专题8 构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (人教A版2019)

专题8构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学-导数中的构造法应用

2.教学年级和班级：2023-2024学年，高中二年级（1班）

3.授课时间：2023年11月3日，第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）

教学内容：

-课程标准：依据人教A版2019年高中数学选择性必修第二册，讲解导数中的构造法应用。

-教学目标：让学生掌握构造法的基本概念，能够运用构造法解决导数相关问题。

-教学重点：构造法的原理及应用。

-教学难点：如何灵活运用构造法解决实际问题。核心素养目标-逻辑推理：通过讲解构造法的原理，培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用逻辑推理的方式解决问题。

-数学建模：通过实例分析，让学生学会如何运用构造法建立数学模型，提高其数学建模能力。

-数学运算：通过对构造法的练习，提高学生的数学运算能力，使其能够熟练运用构造法解决导数问题。

-直观想象：通过图形演示和实例分析，帮助学生建立直观的数学想象，使其能够更好地理解构造法的应用。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了导数的基本概念、计算方法以及应用。他们应该能够理解导数的几何意义和函数单调性之间的关系。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生的学习兴趣可能主要集中在解决实际问题和探索数学的巧妙解法上。他们在数学上的能力层次不一，有的可能擅长逻辑推理，有的可能擅长直观想象。在学习风格上，有的学生可能偏好通过练习来巩固知识，有的则可能更喜欢通过讨论和思考来理解新概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解构造法的抽象概念上，学生可能会遇到理解上的困难。此外，将构造法应用到复杂导数问题中，可能会对学生提出更高的要求。学生可能需要时间来适应这种新的解题方法，并将其与已有的知识体系相结合。教学方法与策略

2.设计具体的教学活动：首先，通过一个简单的导数问题引导学生思考构造法的概念。接着，分组进行案例研究，让学生尝试解决更复杂的导数问题，并分享各自的解题思路。最后，组织全班讨论，总结构造法的关键步骤和应用技巧。

3.确定教学媒体使用：在讲授构造法原理时，使用PPT展示相关的图形和示例，以增强学生的直观理解。在案例研究环节，引导学生使用数学软件或板书来进行计算和绘图，以便更好地探索构造法的应用。教学过程1.导入新课

大家好，今天我们来学习一个新的数学方法——构造法，在导数中的应用。同学们先回顾一下，我们已经掌握了导数的哪些知识？好的，我看到大家已经准备好了。那么，我们就开始今天的课程吧。

2.知识讲解

首先，我要给大家讲解一下构造法的原理。构造法是解决导数问题的一种重要方法，它主要是通过构建一个新的函数，使得原来的问题变得简单易解。接下来，我会给大家展示一个简单的例子，让大家感受一下构造法的魅力。

例1：求函数f(x)=x^3-3x的导数。

解析：我们可以通过构造一个新函数g(x)=x^3-3x+1，然后利用导数的运算法则，求出g(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

讲解完毕，同学们理解了吗？如果有疑问，可以随时提出来。好的，大家都明白了，那我们就进行下一个环节。

3.案例研究

现在，我们来进行案例研究。请大家分成小组，尝试解决以下问题：

问题2：求函数f(x)=x^2-2x+1的导数。

请大家利用构造法，解决这个问题。计时开始，给大家10分钟的时间。

时间到了，哪个小组愿意分享一下你们的解题过程呢？好的，第三小组来说一下。

解析：我们可以构造一个新函数h(x)=x^2-2x+1+1，然后利用导数的运算法则，求出h(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

很好，第三小组的解答是正确的。其他小组有没有不同的解法呢？好的，第二小组来说一下。

解析：我们可以构造一个新函数k(x)=(x-1)^2，然后利用导数的运算法则，求出k(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

