爱提分中考复习 6一轮-统计与概率-第02讲 概率初步(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱概率初步知识精讲一．随机事件在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件．在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．二．概率的概念及意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。记为，且．三．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．例如：甲中有两个相同的小球和，乙中有相同小球、、，丙中有两个相同的小球、，从个口袋中随机地摸出一个球，所有可能情况用树状图表示如下：四．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．方法点拨复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合．三点剖析一．考点：概率及其意义，用列表法和树状图法求事件的概率．二．重难点：用列表法和树状图法求事件的概率．三．易错点：1．事件的判断；2．客观规律的判断；3．抛硬币时，正正反和正反正属于两种不同的情况；4．两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值．概率初步例题例题1、如图，有牌面数字都是2，3，4的两组牌．从毎组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．【答案】【解析】画树状图：∴共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为6的占三种，∴摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率==．例题2、甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为，，，．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？【答案】（1）；（2）；（3）锤子【解析】（1）若甲先摸，共有张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共张，故甲摸出石头的概率为；（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有张，故乙获胜的概率为；（3）若甲现摸出锤子，则甲获胜（即乙摸出石头或剪子）的概率为；若甲现摸出石头，则甲获胜（即乙摸出剪子）的概率为；若甲现摸出剪子，则甲获胜（即乙摸出布）的概率为；若甲现摸出布，则甲获胜（即乙摸出石头或锤子）的概率为；随练随练1、已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是．【答案】【解析】棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%，所以，P（绿色或棕色）=30%+20%=50%=．随练2、将分别标有数字，，的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求（抽到偶数）；（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好这个两位数是奇数的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）随机地抽取一张，所有可能出现的结果有个，每个结果发生的可能性都相等，其中卡片上的数字为偶数的结果有个．（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成的两位数为：、、、、、随练3、一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有，，，四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】【解析】画树状图，得因为共有种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率．随练4、一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数，试问：按这种方法能组成哪些位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．【答案】【解析】画树状图如下：共有9种等可能的结果数，即按这种方法能组成的两位数有33，34，35，43，44，45，53，54，55；其中十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数有45和54两个，∴P（十位与个位数字之和为9）=．随练5、已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Qn（2≤n≤7，n为整数），则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为____或____（从小到大依次填写）．【答案】（1）4（2）5【解析】a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，共12种取法，M（a，b）在直线x+y=n上，n的值也有12种情况，分别是2、3、3、4、4、4、5、5、5、6、6、7，则当Qn的概率最大时，即n的情况最多为4或5．故n的所有可能的值为4或5．随练6、2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦．也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．【答案】（1）不公平（2）即1＜x＜3时，对妹妹有利；x＞3时，对小明有利【解析】（1）根据题意得：妹妹去听讲座的概率为：=；小明去听讲座的概率为：=，∵＞，∴这个办法不公平；（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：；小明去听讲座的概率为：，∴当2x=3x-3，即x=3时，他们的机会均等；当2x＞3x-3，3x-3＞0．即1＜x＜3时，对妹妹有利；当2x＜3x-3，即x＞3时，对小明有利．随练7、我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序.两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？【答案】（1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共种可能．