安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷（解析）

安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试数学试题2024.9注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合，而，所以.故选：C2.设复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数求解即可.【详解】由，可得，故.故选：B3.设公差的等差数列中，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，根据求解即可.【详解】因为公差的等差数列an中，成等比数列，所以，即，解得，所以.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】切化弦，通分即可求解.【详解】因为，因为，所以.故选：A.5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在中点处，求出即可得球的半径，进而由球的体积公式即可得解.【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体，显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球球心在中点处，又，故外接球半径，所以.故选：D.6.已知函数，若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可；【详解】因为，故，其中，因此为减函数，因为，故，所以，所以.故选：B.7.若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可.【详解】如图所示，画出在的图象，也画出的草图，函数与的图象有且仅有4个交点，则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.满足，解得．故选：C．8.已知函数的定义域为R，且为奇函数，且，则（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】由条件可以推出和关于点1,0对称，进而可得关于直线对称.再用赋值法求值即可.【详解】由于，所以，则，因此.令，则，故.由于为奇函数，故，即，故关于点1,0对称.由题，，故关于直线对称，因此当时，，故，因此.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若随机变量且，则下列选项正确的是（）A.B.的最小值为50C.D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用期望的性质计算判断A；由对称性求出，再由不等式的性质求出最小值判断B；利用正态分布的对称性判断CD.【详解】随机变量，对于A，，则，A选项错误；对于B，，有，则，当且仅当时等号成立，的最小值为50，B选项正确；对于C，，所以，C选项正确；对于D，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线，因为，所以，故D选项错误.故选：BC.10.1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点Px0,y0是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（）A.双纽线的方程为B.C.双纽线上满足的点有2个D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据定义将代入，化简后即可判断A；根据，判断B；由，可得在线段的中垂线即上，将代入方程求解后，即可判断C；利用向量和余弦定理判断D.【详解】解：由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，当时，则双纽线的方程为，化简可得，故A正确；由等面积法得，则，所以，故B正确；因为，，所以在线段的中垂线即上，令，得，解得，所以双曲线上满足的点有一个，故C错误；因为在线段的中点，所以，所以，由余弦定理得，即，，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，则下列说法正确是（）A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点B.函数的图像与函数的图像没有公切线C.函数，则有极大值，且极大值点D.当时，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】选项A，利用与的图象，知时，有一个交点，当，构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求得，即可求解；选项B，设出切点，利用导数的几何意义得到，将问题转化成求方程解的个数，即可求解；选项C，令，对求导，求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解；选项D，构造函数和，利用导数与函数单调性间的关系，得到，且等号不能同时取到，再利用与图象间的关系，即可求解.【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，当时，令，则，由，得到，由，得到，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取最小值，即，所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；对于选项B，设与切于点，与切于点则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，令，则，易知在上恒小于0，当时，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又，，所以在上有使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，对于选项C，令，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，对于选项D，，则，当时，时，，所以，即，当且仅当时取等号，令，则在区间上恒成立，又，所以，当且仅当时取等号，又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面四边形中，，则______.【答案】【解析】【分析】设，将整理成，利用余弦定理求出和，最后利用向量数量积的定义计算即得.【详解】设，则（*）,由余弦定理，，,则由（*）可得：.故答案为：.13.倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为______.【答案】##【解析】【分析】设，，依题意，利用点差法推出，结合图形得到，即得，与前式联立消去，计算即得.详解】设中点为，两渐近线可写成，设，则，且①-②可得，整理得，，即(*)，如图，在中，，则,故，即，将此式代入（*）得，解得依题意，，则.故答案为：.14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有______种.【答案】348【解析】【分析】分两类：①若6人乘坐3只船和②若6人乘坐2只船，即可利用分组分配问题，即可求解.【详解】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法，再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法.②若6人乘坐2只船：共有种方法综上共有：种方法.故答案为：348四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为.（1）求角；（2）若的面积，若，且，求的周长.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角再结合两角和的正弦公式即可求出，进而求出角.（2）先由三角形面积公式得，再由题意得，两边平方化简后结合即可求出，进而得，从而得解.【小问1详解】由正弦定理有，所以，所以，又，故，所以，由于，故.【小问2详解】由（1）得，故，又，且，所以，又，所以，所以，结合解得或，当时，，故，此时三角形周长为；当时，，故，此时三角形周长为.16.如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.（1）证明：平面；（2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，再结合线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果.【小问1详解】由三棱台知，平面，因为平面，且平面平面，所以，因为，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，则设平面的法向量为n=x则，即，令，可得平面的一个法向量，易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，，所以由，得，由（1）知，所以，解得，所以三棱台的体积.17.已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，取椭圆上顶点列式求出即可得解.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即得.【小问1详解】不妨设椭圆上顶点，此时，因为的面积为8，所以，联立解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，由消去并整理得，设，则，直线的方程为y=y1x1+4x+4则，同理得，所以.18.已知函数.（1）当时，求证：函数有唯一极值点；（2）当时，求在区间上的零点个数；（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数；（2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数；（3）由题意设曲线y=fx与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解.【小问1详解】函数，有，则φx在R上单调递增，当时，有，即.当时，由，得，且.当时，.因为，所以f'x因为对任意x∈R恒成立，所以当时，f'则在上单调递减，在0,+∞上单调递增，所以是的唯一极值点.【小问2详解】当时，，，当时，，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.当时，令，则，当时，有h'x>0，所以hx又因为，所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，所以当时，故在上无零点，当时，，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点.综上所述：在上有且只有2个零点.【小问3详解】设曲线y=fx与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为其斜率分别为，则.因为，所以.所以.不妨设，则.因，由“合一切线”的定义可知，.所以.由“合一切线”的定义可知，，所以.当时，取，则，符合题意.所以.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．19.若数列满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.（1）设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.（2）试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.（3）若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合数列的新定义和递推公式，即可求解；（2）设，求得，结合数列的新定义，即可求解；（3）定义运算#：，证得，即运算“#”满足结合律，根据给定的数列，且，分为偶数和为奇数，结合数列的新定义，即可得证.【小问1详解】解：由题意，可得该数列第3项，由递推公式，可得，经计算，无论降维过程如何进行，最终得到的坍缩数都是.【小问2详解】解：设，则，故，所以，，所以，即，所以当数列满足时，经过一次“降维”后得到的新数列仍然是边界为1的数列，故这种“降维”可以持续进行，直至得到一个只有一项的数列，从而得到“坍缩数