黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学试卷

黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学试卷阅卷人一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)得分1．−1A．5 B．－5 C．15 D．2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．下列计算正确的是（）A．4a2+2a2=6a4 4．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（）A．6 B．7 C．8 D．9·6．如果关于x的分式方程1x−mA．m<1且m≠0 B．m<1C．m>1 D．m<1且m≠－17．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）A．12 B．13 C．148．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A． B．C． D．10．如图，二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(①ab>0；②a－b＝－2；③当x>1时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)⑤b的取值范围为1<b<4A．2 B．3 C．4 D．5阅卷人二、填空题(每小题3分，满分21分)得分11．共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为．12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝13．在函数y=13+x+1x+214．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm．15．如图，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S16．已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B'，把纸片展平，连接BB'，CB'，当△BC17．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A1，称点A1阅卷人三、解答题(本题共7道大题，共69分)得分18．（1）计算：4+|−4cos60°|−(π−5)0+(119．解方程：x220．为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)如下表：组别ABCD成绩(x/分)60≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人数(人)m94n16【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是°；（4）若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．21．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠CFB=2222．领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：（1）a＝米/秒，t＝秒；（2）求线段MN所在直线的函数解析式；（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米?(直接写出答案即可)23．综合与实践(本题满分12分)如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是；（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=2324．综合与探究(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线（1）求抛物线的解析式；（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；（4）在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小值为．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根据相反数的定义得，-15的相反数是15.

2．【答案】D【解析】【解答】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；选项D是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意；故答案为：D

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、4a2+2a2=6a2，A错误；

B、5a·2a=10a2，B错误；

C、a6÷a2=a4，C错误；

D、(-a2)2=a4，D正确.

故答案为：D.4．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵∠1=∠3=50°，

∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.

故答案为：B.

【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵该几何体左视图是由3个小正方形构成，俯视图是由4个小正方形构成，且小正方形的边长为1，

∴该几何体左视图与俯视图的面积和是7.

故答案为：B.

【分析】根据小正方体组合体的三视图判断出左视图和俯视图有几个小正方形，即可求解.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵1x-mx+1=0，

∴x+1-mx=0，

解得x=1m-1，

∵关于x的分式方程1x-mx+1=07．【答案】C【解析】【解答】解：设篮球、足球、排球、羽毛球分别为A、B、C、D，列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的结果有4种，

∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的概率为416=14.8．【答案】B【解析】【解答】解：设购买单价为8元的笔记本x本，购买单价为10元的笔记本y本，

根据题意，得8x+10y=200，

整理得y=20-45x，

∵x、y都是正整数，

∴x=5y=16或x=10y=12或x=15y=8或x=20y=4，9．【答案】A【解析】【解答】解：当正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积全部在等腰Rt△ABC内部时，可知y为正方形EFGH的面积，

∴随着E、F的运动，正方形EFGH的边长在增大，可知这一部分图像是开口向上的二次函数，CD不符合题意，

当正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积全部在正方形EFGH内部时，可知y为正方形EFGH面积的一部分，

∴随着E、F的运动，这一部分的长在增大，宽在减小，可知这一部分图像是开口向下的二次函数，B不符合题意.

故答案为：A.

【分析】先分类讨论：y为正方形EFGH的面积或y为正方形EFGH面积的一部分，再根据面积公式得y与x之间的函数关系.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口向下，

∴a<0，

∵根据函数图象可知对称轴在y轴右边，

∴-b2a>0，

∴b>0，

∴ab<0，①错误；

∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，

∴a-b+2=0，

∴a-b=-2，②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，其中2<x1<3，

∴12<x1-12<1，即12<-b2a<1，

∵二次函数图象开口向下，

∴当x>1时，y随x的增大而减小，③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，

∴关于x的方程ax2+bx+2=0(a≠0)的两个根分别为x=-1或x=x1，

∴-1·x1=2a，

∴x1=-2a，④正确；

∵a-b=-2，

∴a=b-2，

∴y=(b-2)x2+bx+2，

根据二次函数图象可知，当x=2时，y>0，当x=3时，y＜0，

∴4b-2+2b+2>09b-2+3b+2<011．【答案】7【解析】【解答】解：7416.7万=74167000=7.4167×107.

