2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 分式的乘方教学设计

第2课时分式的乘方教学目标课题15.2.1第2课时分式的乘方授课人素养目标1.进一步熟练分式的乘除法法则，能进行分式的乘除法混合运算.2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的法则，并能运用乘方法则进行分式的乘方运算. 3.经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性. 教学重点分式的乘方运算，分式的乘方与乘除法混合运算．教学难点分式的乘方与乘除法混合运算，分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图通过回忆上节课的旧知和师生互动，引出本课新知，让学生体会到新知是在旧知的基础上生成的.【复习导入】上节课我们学习了分式乘除，我们来看看下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？(1)eq\f(－x,2b)·eq\f(6b,x2)＝eq\f(3b,x)；不对，改正：原式＝－eq\f(3,x)；(2)eq\f(4x,3a)÷eq\f(a,2x)＝eq\f(2,3).不对，改正：原式＝eq\f(4x,3a)·eq\f(2x,a)＝eq\f(8x2,3a2).借这个题我们回忆一下分式乘除法的法则.分式的乘法法则：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).分式的除法法则：eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c)那么你会计算eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)吗？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！【教学建议】教师出示题目后，可请学生上去板书，其他同学在下面做，待板书同学完成后讲解和总结，并引出分式乘除混合运算的题.活动二：合作交流，探究新知设计意图通过学生合作探究完成活动一的问题，提升学生自主探究的能力，再通过例题和练习巩固教师总结的内容.探究点1分式的乘除混合运算大家小组讨论一下eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)如何计算，然后请一位同学回答.eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)＝eq\f(x,y)·eq\f(x,y)·eq\f(x,y)＝eq\f(x3,y3).教师总结：分式的乘除混合运算，乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，应按从左到右的顺序进行计算．一般地，乘除混合运算可以统一成乘法运算.例(教材P138例4)计算eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x＋3).解：eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x＋3)＝eq\f(2x,5x－3)·eq\f(25x2－9,3)·eq\f(x,5x＋3)＝eq\f(2x2,3).【对应训练】教材P139练习第1题．【教学建议】教师需强调易错点，即有学生可能会错误地以为先算eq\f(y,x)·eq\f(x,y)＝1，再用eq\f(x,y)÷1＝eq\f(x,y)..这是不符合同级运算从左到右的运算顺序的.教学步骤师生活动设计意图通过提取旧知以及观察若干特例后，再归纳出分式乘方的运算法则．在这个过程中，让学生通过比较、联想、探索，从直观中归纳出理性的规律，培养学生用从特殊到一般的思维方法认识事物.探究点2分式的乘方与乘除混合运算问题1an表示的意义是什么？其中a表示什么？n表示什么？an中的a可以是数，也可以是整式，那a可不可以是一个分式呢？思考根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：一般地，当n是正整数时，这就是说，分式的乘方要把分子、分母分别乘方．例1[教材P139例5(1)]计算：解：运算依据：步骤①分式的乘方；步骤②积的乘方．问题2我们学过了有理数的混合运算，大家说说是先乘方还是先乘除呢？(先乘方，再乘除．)那么分式呢？(式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．)例2[教材P139例5(2)]计算：【对应训练】计算：(1)教材P139练习第2(1)题．(2)教材P139练习第2(2)题．(3)【教学建议】教师需展开讲一下乘方结果的符号问题：,分式乘方时，先确定乘方结果的符号，这与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．【教学建议】分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成；分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．【教学建议】对于例题，教师需强调一个易错点，即系数和符号不能漏乘.【教学建议】教师可提示学生在做混合运算时先确定结果的符号，再观察各个式子的特征，看看它们分别包含哪些运算，然后确定运算法则与运算顺序，最后进行计算．教学步骤师生活动活动三：知识升华，巩固提升设计意图此例题在上面一个例题的基础上加大了难度，也是知识的补充，意在强化学生的运算能力.例计算：(eq\f(y－x,x＋y))2÷(x－y)3·eq\f(x2＋2xy＋y2,x－y).解：原式＝eq\f(（x－y）2,（x＋y）2)·eq\f(1,（x－y）3)·eq\f(（x＋y）2,x－y)＝eq\f(1,（x－y）2).【对应训练】(eq\f(2x－4y,x＋2y))3·eq\f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq\f(2y－x,x＋2y))2.