专题04【五年中考+一年模拟】动点压轴题-备战2023年长春中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题04动点压轴题1．（2022•长春）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒，（1）点到边的距离为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连结，当线段最短时，求的面积；（4）当、、三点共线时，直接写出的值．2．（2021•长春）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒．（1）线段的长为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当点在内部时，求的取值范围；（4）当与相等时，直接写出的值．3．（2020•长春）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、．设点的运动时间为秒．（1）当点与点重合时，求的值．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．（4）如图②，取的中点，连接．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．4．（2019•长春）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．（1）①的长为；②的长用含的代数式表示为．（2）当为矩形时，求的值；（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．5．（2018•长春）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．过点作于点（点不与点、重合），作，边交射线于点．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长；（2）当点与点重合时，求的值；（3）设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；（4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．6．（2022•绿园区校级一模）如图，在中，，，，点在上以每秒个单位长度的速度向终点运动．点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为．（1）点到边的距离，点到边的距离；（用含的代数式表示）（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．7．（2022•绿园区模拟）在中，，，，过点作于点．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿由的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度沿的方向向终点运动，连结、、，以、为邻边作，设点的运动时间为秒．（1）的长为．（2）当平行时，求的值．（3）求当点落在内部时，的取值范围．（4）当将的面积分成两部分时，直接写出此时的值．8．（2022•长春模拟）如图，在矩形中，，，点是边的中点，动点从点出发，沿折线运动，在上以每秒个单位的速度运动，在上以每秒1个单位的速度向终点运动，点是的中点，连结、．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当是以为底边的等腰三角形时，求的值．（3）当是锐角三角形时，求的取值范围．（4）当时，直接写出的值．9．（2022•长春模拟）如图，在菱形中，为对角线，，．点是边上一动点，当点不与点重合时，过点作的垂线交边或边于点，作点关于中点的对称点，连结、．（1）求点到的距离．（2）若点落在上，则的面积为．（3）在边上取点，使．①将点在线段上由点向点平移，求点所走的路径长．②作直线，当把的面积分成两部分时，直接写出的长．10．（2022•长春一模）如图，在中，，，于点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与，，重合时，过点作交于点，过点作，使得，点、点在的同侧，连结，设点的运动时间为．（1）线段．（2）当点在线段上时，．（用含的代数式表示）（3）当点落在的内部时，求的取值范围；（4）连结，当为锐角三角形时，直接写出的取值范围．11．（2022•长春一模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形．设点运动的时间为秒．（1）的长为．（2）求点到边的距离．（用含的代数式表示）（3）当点落在边上时，求的长．（4）连结．当与平行或垂直时，直接写出的值．12．（2022•双阳区一模）如图，在中，，，过点作交于点，动点、同时出发，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒5个单位长度，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒个单位长度，连接，过点作，，点在的下方，设点运动的时间为秒．（1），．（2）求的长（用含的代数式表示）．（3）连接，若，求的值．（4）连接，当的某一个内角与互余时，直接写出的值．13．（2022•宽城区模拟）如图，在矩形中，，，为边的中点，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，为线段的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点．设点运动的时间为秒．（1）直接写出线段的长．（用含的代数式表示）（2）当点落在边上时，求的值．（3）当与矩形重合部分图形为四边形时，求的取值范围．（4）当点与点到矩形的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出的值．14．（2022•长春一模）如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动；点出发2秒后，动点从点出发，沿折线向点运动，在上的速度为1个单位长度秒，在上的速度为2个单位长度秒．过、两点分别作的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作．点运动的时间为秒．（1）直接写出的长为．（2）当时，的面积是多少？（3）设的周长为，当时，求与之间的函数关系式．（4）若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出值．