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PAGEPAGE4充分条件与必要条件[A级基础巩固]1.若p:四边形ABCD是菱形,q:四边形ABCD是矩形,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既充分又必要条件D.既不充分又不必要条件解析:选D依题意,当四边形ABCD是菱形时,不肯定是矩形.当四边形ABCD是矩形时,不肯定是菱形.∴p⇒/q,q⇒/p,∴p是q的既不充分又不必要条件.2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是()A.若eq\f(1,x)=eq\f(1,y),则x=yB.若x2=1,则x=1C.若eq\r(x)=eq\r(y),则x=yD.若x<y,则x2<y2解析:选AC由于A、C明显为真命题,故A、C中p是q的充分条件,B不是,x2=1⇒x=1或x=-1.D不是,如x=-3,y=-2,则x2=9>y2=4.3.对实数a,b,c,在下列命题中,是真命题的为()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件解析:选B∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac>bc,,c>0))⇒a>b,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac>bc,,c<0))⇒a<b,∴ac>bc⇒/a>b,而由a>b⇒/ac>bc,∴“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故A、C错误.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac=bc,,c≠0))⇒a=b,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac=bc,,c=0))⇒/a=b,∴由ac=bc⇒/a=b,由a=b⇒ac=bc,∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件.故选B.4.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今,“道在人间或可传,小还轻变已多年,今来海上上升望,不到蓬莱不是仙”,其中设p:“是仙”,q:“到蓬莱”,则()A.p是q的充分条件B.p是q的必要条件C.既充分又必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A由题得,“是仙”肯定是“到蓬莱”,“到蓬莱”不肯定“是仙”.所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件.故选A.5.设甲、乙、丙是三个命题,假如甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析:选A因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇒/丙,如图.综上,有丙⇒甲,但甲⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.6.“x2=2x”是“x=0”的________条件,“x=0”是“x2=2x”的________条件(用“充分”“必要”填空).解析:由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.答案:必要充分7.下列说法不正确的是________.(填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件;②“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条件;③“-2<x<2”是“x<2”的充分条件.解析:②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②不正确;①③正确.答案:②8.条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.解析:p:x>1,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q,但eq\a\vs4\al(q⇒/p),也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集,所以a<1.答案:{a|a<1}9.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p是q的必要条件?(1)p:实数a能被6整除,q:实数a能被3整除;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:b2=ac,q:eq\f(a,b)=eq\f(b,c);(4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA.解:(1)实数a能被6整除,则肯定能被3整除,反之不肯定成立.即p⇒q,q⇒/p,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1,所以p⇒q,且q⇒/p.所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(3)b2=ac⇒/eq\f(a,b)=eq\f(b,c),如b=0,c=0时,b2=ac,而eq\f(a,b),eq\f(b,c)无意义.但eq\f(a,b)=eq\f(b,c)⇒b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(4)画出Venn图(如图).结合图形可知,A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA,反之也成立,所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.10.已知a,b为实数,条件甲:“a+b=0”,条件乙:“eq\f(a,b)=-1”.依据充分条件与必要条件的概念,推断甲是乙的什么条件.解:当a=b=0时,满意a+b=0,但eq\f(a,b)=-1不成立,即甲不是乙的充分条件;若eq\f(a,b)=-1,则a=-b,即a+b=0,则甲是乙的必要条件.综上,甲不是乙的充分条件,但甲是乙的必要条件.[B级综合运用]11.(多选)一元二次方程x2+4x+n=0有正实数根的充分不必要条件是()A.n=4 B.n=-5C.n=-1 D.n=-12解析:选BCD设y=x2+4x+n,则函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-2,要使得一元二次方程x2+4x+n=0有正数根,则满意当x=0时,y<0,即n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选B、C、D.12.南北朝时期的宏大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的随意平面所截,假如截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的随意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既充分又必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B由祖暅原理知,若S1,S2总相等,则V1,V2相等成立,即必要性成立;若V1,V2相等,则S1,S2不肯定相等,即充分性不成立.所以“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的必要不充分条件,故选B.13.已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a(a>0)是p的一个必要条件,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是________.解析:∵-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a,∴{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a},∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1-a≤-1,,1+a≥3,))解得a≥2.又a>b恒成立,因此b<2,故实数b的取值范围是{b|b<2}.答案:{b|b<2}14.设α:0≤x≤1,β:x<2m-1或x>-2m+1,m∈R,若α是β的充分条件,求实数m的取值范围.解:记A={x|0≤x≤1},B={x|x<2m-1或x>-2m+1}.因为α是β的充分条件,所以A⊆B.①当2m-1>-2m+1,即m>eq\f(1,2)时,B=R,满意A⊆B;②当m≤eq\f(1,2),即B≠R时,1<2m-1或0>-2m+1,m无解.综上可得,实数m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m>\f(1,2))))).[C级拓展探究]15.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值.解:p:x∈{x|x2+x-6=0}={2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件

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