同样很好，第二小组的解答也是正确的。通过这个案例，我们可以看到，构造法在解决导数问题时的灵活性。好了，我们继续进行下一个环节。

4.全班讨论

现在，我们来进行全班讨论。请大家思考一下，构造法在解决导数问题时，有哪些需要注意的地方？

请大家积极发言，我们可以一起探讨。好的，第一位同学来说一下。

学生1：我觉得在构造新函数时，要确保新函数与原函数有一定的关系，这样才能通过新函数的导数来求解原函数的导数。

很好，同学1的发言很有道理。还有其他同学想补充的吗？

学生2：我觉得在运用构造法时，要灵活变换思维，有时候需要从多个角度去思考问题，才能找到合适的构造方法。

同样很好，同学2的观点也很重要。通过大家的讨论，我们可以更深入地理解构造法的应用。好了，我们继续进行下一个环节。

5.总结提升

今天我们一起学习了构造法在导数中的应用。同学们掌握了构造法的基本原理和应用技巧吗？请大家总结一下，我们今天学习了什么。

学生3：我们学习了构造法的基本原理，以及如何通过构造新函数来解决导数问题。

学生4：我们还通过案例研究和全班讨论，加深了对构造法的理解。

很好，同学们的总结都很到位。构造法是一种非常实用的数学方法，希望大家在今后的学习中，能够灵活运用构造法，解决更多的数学问题。今天的课程就到这里，同学们下节课见。知识点梳理1.构造法的基本概念

构造法是解决数学问题的一种方法，通过构建一个新的函数或数学对象，使得原来的问题变得简单易解。在导数中，构造法主要是通过构建一个新的函数，利用导数的运算法则，求出新的函数的导数，最后通过差分得到原函数的导数。

2.构造法在导数中的应用

构造法在导数中的应用主要体现在解决导数计算和导数应用问题。通过构造新的函数，可以使原来的导数问题转化为简单的导数计算问题，从而更容易求解。构造法在导数中的应用常见于求解复合函数的导数、求解隐函数的导数、求解参数方程的导数等问题。

3.构造法的关键步骤

构造法的关键步骤主要包括以下几个方面：

(1)理解原问题的具体条件和要求，确定需要构造的新函数。

(2)构建新的函数，使其与原函数有一定的关系，便于通过新函数的导数来求解原函数的导数。

(3)利用导数的运算法则，求出新函数的导数。

(4)通过差分或求解新函数的导数，得到原函数的导数。

4.构造法的应用技巧

构造法在解决导数问题时，需要灵活变换思维，从多个角度去思考问题。常见的构造方法包括：

(1)利用导数的几何意义，构建与原函数相关的几何图形，通过图形分析求解导数问题。

(2)利用导数的单调性，构建与原函数相关的单调性函数，通过单调性分析求解导数问题。

(3)利用导数的方程性质，构建与原函数相关的方程，通过求解方程来求解导数问题。

5.构造法在实际问题中的应用

构造法不仅在数学问题中有着广泛的应用，也在实际问题中发挥着重要的作用。例如，在物理学中，构造法可以用于求解物体的运动方程；在经济学中，构造法可以用于分析市场的供需关系。通过灵活运用构造法，可以更好地解决实际问题。教学评价与反馈1.课堂表现

在课堂中，同学们积极参与，表现出良好的学习态度。大部分同学能够认真听讲，及时提出疑问，并在课堂上完成相关练习。特别是在案例研究环节，同学们能够主动思考，积极探讨，展现出良好的团队合作精神。

2.小组讨论成果展示

在各小组的讨论中，同学们充分发挥自己的聪明才智，提出了多种解决问题的方法。大家在讨论中积极交流，分享解题思路，展现出良好的沟通能力和合作精神。各小组的讨论成果丰富多样，表明同学们对构造法的理解和应用已经达到了较高的水平。

3.随堂测试

在随堂测试中，同学们认真作答，大多数同学能够准确地运用构造法解决问题。测试结果显示，同学们在导数计算方面的掌握情况较好，但在解决实际问题时的应用能力仍有待提高。

4.学生自我评价

请同学们根据自己的学习情况，对他们在本次课程中的表现进行自我评价。同学们可以思考自己在课堂学习、小组讨论、随堂测试等方面的优点和不足，以便在今后的学习中进行改进。