（2）小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大．【解析】（1）如答案所示（2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：顺序顺序优，中，差优，中，差优，中，差优，中，差优，中，差优，中，差小张优优中中差差小王差中优优优中由表格可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.随练8、将背面完全相同，正面分别写有数字﹣2、1、﹣4的三张卡片混合后，小峰从中随机抽取一张，把卡片上的数字作为积的一个因式．将形状、大小完全相同，分别标有数字﹣1、3、4的三个小球混合后，小华随机抽取一个，把小球上的数字作为积的另一个因式，然后计算这两个数的乘积．（1）请用列表法或画树状图的方法求出两个数的乘积是非负数的概率．（2）小峰和小华做游戏，规则是：若这两数的积是非负数，则小峰赢；否则小华赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由，如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．【答案】（1）第一次第一次﹣1﹣34﹣2（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣3）（﹣2，4）1（1，﹣1）（1，﹣3）（1，4）﹣4（﹣4，﹣1）（﹣4，﹣3）（﹣4，4）（2）不公平，若两个数的乘积是非负数，则小峰得4分，否则小华得5分．【解析】（1）列表法：第一次第一次﹣1﹣34﹣2（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣3）（﹣2，4）1（1，﹣1）（1，﹣3）（1，4）﹣4（﹣4，﹣1）（﹣4，﹣3）（﹣4，4）从上面的树状图或表格可以看出，共有9种结果可能出现，且每种结果出现的可能性相同，其中两个数的乘积是非负数的结果有5种，即（﹣2，﹣1），（﹣2，﹣3），（1，4），（﹣4，﹣1），（﹣4，﹣3）．∴P（乘积为非负数）=；（2）由（1）得P（乘积为负数）=，∵≠，∴不公平，我修改的游戏规则如下：若两个数的乘积是非负数，则小峰得4分，否则小华得5分．拓展拓展1、气象台预报“本市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法正确的是（）A.本市明天将有30%的地区降水B.本市明天将有30%的时间降水C.本市明天有可能降水D.本市明天肯定不降水【答案】C【解析】此题考查了概率的意义．此题比较简单，注意正确理解概率的含义是解决本题的关键．根据概率的意义求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．本市明天降水概率是30%是指明天降水的可能性问题，且可能性比较小，即本市明天有可能降水．故选C．拓展2、在一个口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中有3个黄球，1个黑球，1个白球，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率是______．【答案】【解析】∵口袋中有5个球，其中有3个黄球，∴摸到黄球的概率是：拓展3、一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【答案】（1）（2）9【解析】（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题意，得≥，解得：x≥，∵x为整数，∴x的最小正整数解是x=9．答：至少取走了9个黑球．拓展4、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（摸球次数（）摸到白球次数（）摸到白球的频率（）（1）请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）；（2）；；（3）黑球个，白球个．【解析】（1）根据题意可得当很大时，摸到白球的概率将会接近．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数个；黑球的个数个．拓展5、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】【解析】列表得（，）（，）（，）（，）（，）；（，）（，）（，）（，）（，）；（，）（，）（，）（，）（，）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是拓展6、一个不透明的盒子中有4个小球，小球上面分别标有数字0、1、2、3，每个小球除所标数字不同外其他都相同．小亮先从盒子中随机抽出一个小球，记下数字后不放回，并把其余的球搅匀；再从盒子中抽取一个小球记下数字后不放回，并把余下的球搅匀；再从盒子中随机抽出一个小球记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽出的小球上所标数字之积为偶数的概率．【答案】小亮两次抽出的小球上所标数字之积为偶数的概率为：．【解析】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，小亮两次抽出的小球上所标数字之积为偶数的有10种情况，∴小亮两次抽出的小球上所标数字之积为偶数的概率为：．拓展7、现有若干个完全相同的硬币（硬币的正、反面图案不同），按如下方式抛掷硬币：方式一：从中选取一枚硬币抛掷；方式二：从中选取两枚硬币抛掷；方式三：从中选取三枚硬币抛掷．请你在每一种抛掷方式中，各找出一种随机现象，使得这三种随机现象的概率相等（要求：概率不能为0或1），并说明理由．【答案】方式一：出现正面向上的概率与方式二：出现一正一反的概率和方式三：出现两个反面以上的概率相等．【解析】方式一：从中选取一枚硬币抛掷；出现正面向上的概率为：，方式二：从中选取两枚硬币抛掷，可能出现的情况为：正正，反反，正反，反正，出现一正一反的概率为：，方式三：从中选取三枚硬币抛掷，出现两个反面以上的概率为：．故方式一：出现正面向上的概率与方式二：出现一正一反的概率和方式三：出现两个反面以上的概率相等．拓展8、小明在学习反比例函数的图象时，他的老师要求同学们根据“探索一次函数y1=x+1的图象”的基本步骤，在纸上逐步探索函数y2=的图象，并且在黑板上写出4个点的坐标：A，B（1，2），C，D（﹣2，﹣1）．（1）在A、B、C、D四个点中，任取一个点，这个点既在直线y1=x+1又在双曲线y2=上的概率是多少？（2）小明从A、B、C、D四个点中任取两个点进行描点，求两点都落在双曲线y2=上的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）把A、B、C、