15．（2022•绿园区二模）如图，在矩形中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、，设点的运动时间为秒．（1）线段的长为．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当时，求的值．（4）当点在矩形内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．16．（2022•朝阳区校级模拟）如图①，在中，，，，点为边的中点．点在边上运动（点不与、重合），连结、．设线段的长度为．（1）求的长．（2）当是等腰三角形时，求这个等腰三角形的腰长．（3）连结、，当取最小值时，求的值．（4）如图②，取的中点为，以点为圆心，以线段的长为直径的圆与线段有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．17．（2022•绿园区校级模拟）如图，在中，，，．动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点与点不重合时，连结，作点关于的对称点，连结，；再作点关于的对称点，连结，．设点运动时间为秒．（1）的长为．（2）当四边形为中心对称图形时，求的值．（3）当时，求的取值范围．（4）当点在的一边所在的直线上时，直接写出的值．18．（2022•长春模拟）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，作交于点，作交于点．为射线上一点，且．设点的运动时间为（秒．（1）．（2）求的长．（用含有的代数式表示）（3）线段将矩形分成两部分图形的面积比为时，求的值．（4）当为某个值时，沿将以、、、为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的值．19．（2022•宽城区校级二模）如图，在中，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿边向点运动，到点停止．当点与点、不重合时，过点作，交边或者边于点，点关于点的对称点为点．以、为边作矩形．设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示；（2）当点落在边上时，求的值；（3）当点与点不重合时，连接．直接写出线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形时的值．20．（2022•二道区校级二模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，作点关于的对称点，连结、，设点运动的时间为秒．（1）线段长为．（2）当点落在内部时，求的取值范围．（3）当边把的面积分为的两部分时，求线段的长度．（4）当垂直于的一边时，直接写出的值．21．（2022•南关区校级模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线向点运动，点在上以每秒1个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，连结，将沿翻折得到△．设点的运动时间为秒．（1）的长为．（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当四边形为中心对称图形时，求的值．（4）连结，当与相等时，直接写出的值．22．（2022•南关区校级模拟）如图，在等腰中，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度向运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连结，在射线上截取，以、为邻边作．设运动时间为秒．（1）．（2）当为正方形时，．（3）当与重叠部分为轴对称图形时，求的值．（4）作点关于直线的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的值．23．（2022•长春模拟）如图，在中，，，，点为边上的点，且．动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线一向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为秒．（1）当点与点重合时，的值为；（2）当点落在边上时，求的值；（3）设的面积为，求与之间的函数关系式；（4）连结，直接写出与的边平行时的值．24．（2022•南关区校级模拟）如图①，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、点重合时，过点作的垂线交于点，连结，以、为邻边作平行四边形，当点停止运动时，点继续运动，设点的运动时间为秒．（1）求线段的长；（用含的代数式表示）（2）当平行四边形为矩形时，求的值；（3）当将平行四边形的面积分为两部分时，求的值；（4）如图②，点为的中点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值．25．（2022•二道区校级模拟）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动，在上以每秒5个单位的速度运动，在上以每秒4个单位的速度向终点运动，当点不与矩形的顶点重合时，过点作边的垂线，垂足为，当点在上时，将绕点逆时针旋转得到；当点在上时，将绕点顺时针旋转得到，连结得，设点的运动时间为．（1）矩形对角线的长为．（2）求线段的长．（3）当矩形的对称中心落在边上时，求的值及与重叠部分图形的面积的值．（4）设过中点的直线，当平分矩形的面积且与矩形的边平行时，直接写出的取值范围．26．（2022•二道区校级模拟）如图，在中，，，，为边的中点，动点从点出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点运动，连接，当点不与点重合时，以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示的长．（2）当点在内部时，求的取值范围．（3）连接，在运动过程中，当时，求平行四边形的面积．（4）当点在边上时，作点关于直线的对称点，当与的直角边垂直时，直接写出的值．27．（2022•宽城区校级模拟）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交边或边于点，点是射线上的一点，且，以、为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为（秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当点落在上时，求的值．