角，则cosC＜0，cosAcosBcosC＜0，sinAsinBsinC＞0，不等式sinAsinBsinC＞cosAcosBcosC恒成立；若，则cosAcosBcosC＝0，sinAsinBsinC＝sinAsinB＞0，原不等式成立；若，则必有，sinC＞cosC＞0，∵cos（A+B）＝cosAcosB﹣sinAsinB＝cos（π﹣C）＜0，∴sinAsinB＞cosAcosB，sinAsinBsinC＞cosAcosBsinC＞cosAcosBcosC，∴△ABC不论为何种三角形，不等式sinAsinBsinC＞cosAcosBcosC恒成立，故④正确；对于⑤，∵|cosx|≤1，∴|cos（A﹣B）|≤1，|cos（B﹣C）|≤1，|cos（C﹣A）|≤1，∵cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，∴必有cos（A﹣B）＝1，cos（B﹣C）＝1，cos（C﹣A）＝1，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故⑤正确；综上所述，正确的选项为①④⑤，共三个，故选：B．3．【解答】解：∵tanα＝＜0，sinα＝﹣＜0，∴cosα＞0，即cosα＝＝，则sin2α＝2sinαcosα＝﹣2××＝﹣，故选：B．二、填空题4．【解答】解：由sinα+cosα＝，得sin2α+cos2α+2sinαcosα＝．由于sin2α+cos2α＝1，所以2sinαcosα＝﹣，即sin2α＝﹣．故答案是：﹣．5．【解答】解：tan（）＝＝＝﹣3，tan2θ＝＝＝﹣．故答案为：﹣3；﹣．6．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，∴cos（α﹣）＝±＝±．故答案为：±7．【解答】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝①，（sinα+sinβ）2＝sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，即cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣．故答案为：﹣8．【解答】解：由tan（）＝4cos（2π﹣θ），得cotθ＝4cosθ，∴，∵|θ|＜，可得sinθ＝．∴cosθ＝，则tanθ＝．∴tan2θ＝＝．故答案为：．9．【解答】解：由已知得：sinα＞cosα，tanα＞0∴或π+2kπ＜α＜，k∈Z．当k＝0时，＜α＜或π＜α＜．∵0≤α≤2π，∴＜α＜或π＜α＜．故答案为：＜α＜或π＜α＜10．【解答】解：A是三角形的内角．若，又因为sin2A+cos2A＝1，所以sinA＝，cosA＝；故答案为：．11．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝，则tanα＝．∴tan2α＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：（sinα﹣cosα）（sinβ﹣cosβ）＝﹣4，可得2sin（α﹣）•2sin（β﹣）＝﹣4，即sin（α﹣）•sin（β﹣）＝﹣1，可得sin（α﹣）与sin（β﹣）一个达到最大值，一个达到最小值，假设sin（α﹣）＝1，sin（β﹣）＝﹣1，可得α﹣＝+2k1π，k1∈Z，β﹣＝﹣+2k2π，k2∈Z，可得α+β＝π+2（k1+k2）π，k1∈Z，k2∈Z，即|α+β|的最小值为：π．故答案为：π．13．【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S＝（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）＝sinβcosβ+cosβsinα++sinβcosα+sinαcosα＝sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积S1．空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（sinβcosβ+sinαcosα）＝sinβcosβ+sinαcosα．故阴影部分的面积S1＝S﹣sinβcosβ﹣sinαcosα＝sin（α+β）．而在右边的图中阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2＝sinαcosβ+cosαsinβ．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即S1＝S2，故有sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，故答案为sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．三、解答题14．【解答】证明：∵＝＝＝tan（n+1）°﹣tann°．∴左＝+++…+＝（+++…+）＝（tan1°﹣tan0°+tan2°﹣tan1°+…+tan89°﹣tan88°）＝•tan89°＝•＝＝右．得证．15．【解答】解：（1）∵tan（α+）＝2，α∈（0，）．∴＝2，∴tanα＝．（2）根据（1）知，tanα＝．∴，∴cosα＝3sinα，∵sin2α+cos2α＝1，∴，∴sinα＝，cosα＝，∴sin（）＝sinαcos﹣cosαsin＝＝．16．【解答】证明：（1）左边＝（分子分母同时除以cosαcosβ）＝tanα+tanβ＝右边．从而得证．（2）左边＝sin（α+β）cos（α﹣β）＝（sinαcosβ+cosαsinβ）•（cosαcosβ+sinαsinβ）＝sinαcosαcos2β+sin2αsinβcosβ+cos2αsinβcosβ+sinαcosαsin2β＝sinαcosα（cos2β+sin2β）+sinβcosβ（sin2α+cos2α）＝sinαcosα+sinβcosβ＝右边．从而得证．17．【解答】解（1）∵，∴，∴＝．∴．（2）由（1）知，∴．∴．∵tanα＝2，α∈（0，π），∴，∵，∴，∵tan（2α﹣β）＝﹣1∴．18．【解答】解：因为cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）＝0，所以cosxcosα﹣sinxsinα+cosxcosβ﹣sinxsinβ+cosxcosγ﹣sinxsinγ＝0，所以cosx（cosα+cosβ）﹣sinx（sinα+sinβ）＝﹣cosxcosγ+sinxsinγ对任意实数x均成立，所以cosα+cosβ＝﹣cosγ，sinα