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第2课时分式的乘方教学目标课题15.2.1第2课时分式的乘方授课人素养目标1.进一步熟练分式的乘除法法则,能进行分式的乘除法混合运算.2.理解分式乘方的原理,掌握乘方的法则,并能运用乘方法则进行分式的乘方运算. 3.经历探索分式的乘方运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性. 教学重点分式的乘方运算,分式的乘方与乘除法混合运算.教学难点分式的乘方与乘除法混合运算,分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.教学活动教学步骤师生活动活动一:知识回顾,导入新课设计意图通过回忆上节课的旧知和师生互动,引出本课新知,让学生体会到新知是在旧知的基础上生成的.【复习导入】上节课我们学习了分式乘除,我们来看看下面的计算对吗?如果不对,应该怎样改正?(1)eq\f(-x,2b)·eq\f(6b,x2)=eq\f(3b,x);不对,改正:原式=-eq\f(3,x);(2)eq\f(4x,3a)÷eq\f(a,2x)=eq\f(2,3).不对,改正:原式=eq\f(4x,3a)·eq\f(2x,a)=eq\f(8x2,3a2).借这个题我们回忆一下分式乘除法的法则.分式的乘法法则:eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(a·c,b·d).分式的除法法则:eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(a·d,b·c)那么你会计算eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)吗?就让我们一起进入今天这节课的学习吧!【教学建议】教师出示题目后,可请学生上去板书,其他同学在下面做,待板书同学完成后讲解和总结,并引出分式乘除混合运算的题.活动二:合作交流,探究新知设计意图通过学生合作探究完成活动一的问题,提升学生自主探究的能力,再通过例题和练习巩固教师总结的内容.探究点1分式的乘除混合运算大家小组讨论一下eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)如何计算,然后请一位同学回答.eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)=eq\f(x,y)·eq\f(x,y)·eq\f(x,y)=eq\f(x3,y3).教师总结:分式的乘除混合运算,乘除是同一级运算,如果没有其他附加条件(如括号等),应按从左到右的顺序进行计算.一般地,乘除混合运算可以统一成乘法运算.例(教材P138例4)计算eq\f(2x,5x-3)÷eq\f(3,25x2-9)·eq\f(x,5x+3).解:eq\f(2x,5x-3)÷eq\f(3,25x2-9)·eq\f(x,5x+3)=eq\f(2x,5x-3)·eq\f(25x2-9,3)·eq\f(x,5x+3)=eq\f(2x2,3).【对应训练】教材P139练习第1题.【教学建议】教师需强调易错点,即有学生可能会错误地以为先算eq\f(y,x)·eq\f(x,y)=1,再用eq\f(x,y)÷1=eq\f(x,y)..这是不符合同级运算从左到右的运算顺序的.教学步骤师生活动设计意图通过提取旧知以及观察若干特例后,再归纳出分式乘方的运算法则.在这个过程中,让学生通过比较、联想、探索,从直观中归纳出理性的规律,培养学生用从特殊到一般的思维方法认识事物.探究点2分式的乘方与乘除混合运算问题1an表示的意义是什么?其中a表示什么?n表示什么?an中的a可以是数,也可以是整式,那a可不可以是一个分式呢?思考根据乘方的意义和分式的乘法法则,可得:一般地,当n是正整数时,这就是说,分式的乘方要把分子、分母分别乘方.例1[教材P139例5(1)]计算:解:运算依据:步骤①分式的乘方;步骤②积的乘方.问题2我们学过了有理数的混合运算,大家说说是先乘方还是先乘除呢?(先乘方,再乘除.)那么分式呢?(式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除.)例2[教材P139例5(2)]计算:【对应训练】计算:(1)教材P139练习第2(1)题.(2)教材P139练习第2(2)题.(3)【教学建议】教师需展开讲一下乘方结果的符号问题:,分式乘方时,先确定乘方结果的符号,这与实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.【教学建议】分式乘方时,一定要把分子、分母分别乘方,不要把写成;分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体.【教学建议】对于例题,教师需强调一个易错点,即系数和符号不能漏乘.【教学建议】教师可提示学生在做混合运算时先确定结果的符号,再观察各个式子的特征,看看它们分别包含哪些运算,然后确定运算法则与运算顺序,最后进行计算.教学步骤师生活动活动三:知识升华,巩固提升设计意图此例题在上面一个例题的基础上加大了难度,也是知识的补充,意在强化学生的运算能力.例计算:(eq\f(y-x,x+y))2÷(x-y)3·eq\f(x2+2xy+y2,x-y).解:原式=eq\f((x-y)2,(x+y)2)·eq\f(1,(x-y)3)·eq\f((x+y)2,x-y)=eq\f(1,(x-y)2).【对应训练】(eq\f(2x-4y,x+2y))3·eq\f(x2-4xy+4y2,x2-4y2)÷(eq\f(2y-x,x+2y))2.