故答案为：7.4167×107.

【分析】根据科学记数法的定义即可求解.12．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意，得OH平分∠MON，

∵∠MON=90°，

∴∠MOH=45°，

∵H(2a-1，a+1)，

∴2a-1=a+1，

∴a=2.

故答案为：2.

【分析】根据题意得ON平分∠MON，从而根据角平分线的定义得∠MON=45°，进而有2a-1=a+1，解方程求出a即可.13．【答案】x>-3且x≠-2【解析】【解答】解：根据题意，得3+x>0x+2≠0，

解得x＞-3且x≠-2.

故答案为：x>-3且x≠-2.

14．【答案】15【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为xcm，

∵圆锥的侧面展开图的圆心角是直角，

∴侧面展开图扇形的弧长为90πx180，

∵圆锥的底面圆半径是1，

∴圆锥的底面圆周长为2π，

∴90πx180=2π，

∴x=4，

根据勾股定理得圆锥的高为42-15．【答案】-6【解析】【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，

根据题意得AD垂直y轴，

∵B(-1，3)，

∴D(0，3)，

∴OD=3，

∵S▱ABCO=3，

∴OC·OD=3OC=3，

∴OC=1，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=OC=1，

∴A(-2，3)，

∵点A在反比例函数y=kx上，

∴k=-6.

16．【答案】32【解析】【解答】解：如图，当∠BCB'=90°时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，

∴∠C=∠BCB'=90°，

∴点B'在CD上，

∵折叠的性质，

∴AB'=AB=5，BP=B'P，

∴根据勾股定理得DB'=AB'2-AD2=52-42=3，

∴B'C=CD-DB'=5-3=2，

设CP=x，则BP=B'P=4-x，

在Rt△B'CP中，根据勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，

解得x=32，即CP=32；

如图，当∠BB'C=90°时，

∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，

∵折叠的性质，

∴B'P=BP，

∴∠BB'P=∠B'BP，

∴∠CB'P=∠B'CP，

∴B'P=CP，

∴B'P=BP=CP，

∵BC=BP+CP=4，

∴2CP=4，

∴CP=2；

当∠B'BC=90°时，

∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，

∴∠B'BC≠90°，

综上所述，线段CP的长为32或2.

故答案为：3217．【答案】(1349+674【解析】【解答】解：如图，连接A1B，

∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，

∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，

∴A1O=A1C'，

∴A1B垂直平分OC'，

∴∠A1BO=90°，

∵B(1，0)，

∴OB=1，

∵tan∠A1OB=tan30°=A1BOB=A1B1=33，

∴A1B=33，

∴A11，33，

同理可得A23+3，33，A35+23，33，…，An2n-1+n-118．【答案】（1）解：原式=2+-4×（2）解：原式=2a(a【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂进行化简，最后再进行加减运算即可；

（2）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.19．【答案】解：x(x−2)(x−3)=0x1=2【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.20．【答案】（1）50；40（2）解：如图所示；（3）72（4）解：∵94÷47%＝200（人），

∴40+16200×2000=560（人），

【解析】【解答】解：（1）根据题意，得随机抽取的学生总人数为94÷47%=200（人），

∴m=200×25%=50（人），

∴n=200-50-94-16=40（人），

故答案为：50，40；

（3）360°×40200=72°，

故答案为：72.

【分析】（1）先根据B组人数及所占百分比求出随机抽取的学生总人数，再用总人数乘A组的百分比求出m的值，最后用总人数减去A、B、D组的人数得C组的人数；

（2）由（1）求出的m、n的值补全条形统计图即可；

21．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB，∴∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，∵OB，OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠EBC＝∠OCB，

∴OC//BE，

∴∠FCO＝∠BEC＝90°，

∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵sin∠CFB=22，由(1)得∠FCO＝90°，

∴∠FOC＝90°－∠CFB＝45°，∵CD⊥AB，

∴∠CDO＝90°，

∴∠OCD=45°，

∴∠FOC=∠OCD，

∴CD=DO，∵AB＝8，

∴OC=1在Rt△COD中，CD2+DO2=OC2，

∴2CD2=42，

∴CD2=8，∴S扇形AOC∴S阴影【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得∠CDB＝90°，然后根据折叠的性质得∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OCB＝∠OBC，从而有∠EBC＝∠OCB，进而证出OC∥BE，根据“两直线平行，同位角相等”得∠FCO＝∠BEC＝90°，最后根据切线的判定定理得证；