（3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．（4）若重心为，矩形中心为，当点与点到直线距离相同时，请直接写出的值．28．（2022•朝阳区校级模拟）如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；在点出发的同时，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向终点运动．当点到达终点时，点也停止运动．以为斜边作等腰直角三角形，使点与点在的同侧．设、两点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当四边形为轴对称图形时，求的值．（3）当为锐角时，求的取值范围．（4）当点与一个顶点的连线垂直平分时，直接写出的值．29．（2022•宽城区校级一模）如图①，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为边向右作正方形，设正方形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒．（1）填空：，用含的代数式表示，则；（2）当点落在边上时，求的值．（3）当正方形与的重叠部分图形为四边形时，求与的函数关系式．（4）如图②，点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为斜边向左构造等腰直角，当的直角顶点落在正方形的边或对角线上时，直接写出的值．30．（2022•朝阳区校级模拟）如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以、为邻边作．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当点落在边上时，求的值．（3）当点在线段上运动时，连结，若为钝角三角形，求的取值范围．（4）当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值．31．（2022•二道区模拟）如图，在中，，．点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点时，点停止1秒，然后继续运动．分别连结、．设点的运动时间为秒．（1）求点与之间的距离；（2）当时，求的值；（3）当为钝角三角形时，求的取值范围；（4）点关于直线的对称点是点，连结，当线段与的某条边平行时，直接写出的值．32．（2022•长春二模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线、于点，连结，将绕点逆时针旋转得到．设点的运动时间为（秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当点落在边上时，求的长．（3）当点在内部时，求的取值范围．（4）当线段将的面积分成的两部分时，直接写出的值．33．（2022•朝阳区一模）如图，在中，，，，为的中点．动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，连结，以为边构造正方形且边与点始终在边同侧．设点的运动时间为秒．（1）线段的长为．（2）当点在边上运动时，线段的长为（用含的代数式表示）．①当正方形与重叠部分图形是正方形时，求的取值范围．②当边的中点落在的边上时，求正方形的面积．（3）当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当时，直接写出的值．34．（2022•二道区校级二模）如图，在中，，，．点从点出发，沿以每1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当点到达点时，点同时停止运动，过点作交折线于点．当点与点不重合时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（1）求的长．（用含有的代数式表示）（2）当点在三角形内部时，求的取值范围．（3）当平行四边形是菱形时，求的长．（4）连结，当与的一条边平行时，直接写出的值．35．（2022•宽城区一模）在中，，，．动点从点出发沿以每秒4个单位的速度向终点运动，过点作的垂线交于点，以为边向下作菱形，使．设点的运动时间为秒．（1）菱形的周长为．（用含的代数式表示）（2）当与的距离为1时，求的值．（3）连结，当线段将菱形分成的两个多边形中有一个是轴对称图形时，求的值．（4）设的中点为，连结，点关于直线的对称点，当与的一边平行时，直接写出的值．专题04动点压轴题1．（2022•长春）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒，（1）点到边的距离为3；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连结，当线段最短时，求的面积；（4）当、、三点共线时，直接写出的值．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）或【详解】（1）连接，，点是的中点，，，在中，由勾股定理得，，故答案为：3．（2）当点在上时，即时，，当点在上时，即时，，；（3），，，当点、、共线时，最短，方法一：延长，交于点，，，，，，，，，；方法二：设△的面积为，则的面积的面积，，，△的面积为；（4）当点在上时，如图，作，交的延长线于，作平分，交于，作于，，，，，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；当在的延长线上时，作于，由题意知，同理得，，，，，，综上：或．2．（2021•长春）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒．（1）线段的长为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当点在内部时，求的取值范围；（4）当与相等时，直接写出的值．【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）或【详解】（1）在中，由勾股定理得：，．故答案为：2．（2）当时，点在线段上运动，，当时，点在上运动，．综上所述，．（3）如图，当点落在上时，，，，，在中，，．如图，当点落在边上时，，，，，在中，，．如图，点运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，时，点在内部．（4）如图，过点作于点，当时，，，，，，．如图，当时，，，，，，在中，，，，，．