第02讲直线的点斜式斜截式方程（三大题型归纳分层练）

第02讲直线的点斜式、斜截式方程【苏教版2019选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01直线的点斜式方程 2题型02直线的斜截式方程 4题型03点斜式直线方程的应用 6分层练习 9夯实基础 9能力提升 14创新拓展 20一、直线的点斜式方程我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.二、直线的斜截式方程1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．2．方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．题型01直线的点斜式方程【解题策略】求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外【典例分析】【例1】（2324高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果.【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故选：【变式演练】【变式1】（2324高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据点斜式公式带入条件即可.【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得.故选：B.【变式2】（2324高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是．【答案】【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.【详解】设的中点为，则，又斜率，所以直线的点斜式方程为．故答案为：【变式3】（2324高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点，斜率为3；(2)经过点，倾斜角是；(3)经过点，倾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果；【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为；（2）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为（3）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为题型02直线的斜截式方程【解题策略】求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【典例分析】【例2】（2223高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案.【详解】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，求得,所以所求直线的斜截式方程为，故选：B.【变式演练】【变式1】（2223高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.【详解】斜率，点斜式方程为，斜截式方程为.故选：A【变式2】（2324高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为.【答案】【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程.【详解】由题意得，直线斜率为，故直线的斜截式方程为.故答案为：【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．【答案】或【分析】直线l的斜截式方程为，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出的值得方程.【详解】设直线方程为，则令得；令得，由题意得，即，所以，所以直线l的方程为或.题型03点斜式直线方程的应用【解题策略】(1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．【典例分析】【例3】（2324高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可.【详解】设直线的斜率为，则直线方程为，令，得，故直线在轴上的截距为，令，得或者，故选：【变式演练】【变式1】（2324高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线经过坐标原点O和点，则y等于（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据直线经过的点以及斜率写出直线方程，即可代入求解.【详解】由题意可知：直线的方程为，将点代入直线方程中得，故选：C【变式2】（2324高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是．【答案】【分析】将直线方程化为点斜式，画出图形，由题中的几何关系结合两点斜率公式求解即可.【详解】

由已知，直线：，∴直线过定点，且斜率为，由已知，直线的斜率，直线的斜率，∵直线与线段相交，∴直线的斜率的取值范围是.故答案为：【变式3】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是.(1)求直线l的斜率和倾斜角；(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.【答案】(1)斜率为，倾斜角是60°(2)【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角；（2）利用点斜式方程求出直线方程.【详解】（1）已知直线l：，所以直线l的斜率，倾斜角是.（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，所求直线方程为：，即【夯实基础】一、单选题1．（2223高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程可表示同一直线；④直线l过点，倾斜角为，则其方程为．其中正确的是（

）A．②④ B．②③ C．①② D．③④【答案】A【分析】根据点斜式和斜截式方程需直线的斜率存在可判断①；根据直线的斜率可判断②；根据不过可判断③；由直线倾斜角为90°得直线可判断④【详解】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故正确；对于③，方程表示直线去掉点与方程不表示同一直线，故错；对于④，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故正确，故选：A2．（2122高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（

）A．B．或C．D．或【答案】A【分析】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.【详解】解：由于直线，即，可知斜率，则与直线垂直的直线斜率为，由于所求直线在轴上的截距为4，则所求直线的斜截式方程是.故选：A.3．（2324高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项.【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以直线方程为，故选：A.4．（2324高二下·河南周口·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解.【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．故选：B．二、多选题5．（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则（）A．直线l过点B．直线l的斜率为C．直线l的倾斜角为D．直线l在轴上的截距为1【答案】BC【分析】根据直线方程逐项判断.【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确；对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确；对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确．故选：BC6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求出直线的方程，将各选项中的点的坐标代入验证，即得答案.【详解】直线的斜率，故直线方程为，即，将A、B、C、D中各点坐标代入知，，适合方程，则A、B正确.故选：AB三、填空题7．（2324高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为．【答案】【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解.【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得.故答案为：.8．（2324高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是.【答案】【分析】根据题意，由两直线垂直可得，再由点斜式方程，即可得到结果.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得.故答案为：9．（2324高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是.【答案】【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距．【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得，所以该直线在轴上的截距为.故答案为：.四、解答题10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是，在y轴上的截距是；(2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是；(3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由斜截式求解直线方程即可；（2）先根据倾斜角求直线的斜率，再根据斜截式求解直线方程即可；（3）根据直线过的两点，确定直线斜率，再根据斜截式求解直线方程即可.【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为.（2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：.（3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，，根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为.11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点．(1)求所在直线方程；(2)过点C作于点D，求所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程.（2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程.【详解】（1），所在直线的斜率为，又，所在直线方程是，即．（2）因为，所以,又因为，所以所在直线方程为，即【能力提升】一、单选题1．（2223高二上·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根据点斜式方程求解即可.【详解】解：根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为.故选：B2．（2021高二·全国·专题练习）过点与的直线的斜截式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设所求直线的斜截式方程为，将点、的坐标代入直线方程，求出、的值，即可得解.【详解】设所求直线的斜截式方程为，则，解得，因此，直线的斜截式方程为.故选：B.3．（2223高二上·四川泸州·期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l的斜率为，则方程为，令，解得，故直线l在x轴上的截距为，∵在x轴上的截距的取值范围是，∴，解得或.故选：C.4．（2324高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】求出直线的方程，令可解.【详解】由题可得直线的斜率，再由点斜式方程可得，化简可得，令，则直线在轴上的截距为．故选：D．二、多选题5．（2324高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为钝角C．边上的中线所在的直线方程为D．边所在的直线方程为【答案】BCD【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对；对于C选项，线段的中点为，则，所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对；对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对.故选：BCD.6．（2324高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为【答案】AC【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论．【详解】对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确；对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误；对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确；对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D不正确．故选：AC.三、填空题7．（2324高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为.【答案】【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案.【详解】已知直线斜率为2且经过点，由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.故答案为：.8．（2324高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是.【答案】【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，令，得，所以直线与轴交点坐标为，令，得，所以直线与轴交点坐标为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，解得.故答案为：9．（2324高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为；它与y轴的交点为.【答案】【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程.【详解】设所求直线斜率为k，则，即，又在y轴上的截距为4，则直线为，与y轴交点为.故答案为：；.四、解答题10．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．【答案】或【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解.【详解】设直线方程为，则时，时，.由已知可得，即，∴.故所求直线方程为或11．（2324高二上·安徽·期末）已知直线过点．(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，当直线不过原点时，设直线为，将代入可得，所以直线的方程为；当直线过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为即．综上，直线的方程为或；（2）设直线的方程为，所以，，所以，当且仅当时，，（舍），所以直线的方程为即．【创新拓展】一、单选题1．（2324高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线l的方程恒过定点，斜率为.因为，，所以，.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，或，所以实数m的取值范围为.故选：B.二、多选题2．（2223高二上·广东广州·期中）已知直线交y轴于点A，将l绕点A顺时针旋转得直线m，则（

）A．直线l与直线m关于x轴对称B．直线l