爱提分中考复习 5一轮-图形的变换-第03讲 图形的旋转(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱图形的旋转知识精讲旋转的基本知识旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．旋转的相关计算与证明旋转过程中的角度和线段计算问题主要是利用旋转的性质：旋转前后的两个图形是全等的，且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角来求解角度和线段长度．旋转过程中扫过的路径长度一般是一段弧的长度，面积一般是一个扇形的面积，所以解决问题的关键是找到路径所在圆或面积所在扇形的圆心，半径和圆心角，然后利用弧长公式或扇形面积公式来求解．旋转与全等三角形综合“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及． 已知,；可将绕点旋转，使与重合．旋转中的最值问题解决此类问题要从分析旋转过程中相关量之间的关系入手，尝试在变换中寻求不变的关系，并借助“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”寻找线段长度取得最值时的特殊位置，最后利用勾股定理等知识求得线段的长度．旋转与相似三角形综合方法点拨1．在几何综合题中，经常会遇见求解线段长度、角的度数或者是图形的面积问题，求解的过程除了直接利用几何图形的性质及勾股定理进行求解外，有时候还需要构造旋转图形，产生新的图形进行边和角的等量代换，并最终求出结果．2．构造旋转图形求线段长度主要是让所求线段在一个特殊的三角形中或者是直接通过等量代换找到与所求线段长相等的线段，最后利用相关知识求解．3．构造旋转图形求解角的度数或者是图形的面积主要是通过等量代换或者产生特殊角或特殊图形，然后再计算相应的角的度数或者图形的面积．三点剖析一．考点：旋转的基本知识，与旋转相关的证明与计算，旋转与全等三角形综合，旋转中的最值问题，旋转与相似三角形结合．二．重难点：动态问题一定要分析清楚运动的每个阶段点的轨迹或者是运动状态，计算出每一阶段的路径长度或扫过的面积，再按照题目要求求出最终结果．三．易错点：1．研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2．每一组对应点所构成的旋转角相等．旋转的基本知识例题例题1、不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.例题2、解不等式．例题3、以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰梯形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形例题4、如图，它可以看作“”通过连续平移3次得到的，看作“”绕中心旋转次，每次旋转度得到的．例题5、如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A.（-a，-b）B.（-a．-b-1）C.（-a，-b+1）D.（-a，-b-2）随练随练1、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_____________．与旋转相关的计算与证明例题例题1、试确定实数的取值范围，使不等式组恰有两个整数解．例题2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A.B.C.D.π例题3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为______________．随练随练1、解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．旋转与全等三角形综合例题例题1、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据____，易证△AFG≌____，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．随练旋转中的最值问题例题例题1、如图①，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接、．（1）试猜想线段和的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论．（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．若，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度（），当为最大值时，求的值．随练旋转与相似三角形综合例题例题1、如图，和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．（1）求证：；（2）若是边长可变化的等腰直角三角形，并将绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当为等腰直角三角形时，求出的值．AABCDEFG随练随练1、如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是____A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°随练2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A.5cmB.πcmC.πcmD.5πcm随练3、如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.随练4、在矩形ABCD中，点P在AD上，，，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：的大小是否发生变化？请说明理由．随练5、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，，．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当或60°时，_______MK（填“”，“”或“”）．②如图4，当时，_______MK（只填“”或“”）．（2）猜想：如图1，当时，_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．DBDBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBDBCAFEK图3(M)DBCAFEMK图4随练6、如图1，点为正方形的中心．（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，，，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值．图图1图2随练7、在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．随练8、如图，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设，（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD，如图2所示．求证：．（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示．求证：（3）在（2）的基础上，当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上．并直接写出的最小值．随练9、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=____；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为____度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．拓展拓展1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将绕点B逆时针旋转60°得到．若点B的坐标为，则点C的坐标为（）A.B.C.D.拓展2、有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少角度，所得到的图形都与原来的图形完全重合，这种几何图形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.圆拓展3、下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A.1个B.2个C.3个D.4个拓展4、解不等式．拓展5、如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A.πB.13πC.25πD.25拓展6、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为____；（2）点A1的坐标为____；（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为____．拓展7、(2013初二下期末清华大学附属中学)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝2，连接EP，当θ=_________°时，EP长度最大，最大值为___________．拓展8、如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为____A.（3，）B.（3，-）C.（，）D.（，-）拓展9、已知：等边中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且．（1）如图1，当时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．拓展10、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．拓展11、已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．拓展12、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？拓展13、在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，点M为线段AB的中点．（1）如图1，线段OM的长度为________________；（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式；（3）如图3，设点D、E分别在