综上所述，或．3．（2020•长春）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、．设点的运动时间为秒．（1）当点与点重合时，求的值．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．（4）如图②，取的中点，连接．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或【详解】（1）当点与重合时，，解得．（2）在中，，，，，，，如图①中，当点在线段上时，在中，，．如图③中，当点在线段上时，在中，，，．（3）当是等腰直角三角形时，则，如图④中，当点在线段上时，在中，，，，，．如图⑤中，当点在线段上时，在中，，，，解得．是锐角三角形，观察图象可知满足条件的的值为或．（4）如图⑥中，当点在线段上，时，过点作于，延长交于，过点作于．，，，在中，，，在中，，，解得．如图⑦中，当点在线段上，时，过点作于，过点作于．，，，在中，，，在中，，，，解得，综上所述，满足条件的的值为或．4．（2019•长春）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．（1）①的长为；②的长用含的代数式表示为．（2）当为矩形时，求的值；（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．【答案】（1）①25；②（2）；（3）；（4）或【详解】（1）在中，，，．．，由题可知，．故答案为：①25；②．（2）当为矩形时，，，，，由题意可知，，，解得，即当为矩形时．（3）当重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．在三角形内部时．延长交于点，由（1）题可知：，，，，．，，，．在三角形内部时．有，，．．当时，与重叠部分图形为，与之间的函数关系式为．Ⅱ．如解图（3）2所示．当，与重叠部分图形为梯形时，即：，解得：，与重叠部分图形为梯形的面积．综上所述：当时，．当，．（4）当过点（点不与点、重合）且平行于的直线经过一边中点时，有两种情况Ⅰ．当过点且平行于的直线经过的边中点时，如解题图（4）1，，与交于点，为中点，过点作，，，，，，，．．，，，解得：，Ⅱ．如解题图（4）2，，与交于点，为中点，过点作，，四边形为矩形，，，解得．综上所述：当或时，点且平行于的直线经过一边中点，5．（2018•长春）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．过点作于点（点不与点、重合），作，边交射线于点．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长；（2）当点与点重合时，求的值；（3）设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；（4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）秒或秒或秒【详解】（1）在中，，，，，，在中，，，，；（2）在中，，，，，，点和点重合，，，；（3）当时，；当时，如图2，，在中，，，，；（4）当的垂直平分线过的中点时，如图3，，，，，，，，，；当的垂直平分线过的中点时，如图4，，，，在中，，，，，当的垂直平分线过的中点时，如图5，，，，，，，在中，，，，，即：当线段的垂直平分线经过一边中点时，的值为秒或秒或秒．6．（2022•绿园区校级一模）如图，在中，，，，点在上以每秒个单位长度的速度向终点运动．点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为．（1）点到边的距离，点到边的距离；（用含的代数式表示）（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）或或【详解】（1）如图1，过点作，由题意可知，，，，，，，，，点到的距离为，点到距离为；故答案为：；；（2）如图2，当点落在线段上时，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，解得：；（3）①当时，与重叠面积为，如图1，，由（1）可知，，，②当时，设交于点，如图3，则与重叠面积为，，，，，，综上所述，；（4）①如图4，当时，则，由（1）得：，，，，四边形是矩形，，，解得：；②当时，延长交于，如图5，，，，，，，，解得：；③当时，如图6，，，四边形是平行四边形，，，；综上所述，当与的一边平行或垂直时，或或．7．（2022•绿园区模拟）在中，，，，过点作于点．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿由的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度沿的方向向终点运动，连结、、，以、为邻边作，设点的运动时间为秒．（1）的长为．（2）当平行时，求的值．（3）求当点落在内部时，的取值范围．（4）当将的面积分成两部分时，直接写出此时的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）1或2或【详解】（1），，，，，，，．故答案为：；（2），，，．时，；（3）当与重合时，点落在边上，此时．如图1中，当点落在边上时，，，，，观察图形可知，当时，点落在内部．如图2中，当点在上，点落在上时，，，，．如图3中，当点落在上时，，，，，观察图形可知，当时，点落在内部．综上所述，满足条件的的范围为：或．（4）如图4中，设交与点，当时，直线把四边形的面积分成两部分，，，，，解得．经检验是分式方程的解．如图5中，设交于点，当时，直线把四边形的面积分成两部分，连接交于点，过点作于点，于点．，四边形是矩形，，，设，，，，，，，，，，经检验是分式方程的解．如图6中，设交于点，当时，直线把四边形的面积分成两部分，连接交于点，同法可证，，，，经检验是分式方程的解，综上所述，满足条件的的值为1或2或．8．（2022•长春模拟）如图，在矩形中，，，点是边的中点，动点从点出发，沿折线运动，在上以每秒个单位的速度运动，在上以每秒1个单位的速度向终点运动，点是的中点，连结、．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当是以为底边的等腰三角形时，求的值．（3）当是锐角三角形时，求的取值范围．（4）当时，直接写出的值．【答案】（1）当时，，当时，；（2）；（3）；（4）或【详解】（1）四边形是矩形，，，，，当时，．当时，；（2）当是以为底边的等腰三角形时，且是的中点，，即，，，，，，；（3）如图1中，当时，△，，，，如图2中，当时，由（2）可知，，观察图象可知，当是锐角三角形时，；（4）如图3中，连接．