5.教师评价与反馈

针对本次教学，教师对同学们的表现给予评价与反馈。首先，对于同学们在课堂上的积极参与和认真态度表示肯定。其次，针对小组讨论环节，鼓励同学们在今后的讨论中更加积极地发表自己的观点，提高自己的口头表达能力。最后，提醒同学们在解决实际问题时，要注意灵活运用构造法，并结合其他数学方法进行综合分析。希望同学们在今后的学习中不断进步，提高自己的数学素养。典型例题讲解例1：求函数f(x)=x^3-3x的导数。

解析：我们可以通过构造一个新函数g(x)=x^3-3x+1，然后利用导数的运算法则，求出g(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

答案：f'(x)=3x^2-3。

例2：求函数f(x)=x^2-2x+1的导数。

解析：我们可以构造一个新函数h(x)=x^2-2x+1+1，然后利用导数的运算法则，求出h(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

答案：f'(x)=2x-2。

例3：已知函数f(x)=x^3-3x，求函数的单调区间。

解析：我们可以构造一个新函数k(x)=f(x)+1，然后利用导数的单调性，求出k(x)的单调区间，最后通过差分得到f(x)的单调区间。

答案：f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。

例4：已知函数f(x)=x^2-2x+1，求函数的最小值。

解析：我们可以构造一个新函数m(x)=f(x)+1，然后利用导数的单调性，求出m(x)的最小值，最后通过差分得到f(x)的最小值。

答案：f(x)的最小值为-1。

例5：求函数f(x)=(x-1)^2的导数。

解析：我们可以构造一个新函数n(x)=(x-1)^2+1，然后利用导数的运算法则，求出n(x)的导数，最后通过差分得到f(x)的导数。

答案：f'(x)=2(x-1)。教学反思与总结在今天的教学中，我尝试运用了讲授、讨论、案例研究等多种教学方法，旨在帮助学生更好地理解和掌握构造法在导数中的应用。在课堂表现方面，大部分学生能够积极参与，认真听讲，并在小组讨论中积极发表自己的观点。这表明学生们对构造法的概念和应用有一定的理解，但在实际操作中，部分学生仍存在一些问题。

在小组讨论环节，学生们能够提出多种解决问题的方法，并能够通过团队合作来解决问题。这表明学生们在解决实际问题方面有一定的能力，但仍有部分学生需要进一步培养独立思考和解决问题的能力。

随堂测试结果显示，大部分学生能够准确地运用构造法解决问题，但在解决实际问题时的应用能力仍有待提高。这可能是因为学生们在理解构造法的基本概念和应用技巧方面还存在一些问题，需要进一步的教学和练习。

在自我评价环节，学生们能够认识到自己在课堂学习、小组讨论、随堂测试等方面的优点和不足。这表明学生们能够对自己的学习进行反思，并能够提出改进措施。

总体来说，今天的教学效果较好，学生们在知识、技能、情感态度等方面都有所收获和进步。但在教学过程中，我意识到还需要进一步改进教学方法和策略，以更好地帮助学生理解和掌握构造法在导数中的应用。

针对教学中存在的问题和不足，我提出了以下改进措施和建议：

1.加强对学生的引导，帮助学生更好地理解和掌握构造法的基本概念和应用技巧。

2.提供更多的实例和练习，帮助学生通过实际操作来理解和应用构造法。

3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的独立思考和解决问题的能力。

4.针对不同学生的学习情况，提供个性化的教学和辅导，帮助学生克服学习中的困难。内容逻辑关系②构造法在导数中的应用：构造法在导数中的应用主要体现在解决导数计算和导数应用问题。通过构造新的函数，可以使原来的导数问题转化为简单的导数计算问题，从而更容易求解。

③构造法的关键步骤：构造法的关键步骤主要包括以下几个方面：

-理解原问题的具体条件和要求，确定需要构造的新函数。

-构建新的函数，使其与原函数有一定