选择性必修第一册湘教版-第1章-单元测试卷-143699

第1章数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1,3,5,7,3,11,…,2n-1,…,则21是这个数列的(A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,有下列四个等式.甲:a1=1.乙:a4=4.丙:S3=9.丁:S5=25.如果只有一个等式不成立,则该等式为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8 B.-8 C.±8 D.以上选项都不对4.“十二平均律”是通用的音律体系,由明代朱载堉最早发现,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十二个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它之前的一个单音的频率的比都等于122,若第n个单音的频率是第1个单音频率的1.5倍,那么n的值为()(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.477A.5 B.6 C.7 D.85.若等比数列{an}的前5项的乘积为1,a6=8,则数列{an}的公比为()A.-2 B.2 C.±2 D.16.若数列{an},{bn}满足an·bn=1,an=n2+3n+2,则数列{bn}的前10项和为()A.12 B.512 C.13 7.已知等差数列{an}的公差不为0,设Sn为其前n项和,若S9=0,则集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2023}中元素的个数为()A.2022 B.2021 C.2015 D.20198.设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=(A.15 B.19 C.21 D.30二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则 ()A.d<0 B.a16<0C.Sn≤S15 D.当且仅当Sn<0时,n≥3210.在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”则下列说法正确的是()A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的1C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人后三天共走了42里路11.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项的积为Tn,并满足条件a1>1,a2022a2023>1,a2022-1a2023-1<0,A.S2022<S2023 B.S2021S2023-1<0C.T2022是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=.

13.已知等差数列{an}中,a3=7,a6=16,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……………则此数阵中第20行从左到右的第10个数是.

14.已知数列{an}满足nan-28an+1=n-1(n∈N+),a1+a2+a3=75,记Sn=a1a2a3+a2a3a4+a…+anan+1·an+2,则a2=,使得Sn取得最大值的n的值为.(本题第一空2分,第二空3分)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,且a5=1,.若存在正整数n,使得Sn有最小值.

(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值.从①a3=-1,②d=2,③d=-2三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在横线上并作答.注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

16.(15分)已知函数f(x)=xx+1,数列{an}满足a1=1,并且an+1=f(an(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1n+1an,求数列{bn}的前n项和S

17.(15分)已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(12)n(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列;(2)若数列{an}的前2n项和为T2n,令bn=(3-T2n)n(n+1),求数列{bn}的最大项.

18.(17分)已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{anbn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.

19.(17分)某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).