，，，，，，，，，，．如图4中，，，，，，．综上所述，满足条件的的值为或．9．（2022•长春模拟）如图，在菱形中，为对角线，，．点是边上一动点，当点不与点重合时，过点作的垂线交边或边于点，作点关于中点的对称点，连结、．（1）求点到的距离．（2）若点落在上，则的面积为．（3）在边上取点，使．①将点在线段上由点向点平移，求点所走的路径长．②作直线，当把的面积分成两部分时，直接写出的长．【答案】（1）；（2）；（3）①；②9【详解】（1）如图1，作于，，；点到的距离是；（2）如图2，作于，与互相平分，四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形，是矩形，，，，△，，，，，，故答案为：；（3）①如图3，，，当点在点时，点的对称点记作，作于，，，，，当点在点时，此时点在的延长线交于的处，可得，，，当点运动点处，点运动到，可得，点所走的路径长；②如图4，，△，，，，，．10．（2022•长春一模）如图，在中，，，于点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与，，重合时，过点作交于点，过点作，使得，点、点在的同侧，连结，设点的运动时间为．（1）线段．（2）当点在线段上时，．（用含的代数式表示）（3）当点落在的内部时，求的取值范围；（4）连结，当为锐角三角形时，直接写出的取值范围．【答案】（1）4；（2）；（3）或；（4）或【详解】（1），，，，，故答案为：4；（2）如图：点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，运动时间为，，故答案为：；（3）当时，如图：，，，，，，，，若落在上，，，即，解得，当点落在上时，．，，，由图可知，点落在的内部，此时应满足，当时，若落在上，如图：由（2）知，，同理可得，，而，即，解得，由图可知，点落在的内部，此时应满足，综上所述，点落在的内部或；（4）①当时，若，即落在上，如图：由（3）知，，，，即，解得，若，如图：，，，，即，解得，时，为锐角三角形，②当时，若，如图：同理可得：，即，解得，若，即在上，如图：同理可得，即，解得，时，为锐角三角形，综上所述，当为锐角三角形时，的范围是或．11．（2022•长春一模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形．设点运动的时间为秒．（1）的长为．（2）求点到边的距离．（用含的代数式表示）（3）当点落在边上时，求的长．（4）连结．当与平行或垂直时，直接写出的值．【答案】（1）4；（2）；（3）1；（4）或【详解】（1），，，，故答案为：4；（2）过作于，由题意得：，，，，即点到边的距离是；（3）当点落在边上时，，同（2）可得：，，，，，解得；（4）当时，如图：四边形是正方形，，在上，由题可知，，，，，，，，即，，，，即，，解得，当时，过作于，如图：，，，，，，即，，，，，，，，，解得，的值为或．12．（2022•双阳区一模）如图，在中，，，过点作交于点，动点、同时出发，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒5个单位长度，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒个单位长度，连接，过点作，，点在的下方，设点运动的时间为秒．（1），．（2）求的长（用含的代数式表示）．（3）连接，若，求的值．（4）连接，当的某一个内角与互余时，直接写出的值．【答案】（1）6，；（2）；（3）；（4）或【详解】（1），，，，，，，．故答案为：6，；（2）设点运动的时间为秒，则，，，，，，，，，；（3）若，则有点落在上．易得四边形是平行四边形，，则，，解得；（4）连接，分三种情况讨论：第一种情况，当时，，，此种情况不成立．第二种情况，当时，，，，则有，，，，解得；第三种情况，当，，，，则有，，，，解得，综上所述，的值为或．13．（2022•宽城区模拟）如图，在矩形中，，，为边的中点，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，为线段的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点．设点运动的时间为秒．（1）直接写出线段的长．（用含的代数式表示）（2）当点落在边上时，求的值．（3）当与矩形重合部分图形为四边形时，求的取值范围．（4）当点与点到矩形的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或或【详解】（1）如图1，四边形是矩形，，，为边的中点，，，，，为线段的中点，，，，，，，．（2）当点落在边上时，如图2，延长交于点，，，四边形是矩形，，，，，．解得．（3）①如图2，从点与点重合之后到点落在边上，与矩形重合部分图形为四边形，，解得；②如图3，从经过点到点与点重合之前，与矩形重合部分图形为四边形，，，，，，解得，综上所述，的取值范围是或（4）延长交于点，则，，．如图4，的平分线交于点，作于点，于点，，，，，，，，，，，解得；如图5，的平分线交于点，交的延长线于点，同理可得，，，，，，，解得；如图6，的平分线交于点，交的延长线于点，同理可得，，，，，，，，解得；如图7，的平分线交于点，的中点为，，，，，，，点不可能与的中点重合，不存在点与点到的平分线距离相等的情况，综上所述，或或．14．（2022•长春一模）如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动；点出发2秒后，动点从点出发，沿折线向点运动，在上的速度为1个单位长度秒，在上的速度为2个单位长度秒．过、两点分别作的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作．点运动的时间为秒．（1）直接写出的长为．（2）当时，的面积是多少？（3）设的周长为，当时，求与之间的函数关系式．（4）若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出值．【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）或或【详解】（1）四边形为菱形，．，为等边三角形．．故答案为：4；（2）当时，，，设过、两点分别作的平行线交于点，，如图，由（1）知：为等边三角形，，，，，，为等边三角形，，．的面积．（3）①当时，设过、两点分别作的平行线交于点，，如图，由（1）知：为等边三角形，，，，，，为等边三角形，，．，，；当时，；②当时，设过、两点分别作的平行线交于点，交于点，如图，由（1）知：为等边三角形，同理，为等边三角形，，，，，，，，为等边三角形，，，．，，；当时，；③当时，设过、两点分别作的平行线交于点，，如图，由②知：为等边三角形，．