高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点和答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：；）(2)终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).(3)终边与终边关于轴对称.(4)终边与终边关于轴对称.(5)终边与终边关于原点对称.(6)终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。（答：）4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，则，，，，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。（答：）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______（答：（－1，）；（3）若，试判断的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若，则的大小关系为_____(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_______（答：）；（3）函数的定义域是_______（答：）8.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°010－110－101002-2+1002+2-9.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数的值的符号为____（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是____（答：）；（3）已知，，则＝____（答：）；（4）已知，则＝___；＝____（答：；）；（5）已知，则等于A、B、C、D、（答：B）；（6）已知，则的值为______（答：－1）。10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如（1）的值为________（答：）；（2）已知，则______，若为第二象限角，则________。（答：；）随堂练习例1已知角的终边上一点P（－eq\r(3)，m），且sinθ=eq\f(eq\r(2),4)m，求cosθ与tanθ的值．分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．解由题意知r=eq\r(3＋m2)，则sinθ=eq\f(m,r)=eq\f(m,eq\r(3＋m2))．又∵sinθ=eq\f(eq\r(2),4)m，∴eq\f(m,eq\r(3＋m2))=eq\f(eq\r(2),4)m．∴m=0，m=±eq\r(5)．当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；当m=eq\r(5)时，cosθ=－eq\f(eq\r(6),4)，tanθ=－eq\f(eq\r(15),3)；当m=－eq\r(5)时，cosθ=－eq\f(eq\r(6),4)，tanθ=eq\f(eq\r(15),3)．点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解E=｛θ｜eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(5π,4)}，F=｛θ｜eq\f(π,2)＜θ＜π，或eq\f(3π,2)＜θ＜2π}，∴E∩F=｛θ｜eq\f(π,2)＜θ＜π}．例1化简eq\f(sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π),cos(π-α)tan(3π-α))．分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解原式=eq\f(（-sinα）tanα［-cot(α+π)］,(-cosα)tan(π-α))=eq\f((-sinα)tanα(-cotα),(-cosα)(-tanα))=eq\f(sinα·eq\f(cosα,sinα),cosα)=1．点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2若sinθcosθ=eq\f(1,8)，θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cosθ－sinθ的值．分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．解(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－eq\f(1,4)=eq\f(3,4)．∵θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－eq\f(eq\r(3),2)．变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．变式2已知cosθ－sinθ=－eq\f(eq\r(3),2)，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．点评sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．解原式=cos2θ+sinθcosθ=eq\f(cos2θ+sinθcosθ,cos2θ+sin2θ)=eq\f(1+tanθ,1+tan2θ)=eq\f(2,5)．点评1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．2．注意1的作用:1=sin2θ+cos2θ等．例1已知sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，cosα－cosβ=eq\f(1,2)，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．解∵sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，①cosα－cosβ=eq\f(1,2)，②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=eq\f(13,36)．∴cos(α－β)=eq\f(72,59)．点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2求eq\f(2cos10°-sin20°,cos20°)的值．分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解∵10°=30°－20°，∴原式=eq\f(2cos(30°-20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(eq\r(3)cos30°,cos20°)=eq\r(3)．点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例1求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+eq\r(3)tan10°tan50°；(2)eq\f(（eq\r(3)tan12°-3）csc12°,4cos212°-2)．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+eq\r(3)tan10°tan50°=eq\r(3)．（2）分析式中含有多个函数名称，故