（2）根据特殊角的三角函数值得∠CFB＝45°，从而得∠FOC=45°，再根据垂直的定义得∠CDO=90°，从而得∠OCD=45°，进而有CD=DO.接下来先求出半径OC，利用勾股定理求出CD2，然后利用三角形面积公式得S△OCD的值，再利用扇形面积公式求出S扇形AOC22．【答案】（1）8；20（2）解：由图象可知，N(19，96)，∵甲无人机的速度为8米/秒，∴甲无人机匀速上升从0米到96米所用时间为96÷8＝12(秒)，∴甲无人机单独表演所用时间为19-12＝7(秒)，∴6＋7＝13(秒)，

∴M(13，48)，设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将M(13，48)，N(19，96)代入得：48=13k+b96=19k+b，

解得：k=8∴线段MN所在直线的函数解析式为：y＝8x-56；（3）解：两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.【解析】【解答】解：（1）根据题意，得甲无人机的飞行速度为a=48÷6=8（米/秒），

t=39-19=20（秒），

故答案为：8，20；

（3）设点A（0，20），B（6，48），

∴同理可得线段OB所在直线的函数解析式为yOB=8x，yAN=4x+20，yBM=48，

∵线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x-56，

∴当0≤t≤6时，|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解得x=2或x=8（舍去），

当6<t≤13时，|yBM-yAN|=|48-4x-20|=12，解得x=10或x=4（舍去），

当13<t≤19时，|y-yAN|=|8x-56-4x-20|=12，解得x=16或x=22（舍去），

∴两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.

【分析】（1）观察函数图象进行计算即可求解；

（2）先求出甲无人机单独表演的时间，从而得点M的坐标，最后用待定系数法求线段MN所在直线的函数解析式即可；

（3）设点A（0，20），B（6，48），然后利用待定系数法先求线段OB、AN、BM所在直线的函数解析式，再通过观察函数图象可知要分三种情况讨论：当0≤t≤6时，有|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解方程求出x的值；当6<t≤13时，有|yBM-yAN|=|48-4x-20|=12，解方程求出x的值；当13<t≤19时，有|y-yAN|=|8x-56-4x-20|=12，解方程求出x的值，即可求解.23．【答案】（1）AB＝DE（2）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，

∴BC=BD，∠CBD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∵∠A=90°，

∴∠CBA+∠ACB=90°，

∴∠DBE=∠ACB，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠A=∠DEB，

在△ABC和△EDB中，

∠A=∠DEB∠ACB=∠DBEBC=BD，

∴∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝2，AC＝6，

∴DE＝2，BE＝6，∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，∵∠DEB＋∠A＝180°，∴DE//AC，

∴△DEF∽△CAF，∴DEAC=EFFA，∴EF＝4，

∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，∴S△BDF（3）913（4）解：线段AP的长度为1811或54【解析】【解答】解：（1）∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，

∴BC=BD，∠CBD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∵∠A=90°，

∴∠CBA+∠ACB=90°，

∴∠DBE=∠ACB，

∵DE⊥AB，

∴∠E=90°，

∴∠A=∠E，

在△ABC和△EDB中，

∠A=∠E∠ACB=∠DBEBC=BD，

∴△ABC≅△EDBAAS，

∴AB=DE，

故答案为：AB=DE；

（3）如图，过点N作NM⊥AE于M，

∴∠NME=∠NMB=90°，

∵∠A=90°，

∴∠NME=∠NMB=∠A，

∴AC∥NM，

∴△NME~△CAE，

∴MNAC=MEAE，即MN6=ME8，

∴ME=43MN，

由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，

∴MN∥DE，

∴△MBN~△EBD，

∴MNDE=BMBE，即MN2=6-43MN6，

解得MN=1813，

又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，

∴△ACB~△MBN，

∴BNBC=MNAB=18132=913；

故答案为：913

（4）如图，当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，

∴∠PQC=∠PQB=90°，

∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，

∴tan∠ABC=tan∠