，，，，为等边三角形，，，，，，，当时，．综上，当时，与之间的函数关系式为；（4）若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则或或，理由：若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则剩余的两部分图形为全等的等边三角形，如图，，，．或，解得：；或，解得：．综上，若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则或或．15．（2022•绿园区二模）如图，在矩形中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、，设点的运动时间为秒．（1）线段的长为．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当时，求的值．（4）当点在矩形内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．【答案】（1）5；（2）；（3）；（4）或时，点落在矩形的内部【详解】（1）点为边的中点，，点关于直线的对称点，，故答案为：5；（2）当时，，当时，；（3）如图，过点作于，作于，，，，，，，在△中，由勾股定理得，，解得；（4）当点第一次落在上时，于，则，，，在中，由勾股定理得，，解得，时，点落在矩形的内部，当点第二次落在上时，则，在中，由勾股定理得，，解得，时，点落在矩形的内部，综上：或时，点落在矩形的内部．16．（2022•朝阳区校级模拟）如图①，在中，，，，点为边的中点．点在边上运动（点不与、重合），连结、．设线段的长度为．（1）求的长．（2）当是等腰三角形时，求这个等腰三角形的腰长．（3）连结、，当取最小值时，求的值．（4）如图②，取的中点为，以点为圆心，以线段的长为直径的圆与线段有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）8；（2）或5；（3）；（4）当或时，与线段只有一个公共点【详解】（1）在中，，，，；（2）点为边的中点，，当时，是等腰三角形；当时，如图，过点作于，，，，，，，当时，点与点重合，不合题意，综上所述：或5；（3）如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的最小值为的长，取的中点，连接，点是的中点，，点与点关于对称，，，，点，点，点三点共线，，点为边的中点，点是的中点，，，△△，，，，，；（4）当与相切时，则，，，，，当时，与线段只有一个公共点；当过点时，如图，是直径，，，又，，，，当时，与线段有两个公共点；当时，与线段只有一个公共点，综上所述：当或时，与线段只有一个公共点．17．（2022•绿园区校级模拟）如图，在中，，，．动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点与点不重合时，连结，作点关于的对称点，连结，；再作点关于的对称点，连结，．设点运动时间为秒．（1）的长为．（2）当四边形为中心对称图形时，求的值．（3）当时，求的取值范围．（4）当点在的一边所在的直线上时，直接写出的值．【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）或或1【详解】（1）在中，，，，，故答案为：2；（2）如图1，四边形为中心对称图形，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，，由对称得：，，，是等边三角形，，即；（3）如图1中，，，，此时，如图2，由对称得：，，，在上，在上，是等边三角形，，，当时，的取值范围是；（4）①如图2中，在上，此时；②如图3，在上，点关于的对称点，，，，，，，，，，中，，，，，即；③如图1中，，则在直线上，此时；综上，的值是或或1．18．（2022•长春模拟）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，作交于点，作交于点．为射线上一点，且．设点的运动时间为（秒．（1）．（2）求的长．（用含有的代数式表示）（3）线段将矩形分成两部分图形的面积比为时，求的值．（4）当为某个值时，沿将以、、、为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）的值为或或【详解】（1）在中，，，，．故答案为：；（2），，，四边形是矩形，；（3）如图1中，当点在线段上时，，，，，，，由题意，，，解得，．如图2中，当点落在的延长线上时，设交于点．当时，满足条件，，，，，，综上所述，满足条件的的值为或．（4）如图中，当时，满足条件，能拼成．此时，．如图中，当，重合时，能拼成，此时，．图中，当时，能拼成，此时，．综上所述，满足条件的的值为或或．19．（2022•宽城区校级二模）如图，在中，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿边向点运动，到点停止．当点与点、不重合时，过点作，交边或者边于点，点关于点的对称点为点．以、为边作矩形．设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示；（2）当点落在边上时，求的值；（3）当点与点不重合时，连接．直接写出线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形时的值．【答案】（1）；（2）；（3）或或【详解】（1）如图，过点作于点，，设，，，解得，，，，，，，即．①当点在边上，即，如图所示，此时，，，，；②当点在上，即，如图所示，此时，，，．综上，．（2）当点落在边上时，如图所示，此时，，，，点和点关于点对称，，四边形是矩形，，，，即，解得．（3）当线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形时，点平分，①当点在上时，如图，设与交于点，与交于点．由（2）中分析可知，，，，，点是的中点，，，，，，即，解得（舍或．②当点在上时，如图，设与交于点，由（1）分析可知，，，，，．，点是的中点，，，，，即，解得或（舍．③当点恰好与点重合时，点与点关于点对称，此时点与点重合，则；综上，的值为或或．20．（2022•二道区校级二模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，作点关于的对称点，连结、，设点运动的时间为秒．（1）线段长为．（2）当点落在内部时，求的取值范围．（3）当边把的面积分为的两部分时，求线段的长度．（4）当垂直于的一边时，直接写出的值．【答案】（1）6；（2）；（3）2；（4）或或【详解】（1）在中，，由翻折变换的性质可知，，故答案为：6；（2）如图中，当点落在上时，．