解:(eq\f(2x-4y,x+2y))3·eq\f(x2-4xy+4y2,x2-4y2)÷(eq\f(2y-x,x+2y))2=eq\f(8(x-2y)3,(x+2y)3)·eq\f((x-2y)2,(x+2y)(x-2y))·eq\f((x+2y)2,(x-2y)2)=eq\f(8(x-2y)2,(x+2y)2).【教学建议】教师应告诉学生含整式的分式混合运算,可以把整式看作分母是1的“分式”,然后依照分式乘除法法则进行运算.在观察式子的时候,如果将能因式分解的多项式先因式分解,这样能更快地发现公因式进行约分.活动四:随堂训练,课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.分式的乘除混合运算的运算顺序是什么样的?2.分式乘方的原理是什么?法则是什么?3.分式乘方、乘除混合运算的运算顺序是什么样的?【知识结构】【作业布置】1.教材P146习题15.2第3题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第2课时分式的乘方1.分式乘除混合运算:按从左到右的顺序进行计算 2.分式的乘方法则:(eq\f(a,b))n=eq\f(an,bn)3.分式的乘方、乘除混合运算:先乘方,再乘除教学反思本节课先复习分式的乘除法,引入分式乘除混合运算.在分式乘方的教学中,通过回忆乘方的定义,让学生利用乘方的定义和分式的乘法法则进行具体的计算,进而归纳出分式的乘方法则,再通过一组练习强化对乘方法则的理解和应用.本节课知识点较多,对运算法则的推理过程占了相当多的时间,因此,对基本法则的理解和熟练运用还有待在后续的练习中予以加强.解题大招一与分式乘方、乘除混合运算有关的化简求值的解法先算乘方再算乘除,将原式化为最简分式,再将值代入计算即可.例1化简求值:(eq\f(2xy2,x+y))3÷(eq\f(xy3,x2-y2))2·[eq\f(1,2(x-y))]2,其中x=-eq\f(1,2),y=eq\f(2,3).解:原式=eq\f(8x3y6,(x+y)3)·eq\f((x+y)2(x-y)2,x2y6)·eq\f(1,4(x-y)2)=eq\f(2x,x+y).将x=-eq\f(1,2),y=eq\f(2,3)代入,得原式=-6.解题大招二与分式乘除有关的无关型问题的解法解这类无关型问题,一般是先将原式化简,所得的结果应该是与抄错的那个量无关,所以即使抄错也对结果没影响.例2有这样一道题:“计算eq\f(x2-2x+1,x2-1)÷eq\f(x-1,x2+x)·eq\f(1,x)的值,其中x=2040.”甲同学把“x=2040”错抄成“x=2004”,但他的计算结果也正确,请你说说这是怎么回事?解:原式=eq\f((x-1)2,(x+1)(x-1))·eq\f(x(x+1),x-1)·eq\f(1,x)=1,故计算结果是定值1,所以与x的取值无关.培优点一分式乘方的求值问题例1已知eq\f(b,a)=eq\f(4,5),求(eq\f(a-b,a))1000·(eq\f(a,b-a))1001的值.分析:观察已知式,把所求式向已知式靠拢,故取(eq\f(a,b-a))1001的倒数将乘法改为除法(乘一个数等于除以这个数的倒数),即可把原式化为(eq\f(a-b,a))1000÷(eq\f(b-a,a))1001.解:原式=(eq\f(a-b,a))1000÷(eq\f(b-a,a))1001=(1-eq\f(b,a))1000÷(eq\f(b,a)-1)1001.把eq\f(b,a)=eq\f(4,5)代入上式,得原式=(1-eq\f(4,5))1000÷(eq\f(4,5)-1)1001=(eq\f(1,5))1000÷(-eq\f(1,5))1001=-(eq\f(1,5))1000÷(eq\f(1,5))1001=-5.培优点二与x±eq\f(1,x)有关的核心素养类探究题例2同学们,在学习中,你会发现“x+eq\f(1,x)”与“x-eq\f(1,x)”有着紧密的联系.请你认真观察等式:(x+eq\f(1,x))2=x2+2+eq\f(1,x2),(x-eq\f(1,x))2=x2-2+eq\f(1,x2),解决如下问题:(1)填空:(a+eq\f(1,a))2-(a-eq\f(1,a))2=4.(2)①若(a+eq\f(1,a))2=20,求a-eq\f(1,a)的值;②若a2+a-1=0,求a+eq\f(1,a)的值;③已知|eq\f(1,a)|-a=1,求|eq\f(1,a)|+a的值.分析:(1)利用完全平方公式进行计算,即可解答.(2)①利用(1)的结论进行计算,即可解答;②根据已知易得a-eq\f(1,a)=-1,然后利用(1)的结论进行计算,即可解答;③分两种情况即eq\f(1,a)>0和eq\f(1,a)<0,然后分别进行计算即可解答.解:(1)解析:(a+eq\f(1,a))2-(a-eq\f(1,a))2=a2+2+eq\f(1,a2)-(a2-2+eq\f(1,a2))=a2+2+eq\f(1,a2)-a2+2-eq\f(1,a2)=4.(2)①∵(a-eq\f(1,a))2=(a+eq\f(1,a))2-4=20-4=16,∴a-eq\f(1,a)=±4.②∵a2+a-1=0,∴a+1-eq\f(1,a)=0,∴a-eq\f(1,a)=-1,∴(a+eq\f(1,a))2=(a-eq\f(1,a))2+4=(-1)2+4=5,∴a+eq\f(1,a)=±eq\r(5).③当eq\f(1,a)>0时,此时a>0,则|eq\f(1,a)|-a=eq\f(1,a)-a=1,∴a-eq\f(1,a)=-1.∵(a+eq\f(1,a))2=(a-eq\f(1,a))2+4=(-1)2+4=5,
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