专题08隐圆问题(原卷版+解析)

专题8隐圆问题题型一：翻折【例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______．【例3】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．【例4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在直线翻折，得到△，连接，则长度的最小值是_____．【例5】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_____．题型二：直角问题【例1】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值（）A、B、2

C、

D、【例2】如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A． B． C． D．【例3】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD﹢PG的最小值为______．【例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，BC＝，点D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）A、B、1C、D、【例5】如图，矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，以BC为斜边作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为______．【例6】如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连结AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是_____．题型三：切线问题【例1】如图，已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），⊙C的圆心坐标为（﹣3，0），半径为3，若D是⊙O上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（）A．B．C．D．【例2】如图，半径为2的⊙A，圆心A在直线上运动，过点O作⊙A的一条切线OP，P为切点，则切线OP长的最小值为____．【例3】如图，已知A（﹣2，0），以B（0，1）为圆心，OB长为半径作⊙B，N是⊙B上一个动点，直线AN交y轴于M点，则△AOM面积的最大值是（）A．2 B． C． D．4【例4】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_______．课后作业:1．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．32．如图，的圆心的坐标为（1，1），半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．3．已知∠AOB＝60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝4cm，则OC的长是_____．4．如图，中，，，，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，连接，点是线段上一动点，当以为半径的与的一边相切时，的长为_____．5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为_____．6、如图，在平面直角坐标系中，若四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．当m的取值范围是_____时，在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°．7、如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，线段CP的最小值是_____．专题8隐圆问题题型一：翻折【例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．【答案】5【解析】解析：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，

∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，

∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，

∴ME=DM=1，DE=，

∴CE=CD﹢DE=，由勾股定理得：CM2=ME2﹢CE2，

∴CM=7由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，

显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C=7﹣2=5【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______．【答案】1.2【解析】解析：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴，

∵CF=2，AC=6，BC=8，

∴AF=4，AB==10，

∴，∴FM=3.2，

∵PF=CF=2，∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2．【例3】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．【答案】【解析】解析：如图所示：当∠AFE=∠GFE，点G在CE上时，此时CG的值最小，根据折叠的性质，△AFE≌△GFE，

∴AE=GE，∵E是AB边的中点，AB=2，

∴AE=BE=GE=1，

∵BC=AB=2，

∴CE=，

∴CG=CE﹣EG=【例4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在直线翻折，得到△，连接，则长度的最小值是_____．【答案】1【解析】解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC=，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′﹢CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．【例5】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_____．【答案】【解析】解析：如图所示∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC=，∴A′C=MC﹣MA′=．题型二：直角问题【例1】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值（）A、B、2

C、

D、【答案】B【解析】解析：∵∠ABC=90°，

∴∠ABP﹢∠PBC=90°，

∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP﹢∠ABP=90°，

∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，

∴OC==5，

∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．

∴PC最小值为2．

【例2】如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：连接AC，AG，

∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：，

∴AB=2AO=，

又CO=CG﹢GO=2﹢1=3，

∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合，当E位于点D时，CA⊥AE，此时F与A重合；

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长弧AO，

在Rt△ACO中，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

∴弧AO度数为60°，

∵直径AC=，

∴弧AO的长为，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．【例3】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD﹢PG的最小值为______．【答案】【解析】解析：如图：取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连接BG，连接CG并延长交AB于点E由以上作图可知，BG⊥EC于GPD﹢PG=PD′﹢PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD﹢PG最小∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=∴PD﹢PG的最小值为【例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，BC＝，点D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）A、B、1C、D、【答案】D【解析】解析：连接AE∵以AD为直径的圆交BD于点E∴∠AED=90°∴点E在以AB为直径的圆O上连接OE、OC则CE≥OC﹣OE∵∠BAC=90°，AB=AC∴AC=AC=BC=2由勾股定理得，∴线段CE长度的最小值为【例5】如图，矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，以BC为斜边作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为______．【答案】【解析】解析：由题意知∠BEC=90°，

∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，

此时E′F最长，

∵CO=BC=6、FC=CD=，

∴OF=，

则E′F=OE′﹢OF=【例6】如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连结AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是_____．【答案】【解析】解析：如图，∵BH⊥AP，

∴∠AHB=90°，

∴点H在以AB为直径的半圆上运动，由题意

∵OA=OB=1，

∴点H所走过的路径长=题型三：切线问题【例1】如图，已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），⊙C的圆心坐标为（﹣3，0），半径为3，若D是⊙O上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解析：由题意可得，当AD与⊙C相切时，△ABE的面积最大，此时点D在D1的位置，如图所示，连接CD1则∠CD1A=90°∴△CD1A∽△OE1A∴∵OA=3，AC=6，CD1=3∴∴OE1=∴【例2】如图，半径为2的⊙A，圆心A在直线上运动，过点O作⊙A的一条切线OP，P为切点，则切线OP长的最小值为____．【答案】【解析】解析：如图，连接OA设A（，）∵OP是切线，PA是半径∴PA⊥OP∴，即整理得∴OP2最小值为∴OP的最小值为【例3】如图，已知A（﹣2，0），以B（0，1）为圆心，OB长为半径作⊙B，N是⊙B上一个动点，直线AN交y轴于M点，则△AOM面积的最大值是（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】解析：当直线AN与⊙B相切时，△AOM的面积最大连接AB、BN在Rt△AOB和Rt△ANB中，OB=BN，AB=AB∴Rt△AOB≌Rt△ANB∴AN=AO=2设BM=x∴MN2=（BM﹣1）（BM﹢1）∴MN=∵∠AOM=∠ANM=90°，∠AMO=∠BMN∴△BNM∽△AOM∴即，解得∴【例4】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_______．【答案】【解析】解析：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=，

∴AB=OA=6，

∴OP=，

∴PQ=．课后作业:1．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3【答案】B【解析】解析：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，在Rt△BCO′中，，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B．2．如图，的圆心的坐标为（1，1），半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于，∵，∴，，∴，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，设，，则，∵，，∴，，解得：，∵的半径为1，∴，故选：A．3．已知∠AOB＝60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝4cm，则OC的长是_____．【答案】cm或cm【解析】解析：可分两种情况，①如图1，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，∵EF＝4cm，∴EM＝2cm，在Rt△EPM中，PM＝cm，∵∠AOB＝60°，∴∠PNM＝30°，∴PN＝2PM＝2cm，∴NC＝PN＋PC＝5cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝5×＝cm．②如图2，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，由①可知，PN＝2cm，∴NC＝PC−PN＝1cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝1×＝cm．综上所述，OC的长为cm或cm．4．如图，中，，，，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，连接，点是线段上一动点，当以为半径的与的一边相切时，的长为_____．【答案】或_【解析】解析：设，由折叠的性质可得，，，则由勾股定理得，即，解得即，由勾股定理得∴由勾股定理得由以为半径的与的一边相切，可分为两种情况，与相切或相切∵，∴不可能与相切当与相切，如下图：则，∴∴∴设，则，则解得，即当与相切时，如下图：则，∴∴设，则，则解得，即故答案为或5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连