，，，，，，．如图中，当点落在上时，．过点作于点．则，设，，，，，，，观察图象可知，满足条件的的值为：；（3）如图2中，延长交于点，过点作于点，于点，过点作于点，设交于点．由翻折的性质可知，，，，，，，，，，，，边把的面积分为的两部分，，，，，设，，．，，在中，，，解得，，；（4）如图中，当时，延长交于点．则，，，，此时．如图中，当时，四边形是菱形，此时，，如图中，当时，过点操作于点．，，，，，综上所述，满足条件的的值为或或．21．（2022•南关区校级模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线向点运动，点在上以每秒1个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，连结，将沿翻折得到△．设点的运动时间为秒．（1）的长为．（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当四边形为中心对称图形时，求的值．（4）连结，当与相等时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）2或；（4）1或3.5【详解】（1）在中，，，，，故答案为：；（2）当时，；当时，；（3）如图1中，当点与点重合时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时．如图2中，当四边形是菱形时，过点作于点．此时．，，，，，，，，综上所述，满足条件的的值为2或；（4）如图3中，当时，，，，，，，，，此时．当点在线段上时，延长交于点，过点作交于点．垂直平分线段，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，综上所述，满足条件的的值为1或3.5．22．（2022•南关区校级模拟）如图，在等腰中，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度向运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连结，在射线上截取，以、为邻边作．设运动时间为秒．（1）．（2）当为正方形时，．（3）当与重叠部分为轴对称图形时，求的值．（4）作点关于直线的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或【详解】（1）如图1，作于，，，，故答案为：；（2）四边形是平行四边形，，是菱形，时，菱形是正方形，，，，故答案为：；（3）如图2，当重合部分为三角形时，是等腰三角形，此时，点和点重合，，，，，，，，，，如图2，当重合部分为四边形时，重合部分是等腰梯形，此时，，，综上所述：或；（4）如图3，作于，，，，，，，，，，，由得，，，如图4，当时，，作于，同理可得，，，，，综上所述：或．23．（2022•长春模拟）如图，在中，，，，点为边上的点，且．动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线一向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为秒．（1）当点与点重合时，的值为；（2）当点落在边上时，求的值；（3）设的面积为，求与之间的函数关系式；（4）连结，直接写出与的边平行时的值．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）或【详解】（1），，，，，当点与点重合时，，，故答案为：3．（2）四边形是平行四边形，，当点落在边上时，如图2，则，，，，，，解得（3）当时，如图1，作于点，于点，，，，，，，由得，；当时，如图3，作于点，则，，，，，综上所述，．（4）当时，如图4，，，解得；当时，如图5，，，，，解得，综上所述，或．24．（2022•南关区校级模拟）如图①，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、点重合时，过点作的垂线交于点，连结，以、为邻边作平行四边形，当点停止运动时，点继续运动，设点的运动时间为秒．（1）求线段的长；（用含的代数式表示）（2）当平行四边形为矩形时，求的值；（3）当将平行四边形的面积分为两部分时，求的值；（4）如图②，点为的中点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或【详解】（1）在中，，，，，当点在上时，．当点在上时，；（2）如图①中，当点落在上时，四边形是矩形．由，可得，解得，．（3）如图①中，当点在上时，设交于点．将平行四边形的面积分为两部分，，，解得，；如图①中，当点在线段上时，设交于点．将平行四边形的面积分为两部分，，，解得，（不符合题意舍去）．综上所述，满足条件的的值为；（4）如图②中，当时，延长交于点，过点作于点．，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，，，．如图②中，当时，过点作于点．则四边形是矩形．，，．如图②中，当时，，，．综上所述，满足条件的的值为或或．25．（2022•二道区校级模拟）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动，在上以每秒5个单位的速度运动，在上以每秒4个单位的速度向终点运动，当点不与矩形的顶点重合时，过点作边的垂线，垂足为，当点在上时，将绕点逆时针旋转得到；当点在上时，将绕点顺时针旋转得到，连结得，设点的运动时间为．（1）矩形对角线的长为．（2）求线段的长．（3）当矩形的对称中心落在边上时，求的值及与重叠部分图形的面积的值．（4）设过中点的直线，当平分矩形的面积且与矩形的边平行时，直接写出的取值范围．【答案】（1）10；（2）或6；（3），或，；（4）或【详解】（1）如图1，四边形是矩形，，，在中，，，的长为10．故答案为：10．（2）当点在线段上，如图1，由题意，，，，，，，，，；当点在线段上，如图2，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，综上所述，线段的长为或6；（3）当点在线段上，如图3，设矩形的对称中心为点，则点为线段的中点，，作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，，，四边形是正方形，，，，，；，，，，，，解得，；，；当点在线段上，如图4，作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，四边形是矩形，，点在线段上运动的时间为2秒，，解得，；设交于点，，，，，，综上所述，，或，，（4）当点在线段上且与点不重合时，如图5，直线，设直线分别交、、、于点、、、，则，，四边形是矩形，直线平分矩形的面积，，，，，；作于点，则，四边形是矩形，，，，，，，，，，解得，；当点在线段上，如图6，直线，设直线分别交、、、于点、、、，则，，，，，，四边形是矩形，，，，直线平分矩形的面积，若点与点重合，则，解得，；若点与点重合时，则，解得，，，综上所述，的取值范围是或．