专题03因式分解(专项培优训练)(学生版+解析)

专题03因式分解（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.55姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分评卷人得分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2023春•杭州期末）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） B．x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y） C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 D．x2+x﹣2＝（x﹣2）（x+1）2．（2分）（2023春•宣汉县校级期末）若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．（2分）（2021秋•郸城县期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）4．（2分）（2021•花溪区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b5．（2分）（2020•河北模拟）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×10176．（2分）（2017秋•杨浦区校级期末）已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最大值是（）A．20 B．30 C．32 D．37评卷人得分二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）（2022秋•大渡口区校级期末）表示一个三位正整数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且a＞b＞c，当a﹣b＝b﹣c时，称为递减数，如630，765，642等均为递减数，如果一个递减数三个数字的和是6的倍数，这样的递减数有个．8．（2分）（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．9．（2分）（2022春•白银期末）分解因式：4x2﹣12xy+9y2＝．10．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级月考）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积再减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab﹣（a+b）＝c，则称这个三位数为“2020”数．例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3﹣（2+3）＝1，所以231是“2020”数；材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除．例如三位数108的各数位上的数字和为：1+0+8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除．根据材料1和2，则小于600且能被9整除的“2020”数为．11．（2分）（2022秋•惠阳区月考）分解因式：a2+ax﹣b2+bx＝．12．（2分）（2021秋•西湖区校级月考）已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝；x3﹣2x2﹣2x+9＝．13．（2分）（2019秋•浦东新区校级期中）对于任意正整数n，整式n3+（n+1）3+n2﹣（n+1）2的值一定是的倍数（填最大的正整数）14．（2分）（2023•龙岩模拟）若非零实数m，n满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，则m3﹣mn+n3的值等于．15．（2分）（2022秋•上杭县期末）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数：若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[1.5]＝0.5，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+2，则代数式（b﹣a）2﹣3a+3b的值为．16．（2分）（2022秋•武冈市期末）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．17．（2分）（2022•天山区校级一模）分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝．18．（2分）（2021秋•无锡期末）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝．评卷人得分三．简答题（共6小题，满分28分）19．（4分）（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．20．（8分）（2022秋•海淀区校级期末）分解因式：（1）8a3b2+28ab3c；（2）a4﹣64；x2+（2a+3）x+（a2+3a）；（4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8．21．（4分）（2022秋•商水县期末）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．22．（3分）（2021秋•奉贤区期末）分解因式：a2﹣b2+2a2b﹣2ab2．23．（4分）（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．24．（5分）（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．评卷人得分四．解答题（共6小题，满分30分）25．（6分）（2022秋•丰都县期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．26．（6分）（2022秋•上海期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：（1）4x4+1；（2）x4+x2+1．27．（6分）（2022秋•莲湖区期末）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务．任务一：自主探究定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．（1）填空：﹣6与8是关于的“平衡数”．任务二：合作交流（2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．28．（6分）（2022秋•长宁区校级期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3．解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1），此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：4a2+4a﹣15．29．（6分）（2021秋•泗阳县期末）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：×3，2﹣．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．（1）下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是．①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．30．（6分）（2020秋•北碚区校级期中）材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数．正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．根据材料，完成下列问题：（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为．（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．

