高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练

高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练班级姓名座号1．正弦定理:或变形：.2．余弦定理：或 .3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边和一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用中，以和由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：.表一：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。两边和一边的对角(如a、b、A)正弦定理具体情况见表二两边和夹角(如a、b、C)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C在有解时只有一解。表二：已知三角形两边和其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解基础达标：1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定2．在△ABC中，若，则∠A的度数是A.30°B.45°C.60°D.75°3．ΔABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=A.60B.45C.120D.304．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为A.90°B.120°C.135°D.150°5.在△ABC中，已知，，B=45.求A、C和c.6．在中，若，，，求.7．在中，若，求.能力提升：8．锐角ΔABC中，若C=2B，则的取值范围是A.(0，2)B.C.D.9.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为A.10.等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为A.B.C.D.11．在中，已知三边、、满足，则＝A．B．C．D．12．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）。A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、613．在ΔABC中，BC=3，AB=2，，则∠A=_______.14.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则15.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a，c长为_____.综合探究：16．已知钝角的三边为：,,,求实数的取值范围.17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明:.、13周周练参考答案：基础达标：1.B2.A3.C4.B5.解析：解法1：由正弦定理得：∴∠A=60或120当∠A=60时，∠C=75，；当∠A=120时，∠C=15，.6.∵，∴，∵，∴或∴当时，；当时，，；所以或．7.∵，∴由余弦定理的推论得：∵，∴.能力提升：8.C9.A10.C11.D．由，得∴由余弦定理的推论得：，∵，∴.12.B；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。选项A不能构成三角形；选项B中最大角的余弦值为，故该三角形为钝角三角形；选项C中最大角的余弦值为：，故该三角形为直角三角形；选项D中最大角的余弦值为，故该三角形为锐角三角形.13.12014.15.6,10综合探究：16.∵中边,,，∴，且边最长，∵为钝角三角形∴当C为钝角时∴，∴,即∴,解得,又由三角形两边之和大于第三边：,得