26．（2022•二道区校级模拟）如图，在中，，，，为边的中点，动点从点出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点运动，连接，当点不与点重合时，以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示的长．（2）当点在内部时，求的取值范围．（3）连接，在运动过程中，当时，求平行四边形的面积．（4）当点在边上时，作点关于直线的对称点，当与的直角边垂直时，直接写出的值．【答案】（1）；（2），且；（3）12或；（4）或或1【详解】（1）当点在上时，即：时，，当点在上时，即：时，，；（2）如图1，当点在上时，设与交于点，四边形是平行四边形，，，，，，当时，点在的内部，，，，如图2，当点在上时，设与交于点当时，点在的内部，，，，，，且；（3）如图3，当点在上时，，点是的中点，，，，，，是矩形，，，，如图4，当点在上时，作，，，，，，综上所述：平行四边形的面积为：12或；（4）如图5，当时，连接，作于，，，，由折叠可得：，，，，，，，当时，此时在点处，点在的中点，，如图6，当时，作于，可得：，，，综上所述：或或1．27．（2022•宽城区校级模拟）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交边或边于点，点是射线上的一点，且，以、为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为（秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当点落在上时，求的值．（3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．（4）若重心为，矩形中心为，当点与点到直线距离相同时，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）（秒）；（3）；（4）或【详解】（1），，，，如图2，当与重合时，，，即，，，即，，当时，如图1，，如图3，，，，即，，当时，如图3，；（2）当点落在上时，如图4，，，，，（秒；（3）当时，如图1，矩形与重叠部分图形是矩形，；如图5，当与重合时，，则，，当时，如图6，，即，，，，，，即，，；综上，与之间的函数关系式是：．（4），是的重心，，，，，，，，，，，当点与点到直线距离相同时，当时，，解得：，当时，，解得：，因为，，，综上所述，当点与点到直线距离相同时，的值为或．28．（2022•朝阳区校级模拟）如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；在点出发的同时，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向终点运动．当点到达终点时，点也停止运动．以为斜边作等腰直角三角形，使点与点在的同侧．设、两点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当四边形为轴对称图形时，求的值．（3）当为锐角时，求的取值范围．（4）当点与一个顶点的连线垂直平分时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或【详解】（1）由题意，得，，；（2）当四边形为轴对称图形时，的垂直平分线过点，为轴对称图形，，，，，，即，．（3）当为直角时，，为等腰直角三角形，，，如图，作交于点，，，即，，当时，，当时，，；（4）分三种情况，使得的中垂线分别经过、、．①过点，与（2）情况相同，，，；②过点，此时，，，，；③如图：过点，此时，，为斜边的中线，为中点，，，即，；④如图，点返回时垂直于，作垂直于，，，，，中，由勾股定理得，，解得，．综上，的值为或或或．29．（2022•宽城区校级一模）如图①，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为边向右作正方形，设正方形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒．（1）填空：，用含的代数式表示，则；（2）当点落在边上时，求的值．（3）当正方形与的重叠部分图形为四边形时，求与的函数关系式．（4）如图②，点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为斜边向左构造等腰直角，当的直角顶点落在正方形的边或对角线上时，直接写出的值．【答案】（1）15，；（2）；（3）；（4）或或【详解】（1）如图①，，，；，且，，故答案为：15，．（2）如图②，点在边上，四边形是正方形，，，，，由得，，解得，．（3）由题意可知，，，当点与点重合时，则，解得当点与点重合时，则，解得；当时，如图①，；当时，如图③，，，，，综上所述，．（4）如图④，点在边上，由题意得，，解得；如图⑤，点为正方形的对角线交点，由题意得，，解得；如图⑥，点在边上，由题意得，，解得．综上所述，的值为或或．30．（2022•朝阳区校级模拟）如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以、为邻边作．设点的运动时间为秒．（1）用含的代数式表示线段的长．（2）当点落在边上时，求的值．（3）当点在线段上运动时，连结，若为钝角三角形，求的取值范围．（4）当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）2；（3）或；（4）或或【详解】（1），，当点在线段上时，，当点在线段上时，，综上所述：；（2）如图1，四边形是平行四边形，，，，，点是的中点，，，，，；（3）如图2，当时，同理（2）得：，，当时，是钝角三角形，当，，，，，，，当时，是钝角三角形，综上所述：或；（4）如图3，当点到和距离相等时，点在的平分线上，，，，，，，，如图4，当点到和的距离相等时，点在的平分线上，，，，，，，，，，，如图5，当点到线段和的距离相等时，即：点在的平分线上时，作，，，设，则，，，，，，，，，，综上所述：或或．31．（2022•二道区模拟）如图，在中，，．点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点时，点停止1秒，然后继续运动．分别连结、．设点的运动时间为秒．（1）求点与之间的距离；（2）当时，求的值；（3）当为钝角三角形时，求的取值范围；（4）点关于直线的对称点是点，连结，当线段与的某条边平行时，直接写