第1章数列1.B经观察可知该数列的通项公式为an=2n-1(事实上,根号内的数构成首项为1,公差为2的等差数列),令21=2n-1,解得n=2.B若a1=1,a4=4同时成立,则d=1,此时S3=1+2+3=6,S5=1+2+3+4+5=15≠25与题意不符,故甲乙不可能同时成立,丙丁一定成立,所以3a1+3d=9,5a1+103.A∵a2+a6=34,a2a6=64,∴a42=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q为公比),∴a4=4.D设第n个单音的频率为fn,n∈N+,由题意可得,fn=f1(122)n-1,fn=1.5f1,所以(122)n-1=1.5,所以lg(122)n-1=lg1所以n≈0.4771−0.3010.301×12+1≈8.故选D5.B设数列{an}的公比为q,由题意得a1a2a3a4a5=a35=1,所以a3所以q3=a6a3=8,解得q6.B∵an=n2+3n+2,an·bn=1,∴bn=1(n+1)(n+2)∴{bn}的前10项和为S10=12-13+13-14+…+111-112=7.D∵S9=0,∴S9=9a1+8×92d=9a1+36d=即a1=-4d,且d≠0,∴Sk=ka1+k(k-1)d2=-4kd+k(k-1)d2=k2-9k2d=d2[(k-92根据二次函数图象的对称性可知S1=S8,S2=S7,S3=S6,S4=S5,故集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2023}中元素个数为2023-4=2019.故选D.8.B由S3=a22得3a2=a22,解得a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得S22=又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=19.9.ABC由题意得,S10=S20,a11+a12+…+a20=0,即a15+a16=0,也即2a1+29d=0(d为公差),因为a1>0,所以d<0,所以a16<0,Sn≤S15.所以A,B,C正确.由于S2n=n(an+an+1),S2n-1=(2n-1)an,S30=15(a15+a16)=0,S31=31a16<0,所以D不正确.10.ACD设第n天走的路程为an(单位:里)(1≤n≤6,n∈N+),{an}的前n项和为Sn,则数列{an}是公比q=12的等比数列,由题意知S6=378,即S6=a1(1-126)1−12=378,解得a1=192,故an=192×12n-1对于A,令n=2得,a2=3844=96,即此人第二天走了96里路,故A正确对于B,令n=3得,a3=3848=48,故此人第三天走的路程占全程的48378=863,故对于C,由a1=192知,S6-a1=378-192=186,故此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-186=6(里),故C正确;对于D,易知S6-S3=378-(192+96+48)=42,即此人后三天共走了42里路,故D正确.11.AC∵a1>1,a2022a2023>1,a2022-1∴a2022>1,0<a2023<1,0<q<1.根据a1>1,0<q<1,可知等比数列{an}为每一项都为正数的递减数列,即a1>a2>…>a2022>1>a2023>…>0.∵S2023-S2022=a2023>0,∴S2022<S2023,故选项A正确.∵S2021>1,S2023>1,∴S2021·S2023>1,即S2021S2023-1>0,故选项B错误.根据a1>a2>…>a2022>1>a2023>…>0,可知T2022是数列{Tn}中的最大项,故选项C正确,选项D错误.12.-6S8=8×(a1+a8)2=4(a3+a6),由于S8=4a3,所以a6=0.又a7=-2,所以a8=2a7-a613.598第1行有1项,第2行有2项,第3行有3项,故前19行共有19×1+19×182×1=190(项则第20行第10项为数列{an}中的第200项.又a3=7,a6=16,∴公差d=a6-a36−3=16−73=3,∴an=a3+(n-3)·d=7+3(n-3)=3n-2,∴a200=3×14.2510因为n∈N+,所以取n=1,则a1-28=0,可得a1=28,取n=2,可得2a2即a3=2a2-28,又a1+a2+a3=75,可得a2=25,a3=22.当n≥2时,由nan-28an+1=n-1,得可令cn=an+1n,则cn-cn-1=28(1n-1由cn=c1+(c2-c1)+…+(cn-cn-1)=c1+28×(12-1+13-12+…+1可得cn=c1+28(1n-1)=a2+28(1n则an+1=ncn=na2+28(1-n)=28+n(a2-28),故an+1=28-3n(n≥2),所以an=31-3n(n≥3),又a1=28,a2=25,也符合上式,所以an=31-3n.设bn=anan+1an+2=(31-3n)(28-3n)(25-3n),令bn≥0,则可得(31-3n)(28-3n)(25-3n)≥0,解得1≤n≤8(n∈N+)或n=10,又b9=-8,b10=10,所以n=10时,Sn取得最大值.15.当选条件①a3=-1时,根据题意得a5-a3=2d,即1-(-1)=2d,解得d=1.(1)an=a5+(n-5)d=1+(n-5)×1=n-4.(2)a1=a3-2d=-3,所以Sn=na1+n(n-1)d2=n×(-3)+n所以当n=3或4时,Sn取得最小值,最小值为-6.当选条件②d=2时,根据题意得a1=a5-4d=1-4×2=-7.(1)an=a1+(n-1)d=-7+(n-1)×2=2n-9.(2)Sn=na1+n(n-1)d2=n×(-7)+n(n所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.当选条件③d=-2时,根据题意得a1=a5-4d=1-4×(-2)=9.(1)an=a1+(n-1)d=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.(2)Sn=na1+n(n-1)d2=n×9+n(n-1)2×(-2)=-n2+(本题可以选择条件①或②并进行作答)16.(1)易知an≠0.由题意得an+1=anan+1,∴1an+1=an+1an=1+1an,即1an+1-1an=1,∴数列{1an(2)由(1)得bn=1n+1an=1n(n∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=17.(1)数列{an}中,a1=1,anan+1=(12)n∴an+1an+2=(12)n+1,∴an+2∵a1=1,∴a2=12,故数列{a2n-1}是以1为首项,12为公比的等比数列,数列{a2n}是以12为首项,(2)由(1)得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=1−12n1−12+∴bn=(3-T2n)n(n+1)=3n(n+1)(12)n∴bn+1-bn=3(n+1)(12)n(n+22-n)=3(n+1)(12)n+1(2-n),∴b3=b2>b1,且b3>b4>b5>…,故{bn}的最大项是b2=b18.(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,即b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,∵a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5