解：(eq\f(2x－4y,x＋2y))3·eq\f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq\f(2y－x,x＋2y))2＝eq\f(8（x－2y）3,（x＋2y）3)·eq\f(（x－2y）2,（x＋2y）（x－2y）)·eq\f(（x＋2y）2,（x－2y）2)＝eq\f(8（x－2y）2,（x＋2y）2).【教学建议】教师应告诉学生含整式的分式混合运算，可以把整式看作分母是1的“分式”，然后依照分式乘除法法则进行运算.在观察式子的时候，如果将能因式分解的多项式先因式分解，这样能更快地发现公因式进行约分.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.分式的乘除混合运算的运算顺序是什么样的？2.分式乘方的原理是什么？法则是什么？3.分式乘方、乘除混合运算的运算顺序是什么样的？【知识结构】【作业布置】1.教材P146习题15.2第3题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时分式的乘方1.分式乘除混合运算：按从左到右的顺序进行计算 2.分式的乘方法则：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)3.分式的乘方、乘除混合运算：先乘方，再乘除教学反思本节课先复习分式的乘除法，引入分式乘除混合运算．在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘法法则进行具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习强化对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练运用还有待在后续的练习中予以加强.解题大招一与分式乘方、乘除混合运算有关的化简求值的解法先算乘方再算乘除，将原式化为最简分式，再将值代入计算即可．例1化简求值：(eq\f(2xy2,x＋y))3÷(eq\f(xy3,x2－y2))2·[eq\f(1,2（x－y）)]2，其中x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3).解：原式＝eq\f(8x3y6,（x＋y）3)·eq\f(（x＋y）2（x－y）2,x2y6)·eq\f(1,4（x－y）2)＝eq\f(2x,x＋y).将x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)代入，得原式＝－6.解题大招二与分式乘除有关的无关型问题的解法解这类无关型问题，一般是先将原式化简，所得的结果应该是与抄错的那个量无关，所以即使抄错也对结果没影响．例2有这样一道题：“计算eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq\f(x－1,x2＋x)·eq\f(1,x)的值，其中x＝2040.”甲同学把“x＝2040”错抄成“x＝2004”，但他的计算结果也正确，请你说说这是怎么回事？解：原式＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x（x＋1）,x－1)·eq\f(1,x)＝1，故计算结果是定值1，所以与x的取值无关．培优点一分式乘方的求值问题例1已知eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)，求(eq\f(a－b,a))1000·(eq\f(a,b－a))1001的值．分析：观察已知式，把所求式向已知式靠拢，故取(eq\f(a,b－a))1001的倒数将乘法改为除法(乘一个数等于除以这个数的倒数)，即可把原式化为(eq\f(a－b,a))1000÷(eq\f(b－a,a))1001.解：原式＝(eq\f(a－b,a))1000÷(eq\f(b－a,a))1001＝(1－eq\f(b,a))1000÷(eq\f(b,a)－1)1001.把eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)代入上式，得原式＝(1－eq\f(4,5))1000÷(eq\f(4,5)－1)1001＝(eq\f(1,5))1000÷(－eq\f(1,5))1001＝－(eq\f(1,5))1000÷(eq\f(1,5))1001＝－5.培优点二与x±eq\f(1,x)有关的核心素养类探究题例2同学们，在学习中，你会发现“x＋eq\f(1,x)”与“x－eq\f(1,x)”有着紧密的联系．请你认真观察等式：(x＋eq\f(1,x))2＝x2＋2＋eq\f(1,x2)，(x－eq\f(1,x))2＝x2－2＋eq\f(1,x2)，解决如下问题：(1)填空：(a＋eq\f(1,a))2－(a－eq\f(1,a))2＝4.(2)①若(a＋eq\f(1,a))2＝20，求a－eq\f(1,a)的值；②若a2＋a－1＝0，求a＋eq\f(1,a)的值；③已知|eq\f(1,a)|－a＝1，求|eq\f(1,a)|＋a的值．分析：(1)利用完全平方公式进行计算，即可解答．(2)①利用(1)的结论进行计算，即可解答；②根据已知易得a－eq\f(1,a)＝－1，然后利用(1)的结论进行计算，即可解答；③分两种情况即eq\f(1,a)>0和eq\f(1,a)<0，然后分别进行计算即可解答．解：(1)解析：(a＋eq\f(1,a))2－(a－eq\f(1,a))2＝a2＋2＋eq\f(1,a2)－(a2－2＋eq\f(1,a2))＝a2＋2＋eq\f(1,a2)－a2＋2－eq\f(1,a2)＝4.(2)①∵(a－eq\f(1,a))2＝(a＋eq\f(1,a))2－4＝20－4＝16，∴a－eq\f(1,a)＝±4.②∵a2＋a－1＝0，∴a＋1－eq\f(1,a)＝0，∴a－eq\f(1,a)＝－1，∴(a＋eq\f(1,a))2＝(a－eq\f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，∴a＋eq\f(1,a)＝±eq\r(5).③当eq\f(1,a)>0时，此时a>0，则|eq\f(1,a)|－a＝eq\f(1,a)－a＝1，∴a－eq\f(1,a)＝－1.∵(a＋eq\f(1,a))2＝(a－eq\f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，