2025届高三上学期9月月考联合测评数学试题解析版

2025届高三上学期9月月考联合测评解析版数学试卷注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（

）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个【答案】B【详解】由图知，阴影部分所示的集合为，由，得到，所以，又，所以，得到阴影部分所示的集合的元素共有个，

故选：B.2．已知向量，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】，.因为，所以，则，解得.故选：D.3．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，所以，故，又，故，故选：B.4．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（

）

A．22 B．30 C．37 D．46【答案】B【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，…，则第个“拐角数”为.对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意;对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意.故选：B.5．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（

）A．86 B．87 C．88 D．90【答案】B【详解】将数据从小到大排序得，因为，所以第75百分位数是．故选：B．6．已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选：C．7．在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】由余弦定理得，代入得，，则，即，，令，，则，当且仅当时，，即时等号成立，此时，，即，为等腰直角三角形时，取到最小值.故选：B.8．已知的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，函数的定义域为，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函数，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一个周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函数可得：所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为 B．C． D．的共轭复数为【答案】ABD【详解】对于A中，由，其虚部为，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，则，所以C错误；对于D中，由，故的共轭复数为，所以D正确．故选：ABD．10．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是（）A．曲线C与y轴的交点为和B．曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称C．点的横坐标的范围是D．的取值范围为【答案】AC【详解】解：设点，因为，可得，整理得：，对于A中，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，所以A正确；对于B中，因为，用替换，方程不变，则曲线关于x轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于y轴对称，同时用替换，用替换，方程不变，可得曲线关于原点对称，所以B错误；对于C中，因为，即可得，即，即，解得，即，所以点P的横坐标的取值范围是，所以C正确；对于D中，因为，由C项知，所以，故，所以D错误．故选：AC.11．如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（

）A．最大值为；B．在时取得极大值；C．在上单调递增，在上单调递减；D．在上单调递增，在上单调递减【答案】AD【详解】当时，截面为等边三角形，如图：因为，所以，所以：，，.此时，在上单调递增，且，.当时截面为六边形，如图：设，则所以六边形的周长为：为定值；做平面于，平面于.设平面与平面所成的角为，则易求.所以，所以，在上递增，在上递减，所以截面面积的最大值为，此时，即.所以在上递增，在上递减.时，最大，为.当时，易得：，此时，在上单调递减，，.综上可知：AD是正确的，BC错误.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量，若，则的值为．【答案】0.8/4【详解】因为，，所以，所以，所以，故答案为：.13．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则.【答案】【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得，取的中点，连接，由，得，则，连接，由为的中点，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案为：

14．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为.【答案】/【详解】的面积为，注意到，所以，因为三点共线，所以设，而点是中点，点是中点，所以，设，所以，因为不共线，所以，解得，因为，设的面积为，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求和：【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以数列为首项为，公比为的等比数列，所以，所以an的通项公式为.（2）设，，则，由（1）可得，所以，所以，所以，所以，所以所以.所以16.（本小题15分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．

(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】(1)存在，P是中点，证明见解析；(2)．【详解】（1）存在，证明如下：在四棱柱中，因为平面平面，所以可在平面内作，由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，因为平面，所以平面．即存在线段的中点，满足题设条件．满足条件的点只有一个，证明如下：当平面时，因为平面，所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内，而在平面内过只能作一条直线，故满足条件的点P只有唯一一个．所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面．（2）过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD，

所以DA，DF，两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，，，，设平面的法向量为n=x,y,z则有即令，得，，所以．设平面的法向量为．则有即令，得，，所以．所以．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．17.（本小题15分）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.(1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；(2)甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；(3)将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.【答案】(1)，(2)分布列见解析(3)公平，理由见解析【详解】（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，故，于是，当时，最大.（2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，Y可取.由事件相互独立，则.；；；故分布列为：X0123P（3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为；于是；即，即.记，则，故数列bn为首项是，公差为的等差数列；故，则，故，则，因此公平.18.（本小题17分）已知椭圆过点．(1)求椭圆的方程以及离心率；(2)设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论．【答案】(1)椭圆方程为，离心率为(2)定点为，证明见解析【详解】（1）将代入椭圆方程可得且，解得，故，故椭圆方程为，离心率为（2）联立与椭圆方程，消去可得，设,，,，可得，，则的方程为，又，令，则故直线经过定点．19.（本小题17分）已知函数，其中为自然对数的底数．(1)当时，求的单调区间；(2)若方程有两个不同的根．（i）求的取值范围；（ii）证明：．【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减；(2)（i）；（ii）证明见解析.【详解】（1）由题意得，x∈0,+∞，则，由，解得．当时，单调递增，当时，单调递减；综上，在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减；（2）（i）由，得，设，由（1）得在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减，又，当时，gx>0，且当时，，所以当时，方程有