专题03因式分解（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.55一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2023春•杭州期末）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） B．x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y） C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 D．x2+x﹣2＝（x﹣2）（x+1）解：A．∵x2﹣2xy＝x（x﹣2y），∴计算正确，故此选项不符合题意；B．∵x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y），∴计算正确，故此选项不符合题意；C．∵4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴计算正确，故此选项不符合题意；D．∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），∴计算错误，故此选项符合题意；故选：D．2．（2分）（2023春•宣汉县校级期末）若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．3．（2分）（2021秋•郸城县期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．4．（2分）（2021•花溪区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b解：由图形可知，，，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故选：B．5．（2分）（2020•河北模拟）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452＝（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）＝1.1111111×1017．故选：D．6．（2分）（2017秋•杨浦区校级期末）已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最大值是（）A．20 B．30 C．32 D．37解：mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，（m﹣3）（n﹣2）＝26，∵m，n均为正整数，∴或或或，解得或或或，m+n＝32或m+n＝20或m+n＝20或m+n＝32，故m+n的最大值是32．故选：C．二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）（2022秋•大渡口区校级期末）表示一个三位正整数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且a＞b＞c，当a﹣b＝b﹣c时，称为递减数，如630，765，642等均为递减数，如果一个递减数三个数字的和是6的倍数，这样的递减数有10个．解：设此三位数为，由题意可得：9≥a＞b＞c≥0，a﹣b＝b﹣c，a+b+c＝6n，其中a，b，c，n为正整数，由a﹣b＝b﹣c可得，a+c＝2b，则a+b+c＝3b＝6n，即b＝2n，则b的取值为2，4，6，8，当b＝2时，c的取值为0，1，当c＝0时，可得a＝4，三位数为420，符合题意；当c＝1时，可得a＝3，三位数为321，符合题意；当b＝4时，c的取值为0，1，2，3，当c＝0时，可得a＝8，三位数为840，符合题意；当c＝1时，可得a＝7，三位数为741，符合题意；当c＝2时，可得a＝6，三位数为642，符合题意；当c＝3时，可得a＝5，三位数为543，符合题意；当b＝6时，c的取值为0，1，2，3，4，5，当c＝0时，可得a＝12，不符合题意；当c＝1时，可得a＝11，不符合题意；当c＝2时，可得a＝10，不符合题意；当c＝3时，可得a＝9，三位数为963，符合题意；当c＝4时，可得a＝8，三位数为864，符合题意；当c＝5时，可得a＝7，三位数为765，符合题意；当b＝8时，a＝9，则c＝7，三位数为987，符合题意；综上，这样的递减数有10个，故答案为：10．8．（2分）（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．9．（2分）（2022春•白银期末）分解因式：4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2．解：原式＝（2x﹣3y）2．故答案为：（2x﹣3y）2．10．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级月考）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积再减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab﹣（a+b）＝c，则称这个三位数为“2020”数．例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3﹣（2+3）＝1，所以231是“2020”数；材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除．例如三位数108的各数位上的数字和为：1+0+8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除．根据材料1和2，则小于600且能被9整除的“2020”数为297，333，369．解：设三位自然数是“2020”数，且能被9整除，则ab﹣（a+b）＝c，∴ab＝a+b+c＝9n（n为整数），∴小于600且能被9整除的“2020”数为：297，333，369．11．（2分）（2022秋•惠阳区月考）分解因式：a2+ax﹣b2+bx＝（a+b）（a﹣b+x）．解：原式＝（a2﹣b2）+（ax+bx）＝（a+b）（a﹣b）+x（a+b）＝（a+b）（a﹣b+x）．故答案为：（a+b）（a﹣b+x）．12．（2分）（2021秋•西湖区校级月考）已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝2；x3﹣2x2﹣2x+9＝8．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2（x2﹣3x）＝﹣2×（﹣1）＝2，x3﹣2x2﹣2x+9＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9＝﹣x+（﹣1）+x+9＝8，故答案为：2，8．13．