高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

圆锥曲线基础知识与典型例题第一部分：椭圆1、知识关系网基础知识点(1).椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(2).椭圆的标准方程和其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点,,对称轴轴，轴，长轴长为，短轴长为焦点、、焦距焦距为离心率(0<e<1)越大椭圆越扁第二部分：双曲线知识网络基本知识点(1)双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.(2)双曲线的标准方程和其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点对称轴轴，轴，实轴长为，虚轴长为焦点焦距焦距为离心率(e>1)越大双曲线开口越大第三部分：抛物线知识网络基本知识点(1)抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程和其几何性质(如下表所示)标准方程图形对称轴轴轴轴轴焦点顶点原点准线离心率1第四部分：圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.方法：直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长=1\*GB3①当直线存在斜率时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为，则它的弦长=2\*GB3②当直线斜率不存在时，则.(3)椭圆、双曲线的通径：（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦）椭圆焦点三角形面积公式：（点是椭圆上的点）双曲线焦点三角形面积公式：（点是双曲线上的点）(4)抛物线相关结论：抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.（自己可以尝试证明这些结论）若AB是抛物线的焦点弦，且，，则有如下结论：=1\*GB3①，=2\*GB3②，（为所在直线倾斜角）=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥相切：=1\*alphabetica.以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；b.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；c.以或为直径端点的圆与轴相切.2.圆锥曲线问题求解策略:1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉和到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。第五部分：圆锥曲线考点、题型、方法题型一：定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合典型例题例1、动圆M与圆内切,与圆外切，求圆心M的轨迹方程.例2、方程表示的曲线是例3、是定点，，动点M满足，则M点的轨迹是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例4、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0例5、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（）（A）10（B）20（C）（D）例6、椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，，则△的面积为（）（A）9（B）12（C）10（D）8例7、双曲线右支点上一点P到右焦点的距离为2，则P点到左焦点的距离为（）（A）6（B）8（C）10（D）12例8、抛物线上的一点到焦点的距离为9，则点的坐标是题型二：圆锥曲线标准方程特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断，先定位后定量计算）方法要求：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程.椭圆：由、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上；双曲线：由、项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号正、负决定开口方向。典型例题例9、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是例10、当为何值时,方程的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线.例11、求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点坐标为，经过点（2）焦点在y轴上，（3），例12、求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点坐标为，经过点（2）焦点在x轴上，（3），例13、求满足下列条件的抛物线的标准方程（1）焦点坐标为（2）准线为（3）焦点到准线距离是2例14、若双曲线经过点，，则双曲线的标准方程为.例15、双曲线离心率为，与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.例16、过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是()A.B.C.D.例17、抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线上，则此抛物线的方程为题型三：圆锥曲线性质1、特别关注：几何性质与图像相结合（首先化成标准方程，先定位、再定量计算）：2、圆锥曲线中离心率，渐近线的求法：(1)a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；(2)a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；(3)注重数形结合思想不等式解法(4)双曲线的渐近线方程可以看作是由双曲线方程右边“1”变为“0”直接得到，即双曲线的渐近线方程为，即(5)与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为，与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为，再由另外一个条件可求得的值.(6)等轴双曲线(实轴长等于虚轴长)离心率渐近线方程方程可以设为，根据另外已知条件可以确定的值.3、典型例题(1)圆锥曲线基本性质例18、已知椭圆的方程为，求：该椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.例19、已知双曲线的方程为，求：该双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.例20、已知抛物线的方程为求：该抛物线的焦点坐标、准线方程.例21、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知等轴双曲线上一点(2)双曲线离心率为，点在双曲线上(3)双曲线渐近线为，点在双曲线上例22、椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值是（）A.B.C.D.(2)椭圆、双曲线离心率例23、椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则它的离心率为（）A.B.C.D.例24、直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为例25、椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为例26、双曲线的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为例27、双曲线的顶点到渐近线的距离为，则它的离心率为（）A.B.C.D.例28、双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.例29、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为.例30、双曲线的焦点分别为、，点在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的取值范围为.例31、已知双曲线的离心率，则双曲线其中一条渐近线的斜率取值范围是.例32、双曲线的焦点分别为、，点在双曲线上，，且的最小内角为，则此双曲线的离心率为.例32、已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.例33、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.例34、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使，则椭圆离心率的取值范围为题型四：圆锥曲线焦点三角形（圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形）1、椭圆焦点三角形面积；双曲线焦点三角形面积2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解典型例题例35、椭圆上一点P与两个焦点，且，则的面积为.例36、双曲线上一点M与两个焦点，且，则的面积为.例37、已知双曲线的离心率为2，是左、右焦点，P为双曲线上一点，且，，则该双曲线的标准方程为.题型五：点、直线与圆锥曲线的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内，点在椭圆上，点在椭圆外2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：直线方程与圆锥曲线方程联立消元（消去或消去）得到关于或的方程特别注意：二次项系数为0的情况(1)若二次项系数为0，则方程是一元一次方程，解只有一个，直线与曲线交点只有一个(2)若二次项系数不为0，则可按照以下情况讨论：二次方程根判别式直线与圆锥曲线位置关系相交相切相离直线与圆锥曲线交点两个一个没有3、直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式：（1）当直线存在斜率时，或（2）当直线斜率不存在时，弦垂直于轴，则.（3）抛物线焦点弦长：（其中为直线AB的倾斜角）4、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！(注：弦所在直线的斜率存在)(1)椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；(2)双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；(3)抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.典型例题例38、（1）如果椭圆弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是；（2）已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：上，则此椭圆的离心率为.例39、双曲线的弦AB被点平分，求直线AB的方程.例40、斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，（1）求弦AB的长；（2）求的面积.例41、已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若该双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数.例42、已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点，经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆与A，B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，求的面积.例43、在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为.（1）写出的方程；（2）直线与交于、两点，为何值时？此时的值是多少？例44、已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）直线不经过原点，且不平于坐标轴，与有两个交点、，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；例45、如已知动点P到定点和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例46、如线段AB过x轴正半轴上一点，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例47、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，，则动点P的轨迹方程为例48、点M与点的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是例49、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹为代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例50、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.例51、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：直线与圆锥曲线常规解题方法1、设直线方程；（提醒：=1\*GB3①斜率存在与不存在；=2\*GB3②设为与的区别）2、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3、联立方程组；4、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5、根据条件重转化；常有以下类型：=1\*GB3①“以弦AB为直径的圆过原点O”（提醒：需讨论斜率是否存在）=2\*GB3②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”；=3\*GB3③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；=4\*GB3④“共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；=5\*GB3⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；=6\*GB3⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：两个面积公式的合理选择）；6、化简与计算；7、细节问题不忽略；=1\*GB3①判别式是否已经考虑；=2\*GB3②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.题型八：圆锥曲线基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般