高一数学必修第一章空间几何体知识点

第一章空间几何体1.1空间几何体的构造1.多面体及旋转体：〔1〕由假设干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱及棱的公共点叫做多面体的顶点.〔2〕由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.2.棱柱：〔1〕有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面〔简称底〕，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面及底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.〔2〕侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。〔3〕棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱及底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。〔4〕底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱及底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。〔5〕棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是及底面全等的多边形。3.棱锥：〔1〕有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.〔2〕底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点及底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。〔3〕棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.〔4〕棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于顶点到截面间隔及高的比的平方.〔5〕正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱及底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面及底面所成的二面角都相等。4.圆柱及圆锥：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.5.棱台及圆台：〔1〕用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.〔2〕棱台的性质：两底面所在平面相互平行；两底面是对应边相互平行的相像多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.〔3〕圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；随意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.〔4〕棱台及圆台统称为台体.：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.7.简洁组合体：由简洁几何体〔如柱、锥、台、球等〕组合而成的几何体叫简洁组合体.【常见题型】1．如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且全部侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题有〔D〕个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．圆锥底面半径为１，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．SDEOC1CFDSDEOC1CFD1过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体对角面1C1，如下图.设正方体棱长为x，则1，C1D1.作于O，则，1，，∴，即.∴，即内接正方体棱长为1.2空间几何体的三视图和直观图1.中心投影及平行投影：〔1〕光由一点向外散射形成的投影称为中心投影.〔2〕在一束平行光线照耀下形成的投影，称为平行投影.〔3〕平行投影依据投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种.2.柱、锥、台、球的三视图：〔1〕三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．〔2〕三视图的几何作用：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.3.直观图：“直观图〞最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出程度放置的直观图，其本质就是在坐标系中确定点的位置的画法.根本步骤如下：〔1〕建系：在图形中取相互垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.〔2〕平行不变：图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.〔3〕长度规则：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.留意：1.“视图〞是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面对后投影所得的投影图成为“正视图〞，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图〞，自上向下投影所得的图形称为“俯视图〞.用这三种视图即可刻划空间物体的几何构造，称为“三视图〞.2.画三视图之前，先把几何体的构造弄清晰，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧〔和右侧〕、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象实力.在绘制三视图时，分界限和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来．3.三视图中反响的长、宽、高的特点：“长对正〞，“高平齐〞，“宽相等〞．4.空间几何体的三视图及直观图有亲密联络.三视图从细微环节上刻画了空间几何体的构造，依据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用〔零件图纸、建筑图纸〕.直观图是对空间几何体的整体刻画，依据直观图的结设想象实物的形象．【常见题型】1．如图，图〔1〕是常见的六角螺帽，试画出它的三视图.【解】分析：画三视图之前，先把几何体的构造弄清晰，确定一个正前方，从三个不同的角度进展视察.在绘制三视图时，分界限和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.图〔1〕为圆柱和正六棱柱的组合体.从三个方向视察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下列图所示.2．画棱长为4的正方体的直观图.【解】分析：依据斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画棱，再画上底面.〔1〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在的直角三角形中取直角边所在的直线为x轴，及垂直的直线为y轴，画出对应的轴和轴，使.第二步，在轴上取，过作轴的平行线，取.第三步，连接，即得到该直角三角形的直观图.〔2〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作程度放置的正方形的直观图，使.第二步，过A作轴，使.分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图.1.3空间几何体的外表积及体积1.3.1柱体、锥体、台体的外表积及体积1.圆柱：侧面绽开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高〔母线〕，2，2，其中为圆柱底面半径，为母线长；.2.圆锥：侧面绽开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面绽开图扇形中心角为，，，其中为圆锥底面半径，为母线长.S为底面面积，h为高〕3.圆台：侧面绽开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面绽开图扇环中心角为，，.〔S，分别上、下底面积，h为高〕→〔r、R分别为圆台上底、下底半径〕4．柱、锥、台的外表积及体积的计算公式的关系外表积相关公式外表积相关公式棱柱圆柱〔r：底面半径，h：高〕棱锥圆锥〔r：底面半径，l：母线长〕棱台圆台〔r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长〕体积公式体积公式棱柱圆柱棱台棱锥圆锥圆台5．柱、椎、台之间，可以看成一个台体进展改变，当台体的上底面渐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面渐渐扩展到及下底面全等时，它就成了柱体.因此体积会有以下的关系：.【常见题型】1．圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.【解】设圆台的母线长为，则，圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，于是，即为所求.2．一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积是.【解】解析：长方体的长宽高分别为，求出的值，再求体积.设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为61.3.2球的体积和外表积1.球的体积是对球体所占空间大小的度量，它是球半径的函数，设球的半径为，则球的体积2.球的外表积是对球的外表大小的度量，它也是球半径的函数，设球的半径为，则球的外表积为，它是球的大圆面积的4倍3.用一个平面去截球，所得到的截面是一个圆.【常见题型】1．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，假如，则球的外表积是A.B.C.D.【解】如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，及平面垂直，是棱锥的高，，，，所以，解得2，则球的外表积是，选D.2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，假设正方体棱长为，求球的外表积和体积．【解】分析：作出轴截面，利用勾股定理求解.作轴截面如下图，，，设球半径为，则∴，∴，．练习题一、选择题1有一个几何体的三视图如下列图所示，这个几何体应是一个()A棱台B棱锥C棱柱D都不对2棱长都是的三棱锥的外表积为〔〕ABCD3长方体的一个顶点上三条棱长分别是，它的个顶点都在同一球面上，这个球的外表积是〔〕ABCD都不对4正方体的内切球和外接球的半径之比为〔〕ABCD5一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的外表积是〔〕ＡＢＣＤ6圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为〔〕AＢＣＤ7下列图是由哪个平面图形旋转得到的〔〕〔2〕〔3〕〔4〕A〔1〕B〔2〕C〔3〕D〔4〕8在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是〔〕ABCD9圆柱及圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则〔〕ABCD10假如两个球的体积之比为,则两个球的外表积之比为()ABCD11有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位〕，则该几何体外表积及体积为：〔〕665A，B，C，D以上都不正确12正方体的全面积为182，则它的体积是〔〕A43；B83；C3；D33。填空题13假设三个球的外表积之比是，则它们的体积之比是14一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体的对角长是；假设长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为15中，，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为16等体积的球和正方体,它们的外表积的大小关系是17图〔1〕为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成;图〔2〕中的三视图表示的实物为图〔2图〔2〕图〔1〕18假设圆锥的外表积为平方米，且它的侧面绽开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为19球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的倍20一个直径为厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升厘米则此球的半径为厘米21棱台的上下底面面积分别为4、16，高为3,则该棱台的体积为三、解答题22将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的外表积和体积23有一个正四棱台形态的油槽，可以装油，假设它的两底面边长分别等于和，求它的深度为多少？24圆台的上下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长25如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的外表积及体积参考答案一、选择题1A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以推断是棱台2A因为四个面是全等的正三角形，则3B长方体的对角线是球的直径