2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质教学设计

第2课时含30°角的直角三角形的性质教学目标课题13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质授课人素养目标1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.教学重点含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．教学难点含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图由熟悉的三角板引入课题.【情境引入】我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角．量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜.【教学建议】让学生测量后自由回答.活动二：观察猜想，探究求证设计意图结合等边三角形的知识推出含30°角的直角三角形的性质.探究点含30°角的直角三角形的性质如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB\之间的数量关系吗？问题1两个三角尺构成的图案，恰好是一个三角形吗？是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上．所以两个三角尺构成的图案恰好是一个三角形.问题2△ABD是不是等边三角形？说明理由.是．因为两个三角形尺全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形.问题3你能说说BC与AB的长度关系吗？BC＝eq\f(1,2)AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝eq\f(1,2)BD.因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝eq\f(1,2)AB.你还能用其他方法证明上面的结论吗？已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝eq\f(1,2)AB.证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝eq\f(1,2)AB.【教学建议】给学生强调，使用含30°角的直角三角形的性质时，其前提是在直角三角形中，不要忽视.这个结论的逆命题也是成立的，即直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°(教学中不必补充，对于学有余力的学生，可做适当介绍)..教学步骤师生活动归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【对应训练】1．教材P81练习．2.如图,∠AOB＝30°,点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于3.活动三：实际应用，加深理解设计意图例1与对应训练1是在实际场景中运用含30°角的直角三角形的性质，注意体会直角三角形中角与边的联系.设计意图利用例2与对应训练2补充应用场景，注意体会含30°角的直角三角形的性质的其他应用形式.例1(教材P81例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m).又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.例2如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.(1)求B处到灯塔C的距离；(2)已知在以灯塔C为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(nmile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.答：B处到灯塔C的距离为30nmile.(2)会有触礁的危险．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝15nmile.∵15<16，∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险.【对应训练】1.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DE＝2m，求AB的长.解：∵DE⊥AE，∠A＝30°，∴AD＝2DE.∵D是AB的中点，∴AB＝2AD＝4DE＝8m.2.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲，从正面看如图乙，已知AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离.【教学建议】通过例1与对应训练1给学生说明，在运用含30°角的直角三角形的性质时，斜边与直角边可以互相推出.【教学建议】通过例2与对应训练2给学生说明，有时直角三角形没有直接给出，需先作垂线构造直角三角形，再运用含30°角的直角三角形的性质．其中，根据点到直线的距离作垂线段是一种常见的考查形式.教学步骤师生活动解：如图乙，过点D作DE⊥AB于点E.∵AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，∴AD＝AO＋DO＝50＋40＝90(cm).∵AO＝BO，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝eq\f(180°－120°,2)＝30°.∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×90＝45(cm).又桌面与地面平行，∴可知桌面到地面的距离是45cm.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？【知识结构】【作业布置】1.教材P83习题13.3第15题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．教学反思在探究30°角所对的直角边与斜边的关系时，学生说理的方法比较多样化，在教学中对于这种现象，要尽可能地对学生进行肯定.解题大招一寻找隐含的30°角解题在运用含30°角的直角三角形的性质时，有时30°角题目中并没有直接给出，这时需仔细观察图形，找出隐藏的30°角．如，碰到等边三角形，则考虑60°角的余角为30°，或60°角平分后得到30°角；碰到底角为15°的等腰三角形，则考虑利用三角形外角的性质得到30°的角．例1如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，AB＝4.求CE的长．分析：根据等边三角形的性质得到CD的长，又由DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可进一步求得CE的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝4.∵D是AC的中点，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝2.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°－∠C＝30°.∴CE＝eq\f(1,2)CD＝1.例2如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，求证：AM＝2MN.分析：利用等边三角形的性质及△ABC“三线合一”的性质推知∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得出结论．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又M为BC的中点，∴∠BAM＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°.∵MN⊥AB，∴AM＝2MN.例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝13cm，求AC的长．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，∴AD＝BD＝13cm.∴∠DAE＝∠B＝15°.∴∠ADC＝∠DAE＋∠B＝30°.又∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AD＝6.5cm.例4如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝6cm.求BP的长．分析：先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得AP＝CP，再利用含30°角的直角三角形的性质求得BP的长即可．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠BAC＝120°，∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴∠C＝∠PAC.∴AP＝CP＝6cm.∵∠BAP＝90°，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝12cm.解题大招二先构造直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质解题类型1作辅助线形成斜边例5如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝8cm，求BC的长．分析：连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝8cm，从而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形外角的性质可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中利用含30°角的直角三角形的性质进行计算．解：如图，连接BE.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝8cm.∴∠ABE＝∠A＝15°.∴∠CEB＝∠A＋∠ABE＝30°.∵∠C＝90°，∴BC＝eq\f(1,2)BE＝4cm.类型2作辅助线形成直角边例6如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，点D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求CD的长．分析：解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝18，∴BE＝9.∵BD＝5，∴DE＝BE－BD＝9－5＝4.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CD＝2DE＝8.培优点利用含30°角的直角三角形的性质解决动点问题例如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发沿CB以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为ts，解决以下问题：(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？分析：(1)根据等边三角形的判定条件列方程求出t的值；(2)分两种情况讨论：①∠DEC为直角，②∠EDC为直角，在两种情况下分别利用30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．解：(1)根据题意可得AD＝tcm，CD＝(6－t)cm，CE＝2tcm.∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°－∠B＝60°，∴当CD＝CE时，