（2分）（2019秋•浦东新区校级期中）对于任意正整数n，整式n3+（n+1）3+n2﹣（n+1）2的值一定是6的倍数（填最大的正整数）解：n3+（n+1）3+n2﹣（n+1）2＝n2（n+1）+（n+1）3﹣（n+1）2＝（n+1）（n2+n2+2n+1﹣n﹣1）＝（n+1）（2n2+n）＝n（n+1）（2n+1），∵n是任意正整数，∴n（n+1）（2n+1）的因式中必有一个2的倍数，一个3的倍数，∴整式n3+（n+1）3+n2﹣（n+1）2的值一定是6的倍数．故答案为：6．14．（2分）（2023•龙岩模拟）若非零实数m，n满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，则m3﹣mn+n3的值等于﹣．解：∵非零实数m，n满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，∴m2﹣n2＝n+2023﹣m﹣2023，（m﹣n）（m+n）＝（m﹣n），∴m+n＝﹣，∴m3﹣mn+n3＝m（n+2023）﹣mn+n（m+2023）＝mn+2023m﹣mn+mn+2023n＝2023（m+n）＝2023×（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．15．（2分）（2022秋•上杭县期末）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数：若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[1.5]＝0.5，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+2，则代数式（b﹣a）2﹣3a+3b的值为4．解：根据题意得，a﹣1＝b+1+2，则b﹣a＝﹣4，∴（b﹣a）2﹣3a+3b＝（b﹣a）2+3（b﹣a）＝16﹣12＝4，故答案为：4．16．（2分）（2022秋•武冈市期末）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝7．解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．17．（2分）（2022•天山区校级一模）分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．解：原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2＝[（x+y）﹣（xy+1）]2＝（x+y﹣xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．故答案为（x﹣1）2（y﹣1）2．18．（2分）（2021秋•无锡期末）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝2022．解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，∴原式＝x2（x+2）﹣x+2020＝（2﹣x）（2+x）﹣x+2020＝4﹣x2﹣x+2020＝2024﹣（x2+x）＝2024﹣2＝2022，故答案为：2022．三．简答题（共6小题，满分28分）19．（4分）（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．20．（8分）（2022秋•海淀区校级期末）分解因式：（1）8a3b2+28ab3c；（2）a4﹣64；（3）x2+（2a+3）x+（a2+3a）；（4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8．解：（1）原式＝4ab2（2a2+7bc）；（2）原式＝（a2+8）（a2﹣8）＝（a2+8）（a+2）（a﹣2）；（3）原式＝（x+a）（x+a+3）；（4）原式＝（4x2+4xy+y2）+（12x+6y）+8＝（2x+y）2+6（2x+y）+8＝（2x+y+2）（2x+y+4）．21．（4分）（2022秋•商水县期末）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，∴6＝4+2xy，∴xy＝1；（2）x3y﹣3x2y2+xy3＝xy（x2﹣3xy+y2），∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝1×（6﹣3）＝3．22．（3分）（2021秋•奉贤区期末）分解因式：a2﹣b2+2a2b﹣2ab2．解：原式＝（a2﹣b2）+（2a2b﹣2ab2）＝（a+b）（a﹣b）+2ab（a﹣b）（3分）＝（a﹣b）（a+b+2ab）（3分）．23．（4分）（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．解：∵②3a2﹣8b+c＝0，∴c＝8b﹣3a2，∵a+b2﹣2c﹣2＝0，即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，∵a为正整数，∴a＝3，可得b＝5或11，c＝13或61，∴abc的最小值为3×5×13＝195．24．（5分）（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．四．解答题（共6小题，满分30分）25．（6分）（2022秋•丰都县期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．解：（1）513是博雅数，427不是博雅数，∵5×2+1+3＝14，14能被7整除．∴513是博雅数．∵4×2+2+7＝17，17不能被7整除．∴427不是博雅数．（2）由题意可设这样的“博雅数”为：，则1≤a≤3．∴＝1+．∵“博雅数”能被7整除，∴为整数．又∵1≤a≤3，1≤b≤9且a，b为整数．∴或．综上，这样的博雅数共有3个，它们分别是716，823，937．26．（6分）（2022秋•上海期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：（1）4x4+1；（2）x4+x2+1．解：（1）4x4+1＝4x4+4x2+1﹣4x2＝（2x2+1）2﹣4x2＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；（2）x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．27．（6分）（2022秋•莲湖区期末）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务．任务一：自主探究定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．（1）填空：﹣6与8是关于2的“平衡数”．任务二：合作交流（2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．解：（1）﹣6+8＝2，故答案为：2；（2）a+b＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k＝﹣4kx+4x+8﹣2k，即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k，∵a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，∴k＝1，∴n＝8﹣2×1＝6．28．（6分）（2022秋•长宁区校级期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3．解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1），此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：4a2+4a﹣15．